相关试卷

1、已知不等式组 $\{\begin{array}{l} x < m \\ x - 8 > 4 x + 1 \end{array}$ 的解集是 $x < - 3$ ，则 $m$ 的取值范围是（）

A、 $m > - 3$ B、 $m \geq - 3$ C、 $m = - 3$ D、 $m < - 3$

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2、如图，在四边形 $A B C D$ 中， $A B ∥ C D$ ，点 $P$ 是 $B C$ 上一点，且满足 $∠ B A P = 20 °$ ， $∠ P D C = 70 °$ ，若 $A P = 6$ ， $D P = 10$ ，则 $A D$ 的长为（）

A、 $5$ B、 $7$ C、 $2 \sqrt{34}$ D、 $8$

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3、下列等式由左边到右边的变形中，属于因式分解的是（）．

A、 $(a + 3) (a - 3) = a^{2} - 9$ B、 $- 18 x^{4} y^{3} = - 2 x^{2} y \cdot 9 x^{2} y^{2}$ C、 $b^{2} - 6 b + 9 = b (b - 6) + 9$ D、 $x^{2} - 3 x - 4 = (x + 1) (x - 4)$

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4、窗棂（即窗格）作为中国传统建筑的重要构件，承载着丰富的文化象征．窗棂上雕刻有线槽和各种花纹，构成了种类繁多的优美图案．下列窗棂样式结构图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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5、如图，三个天平的托盘中放置了正方体、球、圆锥三种形状的物体，形状相同的物体的质量均相等，图①、②所示的两个天平处于平衡状态，现要使得图③中的天平也保持平衡，且在该天平的右盘中只放置球，则右盘中需放入球的个数为（）

A、7个 B、8个 C、9个 D、10个

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6、【问题情境】
小颖在学习了正方形的相关知识之后，在一张边长为8的正方形纸片上进行了关于折叠的研究性学习．
【探究感悟】
（1）如图1，在正方形 $A B C D$ 中，小颖在边 $A B$ 上取点 $E$ （ $E$ 不与 $A$ 、 $B$ 重合），连接 $D E$ ，将 $△ A D E$ 沿 $D E$ 翻折，使得点 $A$ 的对应点 $A_{1}$ 恰好落到对角线 $B D$ 上，则此时线段 $A E$ 的长是________．
【深入探究】
（2）小颖继续将 $△ A D E$ 沿 $D E$ 翻折，发现： $A_{1}$ ， $B$ ， $C$ 三点能构成等腰三角形．请求出此时线段 $A E$ 的长．
【拓展延伸】
（3）如图2，在正方形 $A B C D$ 中，小颖又在边 $C D$ 上取点 $F$ （ $F$ 不与 $C$ 、 $D$ 重合），并将四边形 $A D F E$ 沿 $E F$ 翻折，使得点 $A$ 的对应点 $A_{1}$ 恰好落在边 $B C$ 上，记 $A_{1} D_{1}$ （ $D_{1}$ 为 $D$ 的对应点）与 $C D$ 的交点为 $G$ ，连接 $A D_{1}$ ，小颖再次发现：线段 $E F$ 与 $A D_{1}$ 的长度之和存在最小值，请求出此时线段 $F G$ 的长．

