相关试卷

1、项目式学习

【项目主题】探秘路灯：太阳能电池板离地面有多高？

【项目背景】学完《锐角三角函数》后，数学兴趣小组计划运用刚学到的三角函数知识，破解太阳能路灯电池板离地高度的秘密，让数学真正“活”起来！

【提出问题】太阳能路灯电池板离地面高度的测量．

实践任务】

课题太阳能路灯电池板离地面高度的测量
建立模型	如图所示，已知测角仪的高度为 $1.5$ 米，在测点 $B$ 处安置测角仪，测得点 $E$ 的仰角为 $45 °$ ，在与点 $B$ 相距2米的测点 $D$ 处安置等高的测角仪，测得点 $E$ 的仰角为 $53 °$ ，点 $B ， D ， F$ 在同一条直线上．
解决问题	计算太阳能路灯电池板距离地面的高度．	（1）设 $E G = x$ 米，用含 $x$ 的代数式表示 $G C$ 的长为______米；
		（2）求电池板离地面的高度 $E F$ 的长．（结果精确到 $0.1$ 米）（参考数据 $sin 53 ° \approx 0.80 ， cos 53 ° \approx 0.60$ ， $tan 53 ° \approx 1.33 ， \sqrt{2} \approx 1.41 ）$

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2、如图， $A C$ 为矩形 $A B C D$ 的对角线，过 $A C$ 的中点 $O$ 作 $A C$ 的垂线，分别交 $B C$ ， $A D$ 于 $E$ ， $F$ ，连接 $A E$ ， $C F ．$

(1)、求证：四边形 $A E C F$ 为菱形；

(2)、若 $A D = 8 ， A B = 4$ ，求 $c o s ∠ C F D$ 的值．

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3、为了解中考体育科目训练情况，长沙市从全市九年级学生中随机抽取了部分学生进行了一次中考体育科目测试（把测试结果分为四个等级：A级：优秀；B级：良好；C级：及格；D级：不及格），并将测试结果绘成了如下两幅不完整的统计图．请根据统计图中的信息解答下列问题：

(1)、本次抽样测试的学生人数是　　；

(2)、图1中∠α的度数是　　，并把图2条形统计图补充完整；

(3)、测试老师想从4位同学（分别记为E、F、G、H，其中E为小明）中随机选择两位同学了解平时训练情况，请用列表或画树形图的方法求出选中小明的概率．

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4、如图，兴趣小组的同学利用所学知识，制作了一个简易天平，左侧托盘固定在点 $A$ 处，且托盘上放置了一个 $100 g$ 的砝码，右侧托盘可以在 $B C$ 段滑动且托盘上放置了一个空牛奶盒．已知 $A C = 15 cm ， B C = 50 cm$ ，通过往牛奶盒里加入水或倒出水，并移动右侧托盘使天平保持平衡，得到下表中的实验数据．
实验次数
第 $1$ 次
第 $2$ 次
第 $3$ 次
第 $4$ 次
第 $5$ 次
总质量 $m$ （牛奶盒+水） $/ g$
$120$
$60$
$50$
$40$
$150$
$C D$ 的距离 $l / cm$
$12.5$
$25$
$30$
$a$
$10$

(1)、表中 $a$ 的值是_________；

(2)、你认为 $l$ 与 $m$ 满足怎样的函数关系___________（填“一次函数”“反比例函数”或“二次函数”），求出 $l$ 关于 $m$ 的函数表达式___________________；

(3)、某同学给空牛奶盒里加入了 $65 g$ 的水，移动托盘使天平保持平衡，此时 $C D = 20 cm$ ，求这个空牛奶盒的质量．

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5、如图，在 $5 \times 3$ 的正方形网格中，每个小格的顶点叫做格点， $B$ ， $C$ ， $D$ 都在格点上，线段 $A B$ 与 $C D$ 相交于点 $E$ ， $A E ： B E =$ (　　)

A、 $2 ： 1$ B、 $3 ： \sqrt{3}$ C、 $3 ： 2$ D、 $4 ： 1$

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6、如图，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ， $A B = 1$ ， $A C = 2$ ，则 $∠ A$ 的正弦值为（　　）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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7、如图，已知 $△ A B C$ 中， $A B = 5$ ， $A C = 4$ ， $B C = 3$ ， $A B$ 的垂直平分线分别交 $A C$ ， $A B$ 于 $D$ ， $E$ ，连接 $B D$ ，则 $B D$ 的长为（　　）．

A、 $\frac{25}{8}$ B、 $\frac{15}{4}$ C、 $\frac{13}{4}$ D、 $\frac{7}{2}$

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8、如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径，点C，D在 $⊙ O$ 上，过点C作 $A D$ 的平行线交直线 $A B$ 于点E： $∠ A B D = 2 ∠ C A E$ ．

(1)、求证： $C E$ 是 $⊙ O$ 的切线：

(2)、连接 $C D$ 交 $A E$ 于点F，若 $E B = 1$ ， $sin ∠ C E A = \frac{4}{5}$ ，求线段 $A F$ 的长．

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9、方程 $\frac{4}{3 x - 1} - \frac{3}{x} = 0$ 的解为．

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10、已知关于x的方程 $x^{2} + 2 x - k - 2 = 0$ 有两个相等的实数根，则k的值为（）

