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1、作图题：某地有两个村庄M、N和两条相交叉的公路OA，OB，现计划修建一个物资仓库，希望仓库到两个村庄的距离相等，到两条公路的距离也相等，请你用尺规作图的方法确定该点P. （注意保留作图痕迹，不用写作法）

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2、如图，点 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $P$ 均在正方形方格纸的格点上，按要求完成下列问题．

(1)、经过点 $P$ 画 $A B$ 的平行线，交 $A C$ 于点 $Q$ ；

(2)、过点 $P$ ，画 $A C$ 的垂线段 $P M$ ，交 $A C$ 于点 $M$ ；

(3)、连接 $P A$ ， $P C$ ；

(4)、线段 $P A$ ， $P Q$ ， $P M$ ， $P C$ 中，最短的线段为______，理由是______．

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3、如图，CD是⊙O的切线，D是直径AB延长线上的一点，连结AC、BC，设 $∠ A = α (0^{\circ} < α < 4 5^{\circ}) ．$

(1)、若α=20°，求∠D．

(2)、延长BC至E，使BC=CE，过点E作AB的垂线，分别交AC、AB于点F， H．
①若 $t a n α = \frac{1}{2},$ 直径AB=10，求EH的长．
②求证： $\frac{S_{△ E F C}}{S_{△ B C D}} = 1 - {t a n}^{2} α ．$

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4、已知二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ (a， b， c为常数)的图象与y轴交于点(0， -1) ，且过点(2， -1) ．

(1)、求a与b的关系式．

(2)、若a<0，当-1≤x≤4时，函数y的最大值与最小值之差为9，求a的值．

(3)、在(2)的条件下，若点M(t， m) ，点N(t+1， n)两点在该函数图象上，且-9<n≤m，求t的取值范围．

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5、定义：若一个三角形存在两个内角之差为90°，则成这个三角形为“差直角三角形”．例如，在△ABC中， ∠A=110°， ∠B=20°， ∠C=50°，满足∠A—∠B=90°，所以△ABC是“差直角三角形”．

(1)、若△ABC是差直角三角形， ∠A=120°，则 sin B的值为．

(2)、如图1，在 Rt△ABC中， ∠C=90°， AD是△ABC的角平分线，求证： △ABD是差直角三角形．

(3)、如图2，在△ABC中， $A B = A C, B C = 8, t a n B = \frac{3}{4},$ 点D是边 AB上一动点(BD<CD)，若△ABD是差直角三角形，求AD 的长度．

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6、矩形ABCD的对角线AC、BD 相交于点O，点E为BC边一点， DE交AC于点 F， ∠AFD=2∠DAF，连接BF．

(1)、求证： △DOF为等腰三角形．

(2)、若F是OC中点， AC=5， AD=4，求BF的长．

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7、随着人工智能的快速发展，初中生使用AI大模型辅助学习快速普及，并呈现出多样化趋势．某中学为了解本校学生日常使用AI大模型辅助学习次数的情况，随机抽取部分学生进行问卷调查，按每周使用次数(x次)分为四组(A： x<15； B：15≤x<20； C： 20≤x<25；D： x≥25)，根据调查结果，绘制了如下尚不完整的条形统计图和扇形统计图．
根据以上信息，解答下列问题

(1)、本次抽取的学生人数为人，扇形统计图中 m= ．

(2)、求D组的人数，并补全条形统计图．

(3)、若该校共有 1200 名学生，估计全校每周使用AI学习20次及以上的学生约有多少人．

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8、解不等式组： $\{\begin{matrix} 5 x - 2 > 3 (x + 1) \\ \frac{1}{2} x - 1 \leq 7 - \frac{3}{2} x \end{matrix}$ ．

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9、计算： $2 (\sqrt{2} - 1) - \sqrt{8} - {(\sqrt{2})}^{2} ．$

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10、如图，在正方形ABCD中， AB=3，点E为边 CD上一点，且CE=2DE，连接BE．若点 G为点 D 关于 BE 的对称点，连接DG并延长交BC延长线于点 F，连接BG，则FG= ．

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11、假设圆锥的体积不变，当圆锥的高发生变化时，圆锥的底面积也随之变化．(圆锥体积 $V = \frac{1}{3} S h,$ 其中S(cm²)表示圆锥的底面积，h(cm)表示圆锥的高线长)．某工厂要制作一系列等体积的圆锥模型，测得其中一个圆锥模型的底面半径为 $\sqrt{\frac{30}{π}} c m,$ 高线长为10cm．当高线长限定为50≤h<100时，底面积的取值范围为．

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12、如图是一个游戏转盘，自由转动转盘，当转盘停止转动后，指针分别落在数字1、2、3所示区域内．随机转动两次，则两次数字相同的概率为．

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13、如图， △ABC是⊙O的内接三角形， ∠OAB=50°，则∠ACB的度数是．

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14、已知 ${\begin{matrix} x = - 2 \\ y = 3 \end{matrix}$ 是方程2x-my=2的一个解，那么 m的值是．

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15、已知点A (m， y₁)在直线l₁： y= kx+k上，点B (m-1， y₂)在直线l₂： y=-kx-k上．下列结论正确的是( )

A、若k>0时， $0 < y_{2} < y_{1},$ 则 $m > - \frac{1}{2}$ B、若k>0时， $0 < y_{2} < y_{1},$ 则m<0 C、若k<0时， y₂₁<0，则 $- 1 < m < - \frac{1}{2}$ D、若k<0时， y₂₁<0，则 $- \frac{1}{2} < m < 0$

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16、如图，△ABC中， ∠ABC=60°，AC>AB．利用直尺和圆规作图：
①以点B为圆心，适当长为半径作弧，交BA于 M，交BC于N；②分别以点M、N为圆心，大于 $\frac{1}{2} M N$ 长为半径作弧，两弧相交于点F，作射线BF交AC于点 G；③分别以点A、C为圆心，大于 $\frac{1}{2} A C$ 长为半径作弧，两弧相交于点D，E两点，连接DE，交BF于点P，交BC于点H，连接AP，CP．下列判断错误的是 ( )

A、 $∠ A B P = 3 0^{\circ}$ B、PA=PC C、若AP∥BC，则四边形ABHP是菱形 D、 $∠ B A P = 9 0^{\circ} + ∠ P C A$

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17、某地电信公司调低了电话费收费标准，每分钟费用降低了25%．因此，按照原收费标准 6元话费的通话时间，在新收费标准下可多通话 10分钟．如果设原收费标准下每分钟收费x元，则根据题意可列出方程 ( )

A、 $\frac{6}{25 % x} - \frac{6}{x} = 10$ B、 $\frac{6}{(1 - 25 %) x} - \frac{6}{x} = 10$ C、 $\frac{6}{x} - \frac{6}{25 % x} = 10$ D、 $\frac{6}{x} - \frac{6}{(1 - 25 %) x} = 10$

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18、设a，b，c是互不相等的实数，且 $\frac{2}{3} a + \frac{1}{3} c = b,$ 下列式子正确的是 ( )

A、a>b>c B、c>b>a C、a-c=3(a-b) D、a-c=4(a-b)

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19、如图，△ABC中，AB=BC，∠CBA=120°．将△ABC绕点 A 顺时针旋转110°得到△ADE，点 B、C的对应点分别为点 D、E．那么∠CAD 的度数为 ( )

A、70° B、80° C、90° D、100°

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20、当 5个自然数a，b，5，6，6从小到大排列后，其中位数是5，如果这组数据唯一的众数是6，那么所有满足条件的a，b中，ab的最大值是 ( )

A、12 B、10 C、8 D、6

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