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7、通过学习，我们知道可以用配方法、因式分解法、公式法等求解一元二次方程，但在数学史上，人类还研究过利用几何法求解一元二次方程．下面是阿拉伯数学家阿尔·花拉子米利用几何法求 $x^{2} + 10 x - 39 = 0$ 正数解的过程：
①变形： $x^{2} + 10 x - 39 = 0$ 变形为 $x^{2} + 10 x = 39$ ；②构图：如图1，画一个面积为 $x^{2}$ 的正方形，再画两个面积为5x的长方形，并按图2所示构造一个大正方形；③解答：大正方形面积可用两种方式表示，整体看可表示为 ${(x + 5)}^{2}$ ，也可表示为四部分相加为 $x^{2} + 5 x + 5 x + 5^{2} = x^{2} + 10 x + 5^{2} = 39 + 25$ ，所以得到等量关系 ${(x + 5)}^{2} = 39 + 25 = 64$ ，因为x表示线段长为正数，所以 $x + 5 = 8$ ，即 $x = 3$ ．
【理解】（1）上述构造图形解一元二次方程最能体现的数学思想是________．
A．分类讨论思想 B．数形结合思想 C．整体代换思想
【类比迁移】（2）请参照上述构造图形的方法，求解一元二次方程． $x^{2} + 6 x - 55 = 0$ 的正数解．（请画出图形，需在图中标注相关线段长度，并写出必要的求解过程）．
【拓展应用】（3）类似地，你能否“通过不同的方式表达立体图形组合的体积”，求特殊的一元三次方程的解？如：求方程 $x^{3} + 9 x^{2} + 27 x = 973$ 的解．
类比平面图形的研究，现准备以下规格的立体图形：
需要准备图④中几何体________块；需要准备图⑤中几何体________块；
需要准备图⑥中几何体________块；需要准备图⑦中几何体________块；
请直接写出方程 $x^{3} + 9 x^{2} + 27 x = 973$ 的解 $x =$ ________．

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8、综合与实践
【问题情景】
北师大版教材九年级上册第166页《综合与实践》对于矩形的“减半”问题进行研究，即：任意给定一个矩形，是否一定存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半？
【猜想证明】
小明分别对长和宽为2和1，3和1，4和1，5和1，6和1这五个矩形进行了探究．具体步骤如下：
设所求矩形的长为x，宽为y，当已知矩形长为2，宽为1时，周长为6，面积为2，则 $\{\begin{matrix} x + y = \frac{3}{2}, \\ x y = 1. \end{matrix}$ 消去y，化简得 $2 x^{2} - 3 x + 2 = 0$ ， $△ = 9 - 16 = - 7 < 0$ ，所以方程无解．这说明，如果已知矩形的长和宽分别为2和1时，那么不存在一个新矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半．
类比以上步骤小明分别探究了长和宽为2和1，3和1，4和1，5和1这四个矩形，发现都不存在“减半”矩形，但第五个存在．
（1）请参照长和宽分别为2和1的方法，求出第五个存在所求矩形的长和宽分别是多少？
【拓广延伸】
（2）若已知矩形的长为m，宽为n，是否存在另一个矩形，它的周长和面积都是已知矩形周长和面积的一半？如果存在，请求出m与n应满足的关系式；如果不存在，说明理由．

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9、为培育玉米新品种，研究人员对某生长期试验田和对照田中的玉米株高进行抽样调查并作比较研究，分别随机选取40株玉米测量其株高，整理数据如下．

【数据收集】

试验田玉米株高（cm）	对照田玉米株高（cm）
56，43，51，52，45，55，46，55，46，51，54，54，48，55，48，49，51，50，48，49，49，51，46，51，43，51，52，47，54，49，55，46，48，45，53，47，43，54，43，56．	41，52，40，44，54，40，44，54，44，45，46，55，48，40，48，54，50，50，52，52，52，60，52，52，40，54，48，40，54，54，55，46，56，40，60，60，56，57，52，60．

【数据整理】

把数据分为5组，制成如下频数分布表．（用h表示株高）

组别类型	$A (40 \leq h < 44)$	$B (44 \leq h < 48)$	$C (48 \leq h < 52)$	$D (52 \leq h < 56)$	$E (56 \leq h \leq 60)$
试验田玉米株频数	4	8	15	11	2
对照田玉米株频数	7	5	6	14	8

【数据描述】

根据频数分布表分别制作试验田频数分布直方图和对照田扇形统计图．

（1）补全试验田频数分布直方图和对照田扇形统计图．

【数据分析】

（2）已知此生长期的玉米株高h满足 $48 cm \leq h < 56 cm$ 为长势良好．比较以上两个统计图，写出图中蕴含的信息．（一条即可）

（3）为了对比分析数据，研究人员打算从试验田分好的5组（A、B、C、D、E）中随机选择2组进行研究，假设每组选中的可能性相同，求恰好选中A和B两组的概率．

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10、如图，已知 $△ A B C$ ， $A C = 2$ ， $A B = 3$ ．