A、3 B、0 C、 $- 1$ D、 $- 3$

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11、唐朝李白的《行路难》有句诗“长风破浪会有时，直挂云帆济沧海．”如图是小明作的一个帆船模型抽象的几何图形，已知 $B C ∥ E F$ ， $∠ A = 20 °$ ，若 $∠ A D E = 70 °$ ，则 $∠ C$ 的度数为（）

A、 $30 °$ B、 $50 °$ C、 $45 °$ D、 $57 °$

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12、在平面直角坐标系中，点 $A (- 2026, 2026)$ 所在的象限是（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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13、综合与实践问题情境：在数学活动课上，同学们对三角形点阵中前n行的点数计算进行探究活动．如图1，这是一个三角形点阵，从上到下有无数行，其中第一行有1个点，第二行有2个点，···第n行有n个点．

(1)、数学建模：容易发现10是三角形点阵前4行的点数和，但是遇到较大的点数，逐个数点很繁琐．在探究的过程中，将一个正立的三角形点阵倒立，再与正立的原三角形点阵拼成一个平行四边形点阵（如图2），三角形点阵的点数和为平行四边形点阵中点的数量的一半．由此得图1中三角形点阵前8行的点数和是________．图1中三角形点阵前n行的点数和是________．

(2)、问题解决：一群人走进果园去摘石榴，第一个人摘了1个石榴，第二个人摘了2个石榴，第三个人摘了3个石榴，以此类推，后进果园的人都比前一个人多摘一个石榴，这群人刚好把果园的石榴全部摘下来了，如果平均分配，每个人可以得到6个石榴，问这群人共有多少人？

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14、连接正五边形 $A B C D E$ 的对角线，形成如图的图形，中心为点O． $B D$ 与 $C E$ 交于点 $F$ ，连接 $O A$ 与 $B E$ 交于点 $G$ ，连接 $O B$ ， $O C$ ， $O D$ ， $O E$ ．
观察后得出如下结论：
① $∠ C A D = 30 °$ ；
②连接OF，则有 $O G + O F = A G$ ；
③ $∠ C F D = 2 ∠ C O D$ ；
④连接BC，则有 $B C = B F$ ．
上述结论中，所有正确结论的序号是（）

A、①② B、②④ C、②③ D、①④

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15、某书店推出一套珍藏版书籍，每套进价为50元，原售价为100元/套．
普通顾客：售价每降低2元，日均销量增加10套，已知当售价为100元时，日均销量为40套，会员规则：
银卡会员：在普通顾客售价基础上再享受8折优惠
金卡会员：在普通顾客售价基础上再享受7折优惠

(1)、在普通顾客销售模式中，设售价降低x元（ $x \geq 0$ ，且x为整数）用含x的代数式表示：
实际售价______；日均销量______．

(2)、在普通顾客销售模式中，书店希望日均销售利润达到3600元，尽可能让利于顾客，求此时的售价．

(3)、某日，书店里银卡会员和金卡会员的购书数量均是普通顾客销售量的 $\frac{1}{5}$ ，此时，会员顾客部分销售利润为560元，问当日普通顾客售价为多少？

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16、计算：

(1)、 ${(- \sqrt{5})}^{2} - \sqrt{16}$

(2)、 $\sqrt{{(- 3)}^{2}} + \sqrt{27} \times \sqrt{\frac{2}{3}} - \sqrt{8}$ ．

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17、阳光小区附近有一块长 $100m$ ，宽 $80m$ 的长方形空地，在空地上有两条相同宽度的步道（一纵一横）和一个边长为步道宽度7倍的正方形休闲广场，两条步道的总面积与正方形休闲广场的面积相等，如图1所示，设步道的宽为 $a (m)$ ．则步道的宽为；方便市民进行跑步健身，现按如图2所示方案增建塑胶跑道．已知塑胶跑道的宽为 $1m$ ，长方形区域甲的面积比长方形区域乙大 ${441m}^{2}$ ，且区域丙为正方形，塑胶跑道的总面积为 $m^{2}$ ．

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18、某小组6名学生的数学考试成绩（单位：分）分别为88，98，90，92，90，96老师决定将这些成绩分为两组，以便更好地分析学生的成绩分布，若按照以下分组方式：第一组 $\{88, 90, 90, 92\}$ ，第二组 $\{96, 98\}$ ，则组内离差平方和为．

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19、电影《哪吒之魔童闹海》于2025年春节档上映，一上映就获得全国人民的追捧．据不完全统计，某市第一天票房约200万元，以后每天票房按相同的增长率增长，第三天票房收入288万元，将增长率记作x，则方程可以列为

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20、“村 $B A$ ”是指乡村篮球赛，近年来，“村 $B A$ ”在多地火爆开展，已发展成为一项全国性赛事．某地经过层层筛选，主办方最终确定了参赛队伍，并在小组赛阶段设置了双循环赛制（即每两支球队之间进行两场比赛）．已知整个小组赛阶段共比赛30场，设参加比赛的球队有 $x$ 支，可得方程（）

A、 $x (x + 1) = 30$ B、 $x (x - 1) = 30$ C、 $\frac{1}{2} x (x + 1) = 30$ D、 $\frac{1}{2} x (x - 1) = 30$

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实验次数	第 $1$ 次	第 $2$ 次	第 $3$ 次	第 $4$ 次	第 $5$ 次
总质量 $m$ （牛奶盒+水） $/ g$	$120$	$60$	$50$	$40$	$150$
$C D$ 的距离 $l / cm$	$12.5$	$25$	$30$	$a$	$10$