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1、某手机支架如图1所示，立杆 $A B$ 垂直于地面，其高为 $115 cm$ ， $B C$ 为支杆，它可绕点 $B$ 旋转，其中 $B C$ 长为 $30 cm$ ， $C D$ 为悬杆，滑动悬杆可调节 $C D$ 的长度．（参考数据： $sin 53 ° \approx 0.80$ ， $cos 53 ° \approx 0.60$ ， $tan 53 ° \approx 1.33$ ）

(1)、如图2， $B$ 、 $C$ 、 $D$ 三点共线，支杆 $B C$ 与立杆 $A B$ 之间的夹角 $∠ A B C$ 为 $53 °$ ，且点 $D$ 距离地面的距离为 $82 cm$ ，求此时滑动悬杆 $C D$ 的长；

(2)、调节支杆 $B C$ ，悬杆 $C D$ ，使得悬杆 $C D = 40 cm$ ， $∠ A B C = 143 °$ ， $∠ B C D = 23 °$ ，如图3所示，求此时点 $D$ 到地面的高度．

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2、先化简，再求值： $(1 - \frac{1}{x + 1}) \div \frac{x}{x^{2} - 1}$ ，其中 $x = 3$ ．

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3、计算： ${(π - 3.14)}^{0} + \sqrt{4} - 2 \sin 30 °$ ．

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4、如果 $m = k (k + 1)$ ，其中m，k都是正整数，则称m为“矩数”，k为m的最佳拆分点．例如： $6 = 2 \times (2 + 1)$ ， 6为“矩数”，2为6的最佳拆分点．若“矩数”p的最佳拆分点为t，“矩数”q的最佳拆分点为s．若 $p - q = 8$ ，则 $\frac{s}{t}$ 的值为．

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5、如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都相等，点 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 都在格点上，连接 $A B$ 、 $C D$ 交于点 $E$ ，那么 $\frac{C E}{D E}$ 的值是．

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6、分式方程 $\frac{5}{x - 3} = \frac{2}{x}$ 的解是．

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7、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，若反比例函数 $y = \frac{k - 2026}{x}$ 的图象位于第二、四象限，则 $k$ 的取值范围是．

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8、化简 $5 (x + y) - 3 (x - y) =$ ．

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9、如图，将一块三角板的直角顶点放在直尺的一边上，当 $∠ 1 = 50 °$ 时，则 $∠ 2$ 的度数为（）

A、 $130 °$ B、 $100 °$ C、 $50 °$ D、 $40 °$

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10、成语是中国语言文化的缩影，有着深厚丰富的文化底蕴，下列成语所描述的事件中，属于随机事件的是（）

A、水中捞月 B、旭日东升 C、水涨船高 D、一箭双雕

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11、已知点 $A (2, 4)$ 与 $B (x, 4)$ 关于y轴对称，则x的值为（）

A、 $- 2$ B、2 C、 $- 4$ D、4

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12、如图是我们生活中常用的“空心卷纸”，其主视图为（）

A、 B、 C、 D、

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13、将多项式 $x y + y$ 分解因式，应提取的公因式是（）

A、 $x y$ B、y C、 $x + 1$ D、x

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14、我国古代数学的发展历史源远流长，曾诞生了很多伟大的数学发现．下列与我国古代数学发现相关的图形中，是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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15、中国人最早使用负数，可追溯到两千多年前的秦汉时期， $- 2026$ 的相反数是（）

A、2026 B、 $\pm 2026$ C、 $- 2026$ D、 $\frac{1}{2026}$

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16、将直线 $y = 2 x - 2$ 向上平移6个单位长度后所得的直线的解析式为（）

A、 $y = 2 x$ B、 $y = 2 x - 8$ C、 $y = 2 x + 4$ D、 $y = 2 x - 6$

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17、如图 $⊙ O$ 是 $△ A B C$ 的外接圆， $∠ A B C = 45 °$ ，延长 $B C$ 至点 $D$ ，连接 $A D$ ，使得 $A D ∥ O C$ ， $A B$ 交 $O C$ 于 $E$ ．

(1)、求证： $A D$ 与 $⊙ O$ 相切；

(2)、若 $A E = 2 \sqrt{5}$ ， $C E = 2$ ．求 $⊙ O$ 的半径和 $A B$ 的长度．

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18、（1）计算： $- 1^{2026} - |\sqrt{3} - 2| + {(\frac{1}{2})}^{- 2} + \sqrt[3]{- 8}$ ；
（2）先化简，再求值： $(x + 1 - \frac{8}{x - 1}) \div \frac{x^{2} - 6 x + 9}{x - 1}$ ，其中 $x = \sin 30 °$ ．

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19、如图，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A D$ 是 $△ A B C$ 的一条角平分线， $E$ 为 $A D$ 中点，连接 $B E$ ．若 $B E = B C, C D = 2$ ，则 $B D =$ ．

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20、已知m，n是方程 $x^{2} + 4 x - 3 = 0$ 的两个实数根，则 $m^{2} + 5 m + n + 2025$ 的值是．

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