相关试卷

1、如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $∠ B A C = 60 °$ ，点D是 $A C$ 上一定点．

(1)、尺规作图：过点D作 $D E ∥ A B$ ，交 $B C$ 于点E（不用写作法，保留作图痕迹）；

(2)、证明： $△ C D E$ 是等边三角形；

(3)、F是射线 $B C$ 上的一动点（不与点B，C重合），以 $D F$ 为一边，在 $D F$ 的右侧作等边 $△ D F G$ ．
①当点F在线段 $B E$ 上（不与点E重合）时，求证： $C F = C D + C G$ ；
②当点F在射线 $E C$ 上（不与点C重合）时，直接写出线段 $C F$ ， $C D$ ， $C G$ 之间满足的数量关系．

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2、在 $△ A B C$ 中， $A B = A C ， ∠ B A C = 90 °$ ．

(1)、如图， $C D$ 平分 $∠ A C B$ ，与线段 $C D$ 的延长线交于点E．
①证明： $∠ A C D = ∠ E B D$ ；
②试探究线段 $B E$ 和 $C D$ 的数量关系，并证明你的结论．

(2)、如图，若点M是线段 $B C$ 上的动点（不与点B、C重合），且 $∠ B M N = \frac{1}{2} ∠ A C B$ ， $B N ⊥ M N$ ， $M N$ 交 $A B$ 于点G，在点M运动的过程中， $\frac{B N}{M G}$ 是否为定值？请说明理由．

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3、观察下列等式：
① $3^{2} - 1^{2} = 9 - 1 = 8 = 8 \times 1$ ；
② $5^{2} - 3^{2} = 25 - 9 = 16 = 8 \times 2$ ；
③ $7^{2} - 5^{2} = 49 - 25 = 24 = 8 \times 3$ ；
④ $9^{2} - 7^{2} = 81 - 49 = 32 = 8 \times 4$ ．
请解答下列问题：

(1)、按照上述规律，第⑤个等式为_______；第⑩个等式为________；

(2)、猜想 $3^{2} - 1^{2} + 5^{2} - 3^{2} + 7^{2} - 5^{2} + \dots + {(2 n + 1)}^{2} - {(2 n - 1)}^{2}$ 的结果，并证明你的猜想；

(3)、若对于用正整数n、 $k (k \geq 1)$ 表示的两个奇数 $2 n + 2 k - 1$ 和 $2 n - 1$ ，它们的平方差结果为120．请求出所有满足条件的 $(n, k)$ ．

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4、在平面直角坐标系中， $△ A B C$ 的三个顶点坐标分别为 $A (- 4, 1)$ ， $B (- 1, - 1)$ ， $C (- 3, 2)$ ．

(1)、若 $△ A B C$ 关于y轴对称的图形为 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ，在直角坐标系中画出 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ；

(2)、在x轴上是否存在点P，能使 $P A + P C_{1}$ 有最小值，如存在，请在图中找出点P的位置，如不存在，请说明理由；

(3)、 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ 的面积为_____．

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5、已知： $A = \frac{x^{2} - 2 x + 1}{x^{2} - 1} \cdot \frac{1 - x}{1 + x} \div \frac{x - 1}{x + 1}$ ．

(1)、化简A；

(2)、从 $- 1 \leq x \leq 1$ 中选一个合适的整数作为x的值，求A的值．

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6、如图， $∠ B = 42 °$ ， $∠ A$ 比 $∠ A C B$ 小 $20 °$ ， $∠ A C D = 59 °$ ．求证： $A B ∥ C D$ ．

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7、已知：如图， $H M = F G$ ， $E G = N H$ ， $H M ∥ F G$ ，求证： $∠ E = ∠ N$ ．

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8、如图，在 $△ A B C$ 中，点D在 $A C$ 边上，连接 $B D$ ， $∠ A B D = 30 °$ ， $A C = A E$ ，且满足 $∠ C A E = ∠ A B D$ ，若 $S_{△ A B C} = 25$ ，则 $A B =$ ．

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9、点 $P (- 5, - 4)$ 关于x轴对称的点的坐标是．

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10、如图，在等边 $△ A B C$ 中， $A D ⊥ B C$ ， E为 $A D$ 上一点，连接 $B E$ ， $C E$ ， $∠ A B E = 15 °$ ，将 $△ A B E$ 沿 $B E$ 折叠，使点A落在点F处，连接 $A F$ ， $B F$ ， $C F$ ．下列结论：① $B E ⊥ A F$ ；② $△ A E C ≌ △ F E B$ ；③ $A F = C F$ ；④ $△ A E F$ 是等腰直角三角形；⑤ $S_{△ A B F} = 2 S_{△ E F C}$ ，其中，正确的结论个数是（）

A、5个 B、4个 C、3个 D、2个

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11、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ，若 $A C = B C = 5 \sqrt{2}$ ， $A B = 10$ ，根据作图痕迹可知， $△ B D E$ 的周长是（）

