相关试卷

1、定义：对于一元二次方程。 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0),$ 设其两个实数根为 x₁ ， X₂。若存在正实数 k，使得|x₁|+|x₂|=k|x₁+x₂|，则称该方程为“和谐方程”，k称为“和谐系数”。

(1)、已知关于 x的方程 $x^{2} - (m^{2} + 1) x + (m^{2} - 1) = 0$ 是“和谐方程”，其中 m为实数，设两个实数根为 X1，X2。
①当m=2时，则 k=    ▲        。
②若 k=1，记 $S = \sqrt{x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + 1},$ 求S的最小值，并求此时m的值。
③以下是对该和谐方程的判断，其中正确的有    ▲            。（多选题)
A. 若 $k = \sqrt{5},$ 则 m=0.     B. 当k=1时，则. $x_{1} \cdot X_{2} > 0 .$
C. 当k>1时，则. $x_{1} \cdot x_{2} < 0 .$
D. 存在一个实数 m，使得该方程和谐系数 k=1和 $k = \sqrt{3}$ 同时满足.
E. 对于任意实数 m，总存在正实数 k，使方程是“和谐方程”.

(2)、设关于 x的一元二次方程（ $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0^{'})$ 是“和谐方程”，k为“和谐系数”，且k>1。试探究 a，b，c，k之间的关系式，并予以证明。

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2、如图，在四边形 ABCD中，AB∥CD，∠B=∠D，AB<BC，AE⊥BC于点 E，点 P是 BC上的动点，连接AP.

(1)、证明：四边形 ABCD是平行四边形；

(2)、若 $B P = 3, A P = \sqrt{5}, C D = 2 \sqrt{2},$ 求 PE的长；

(3)、在题（2）的基础上，如图2，过点 P作 PF⊥AP交 CD于点 F，过点 B作 BH⊥AP于点 H，交 AE于点 N，若 BC=4，求 CF的长。

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3、随着"科技兴农，智慧农业"理念的普及，农业无人机正逐渐成为现代农业的重要装备。

(1)、某品牌农业无人机2026年1月份销售量为3千架。随着春耕备耕需求激增，该品牌无人机的销售量逐月递增，3月份的销售量达到4. 32千架。求从1月份到3月份该品牌无人机销售量的月平均增长率。

(2)、某农业科技服务公司购进一批农业无人机进行出售，进价为1. 5万元/架，出售一段时间后发现：当售价为 2. 5万元/架时，平均每周售出80架；售价每降低0. 05万元，平均每周多售出1架，若该公司计划下调售价使平均每周的利润达到 45万元。求下调后每架无人机的售价。

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4、某电商平台有A和B两个合作物流公司。2026年第一季度，这两个物流公司分别负责配送12批次的同款商品，配送时效（单位：小时)如下：
A公司： 4. 77， 3. 98， 4. 88， 4. 89， 2. 15， 3. 85， 3. 64， 3. 21， 3. 18， 2. 02， 4. 11， 4. 10.
B公司： 3. 18， 3. 84， 3. 99， 3. 67， 3. 40， 3. 60， 4. 10， 4. 21， 415， 4. 44， 3. 87， 3. 91
某运营经理想要利用四分位数分析A、B两个物流公司的配送效率。下表为他统计的两个公司配送时效数据的四分位数（单位：小时)：
公司
m₂₅
m₅₀
m₇₅
A
3. 195
a
4. 44
B
b
3. 890
c
请根据以上信息完成下列问题：

(1)、表中 a= ， b= ， c=；

(2)、运营经理基于四分位数绘制了A、B两公司的箱线图如图所示，请你根据箱线图对A、B两个物流公司的配送水平从时效快慢和稳定性方面作出评价。

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5、已知 $m = 5 + \sqrt{7}, n = 5 - \sqrt{7}$

(1)、求 $m^{2} - m n + n^{2}$ 的值；

(2)、若m的整数部分是 a，n的小数部分是 b，求 ma+nb的值。

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6、如图，在四边形 ABCD中， AB⊥AD， ∠D=70°， CE是∠BCD的平分线，与边AD交于点 E， CE=CD，求∠B的度数。

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7、解方程

(1)、 $x^{2} = 16$

(2)、 $2 x^{2} - x - 6 = 0$

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8、计算

(1)、 $\sqrt{18} \times \sqrt{3} - \sqrt{24}$

(2)、 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5} - 2}$

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9、若 $\sqrt{3} + \sqrt{2}, \sqrt{3} - \sqrt{2}$ 是方程 $x^{4} + a x^{2} + b = 0$ 的两根，则关于 x的方程 $a x^{2} + b x + 2 = 0$ 的两根分别是.