(1)、实践与操作：用尺规作图在 $△ A B C$ 内部作 $∠ A C D = ∠ B$ ，射线 $C D$ 交线段 $A B$ 于点D．

(2)、应用与证明：在（1）的条件下，求 $A D$ 的长．

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11、下面是小明解一元二次方程 $2 x (x - 5) = 5 x - 25$ 的过程：
解：方程右边提公因式得， $2 x (x - 5) = 5 (x - 5)$ ……第一步
方程两边同除以 $(x - 5)$ 得， $2 x = 5$ …………第二步
系数化为1得， $x = 2.5$ …………第三步
小明的解答过程从第几步开始出现错误？错误的原因是什么？请给出这道题的正确解答过程．

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12、如图，一张锐角三角形纸片 $A B C$ ，点D、E分别在边 $A B$ 、 $A C$ 上， $A D = 2 D B$ ，沿 $B C$ 的平行线 $D E$ 将 $△ A B C$ 剪成两部分，则 $\frac{A E}{A C}$ 的值为．

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13、对角线长为 $2 \sqrt{2}$ 的正方形，边长为．

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14、已知关于x的方程 $k x^{2} + 4 x + 3 = 0$ ，下列k的取值中，使得方程无实数根的是（）

A、 $- 1$ B、0 C、1 D、2

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15、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ， D是 $A C$ 的中点，过点A，B分别作 $A E ∥ B D$ ， $B E ∥ A C$ ．若 $A B = 3$ ， $B C = 4$ ，则四边形 $A E B D$ 的面积为（）

A、5 B、6 C、10 D、12

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16、若关于x的一元二次方程 $a x^{2} - b x - 1 = 0 (a \neq 0)$ 的一个解是 $x = 1$ ，则 $a - b + 2025$ 的值是（）

A、2026 B、2025 C、2024 D、2023

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17、2025年国产 $A I$ 大模型的爆火，引发了全球科技界的广泛关注．若小庆同学想了解“豆包”、“腾讯元宝”、“文心一言”三种应用软件中哪种最受欢迎，“最受欢迎”涉及的统计量是（）

A、平均数 B、中位数 C、方差 D、众数

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18、若 $4 a = 3 b$ ，则下列式子正确的是（）

A、 $\frac{a}{4} = \frac{b}{3}$ B、 $4 a - 3 b = 0$ C、 $\frac{a}{b} = \frac{4}{3}$ D、 $\frac{a + 1}{b + 1} = \frac{3}{4}$

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19、【问题情境】
数学课上老师让同学们探究勾股定理的证明方法．某综合与实践小组通过阅读课本学习了我国汉代数学家赵爽证明勾股定理的方法．赵爽在注解《周髀算经》时，给出了“赵爽弦图”（图1），通过此图的切割、拼接，巧妙地利用面积关系证明了勾股定理．
【定理探究】
（1）若直角三角形 $A B C$ 中， $B C = a ， A C = b ， A B = c$ ，请你利用图1中的“赵爽弦图”证明勾股定理．
【实践应用】
（2）有两个正方形如图2所示放置在网格中，请你通过切割、拼接，把这两个正方形转化成一个大正方形，请设计出你的方案（画出分割线和拼成的大正方形）．

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20、如图，在平面直角坐标系中，在反比例函数 $y_{1} = \frac{k}{x}$ 的图象上有一点A的坐标为 $(1, m)$ ，点 $C (0, 2)$ ，反比例函数与一次函数 $y_{2} = a x + b$ 交于A、B两点，连接 $O A$ ，且 $tan ∠ A O C = \frac{1}{3}$ ．

(1)、求反比例函数和一次函数的解析式；

(2)、请直接写出 $y_{1} < y_{2}$ 时，x的取值范围；

(3)、点P从点A出发沿射线 $A B$ 移动，点Q为第三象限双曲线上一点，当点A，O，P，Q为顶点的四边形为平行四边形时，请直接写出点Q的坐标．

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