A、 $5 \sqrt{2}$ B、 $10 \sqrt{2}$ C、10 D、12

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12、如图，点A，D，C，F在同一条直线上， $A B ∥ E F$ ，且 $A B = E F$ ，从下列条件中补充一个条件后，仍不能证明 $△ A B C ≌ △ F E D$ 的是（）

A、 $∠ A C B = ∠ F D E$ B、 $B C = D E$ C、 $A D = C F$ D、 $∠ B = ∠ E$

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13、现有7根木棍，长度（单位： $dm$ ）分别是1，2，3，4，5，6，7．从中取出三根木棍围成三角形，其中最长的边为 $7 dm$ ，另两边的差大于 $2 dm$ ．这样的三角形一共有（）个．

A、2 B、4 C、6 D、8

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14、下列运算正确的是（）

A、 $a^{2} + a^{3} = 2 a^{5}$ B、 $a^{2} \cdot a^{3} = a^{5}$ C、 ${(a^{3})}^{2} = a^{5}$ D、 $a (a + 1) = a^{2} + 1$

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15、若分式 $\frac{2 m}{3 m + 2}$ 有意义，则 $m$ 的取值应满足（）

A、 $m \neq 0$ B、 $m > - \frac{2}{3}$ C、 $m \neq - \frac{2}{3}$ D、 $m > - \frac{2}{3}$ 且 $m \neq 0$

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16、下列四个图标中，是轴对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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17、已知：抛物线 $y = a x^{2} + b x - \frac{3}{2}$ 与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．

(1)、当 $a = - \frac{1}{4}, b = \frac{5}{4}$ 时，求点A与点B的坐标；

(2)、如图，若 $B (2, 0)$ ，且 $∠ A B C = 2 ∠ B A C$ ，求抛物线 $y = a x^{2} + b x - \frac{3}{2}$ 的解析式；

(3)、在（2）的条件下，点 $M (m, 0)$ 为线段 $O B$ 上一动点，过点M垂直x轴的直线交抛物线 $y = a x^{2} + b x - \frac{3}{2}$ 于点P，交抛物线 $y = - \frac{1}{3} x^{2} + (2 n + \frac{5}{12}) x - 3 n^{2}$ 于点Q，设点P、点Q的纵坐标分别为 $y_{1}$ 、 $y_{2}$ ，若 $y_{1} - y_{2}$ 的最小值为5，求n的值．

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18、如图1，点 $A (0 ， 2)$ ，点 $B (x ， 0)$ 在x轴正半轴上，点O关于 $A B$ 对称的点为C， $B D ∥ y$ 轴，交射线 $A C$ 于点D． $⊙ M$ 为 $△ A B D$ 的外接圆．

(1)、如图2，当M点在 $O A$ 上时，证明： $B C$ 为 $⊙ M$ 的切线；

(2)、如图3，当M点在 $B C$ 上时，求x的值；

(3)、设 $C D = y$ ，直接写出y与x的函数关系式．

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19、如图， $△ A B C$ 是等边三角形，点D、点E分别在 $A C$ ， $B C$ 上，且 $C D = C E$ ．连接 $B D$ ．

(1)、将线段 $B D$ 绕点D按顺时针方向旋转 $60 °$ 得到线段 $D F$ ．请在图中利用尺规作图按上述要求补全图形：

(2)、在（1）条件下，连接 $A F$ 、 $E F$ ，证明：四边形 $A C E F$ 为平行四边形．

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20、发球机成为乒乓球爱好者的热门训练器．如图，是乒乓球台的示意图，乒乓球台长 $O B$ 为 $274 cm$ ，球网 $C D$ 高 $15.25 cm$ ，发球机采用“直发式”模式，球从发球机出口到第一次接触球台的运行轨迹近似为抛物线的一部分．某次训练，发球机从球台边缘 $O$ 点正上方 $28.75 cm$ 的高度 $A$ 处发球（即 $O A$ 的长为 $28.75 cm$ ），乒乓球到球台的竖直高度记为 $y$ （单位： $cm$ ），乒乓球运行的水平距离记为 $x$ （单位： $cm$ ），测得几组数据如下：
水平距离 $x / cm$
0
10
50
90
130
170
230
竖直高度 $y / cm$
$28.75$
33
45
49
45
m
0
根据以上数据，解决下列问题：

(1)、当乒乓球第一次落在对面球台上时，球到起始点的水平距离是 $cm$ ，表格中 $m$ 的值为；

(2)、求出满足条件的函数表达式；

(3)、若发球机的发球高度减少 $24 cm$ ，其他所有条件均不变，则乒乓球从发球机出口发出后过网（填“能”或“不能”）．

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水平距离 $x / cm$	0	10	50	90	130	170	230
竖直高度 $y / cm$	$28.75$	33	45	49	45	m	0