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10、如图，在▱ABCD中，点E是AB边上的动点，已知AD=6，AB=8， ∠A=60°，现将△ADE沿 DE折叠，点 A'是点 A 的对应点，设 BE长为x，若点 A'落在△CDE内（包括边界)，则x的取值范围是.

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11、八年级有三个班，某次跳绳测试的统计数据如下：一班有 a人，平均次数为150次；二班有b人，平均次数为163次；三班有c人，平均次数为157次。这三个班学生这次跳绳测试的平均次数为（用含 a，b，c的代数式表示).

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12、已知一个多边形的内角和为720°，这个多边形是边形.

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13、如图，点 P是平行四边形 ABCD内任意一点，过点 P作 EF∥AB交 AD于 E、BC于F，作 GH∥AD 交 AB 于 G、CD 于 H，已知平行四边形GBFP、EPHD的面积分别为5和8，则平行四边形 PHCF与AEPG的面积和为16时， △PBD的面积为（ )

A、2 $\sqrt{6}$ B、5 C、 $3 \sqrt{3}$ D、 $\frac{21}{4}$

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14、如果两个二次根式a，b满足 ab=c，且c是有理数，那么我们称a与b是关于 c的“友好二次根式”。若 $2 + m \sqrt{5}$ 与 $\bar{n} - 2 \sqrt{5}$ 是关于16的“友好二次根式”（m，n是有理数)，则m+n的值为（ )

A、525或4 B、- 4或4 C、 $\frac{52}{5}$ D、 $\frac{52}{5}$ 或-4

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15、如图，在给定的△ABC中，动点 D 从点 B出发沿 BC方向向终点 C运动，DE∥AC交AB于点 E， DF∥AB交AC于点 F， O是 EF的中点，连结 OB，OC。在整个运动过程中，△OBC的面积的大小变化情况是（ )

A、不变 B、一直增大 C、先增大后减小 D、先减小后增大

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16、 “指尖上的非遗——麻柳刺绣”，针线勾勒之间，绣出世间百态。如图，在一幅长80cm，宽60cm的麻柳刺绣的四周镶嵌宽度相同的边框，制成的一幅矩形挂图，且整个挂图的面积是6300 cm²。设边框的宽度为 x cm，则列出的方程为（ )

A、（60+x)（80+x)=6300 B、（60-x)（80-x)=6300 C、（60+2x)（80+2x)=6300 D、（60-2x)（80-2x)=6300

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17、下列各式中，正确的是（ )

A、 $\sqrt{{(- 6)}^{2}} = - 6$ B、 $- \sqrt{6^{2}} = - 6$ C、 $\sqrt{{(\pm 6)}^{2}} = \pm 6$ D、 $\sqrt{6^{2}} = \pm 6$

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18、某校生物小组的5名同学各用100粒种子做发芽实验，几天后观察并记录种子的发芽数（单位：粒)分别为： 73， 78， 89， 86， 89，则下列说法中不正确的是（ )

A、种子发芽数的平均数是83 B、种子发芽数的中位数是89 C、种子发芽数的众数是89 D、种子发芽数的离差平方和为 206

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19、甲、乙、丙三人进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数均是9. 3环，方差分别是 $S^{2} = 0 . 43, S^{2} = 1 . 22, S^{2} = 0 . 90,$ 在本次射击测试中，成绩最稳定的是（ )

A、甲 B、乙 C、丙 D、无法确定

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20、下列是最简二次根式的是（ )

A、 $\sqrt{0 . 5}$ B、 $\sqrt{a^{3}}$ C、 $\sqrt{\frac{1}{5}}$ D、 $\sqrt{3}$

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公司	m₂₅	m₅₀	m₇₅
A	3. 195	a	4. 44
B	b	3. 890	c