相关试卷

1、小丽计划节省部分零花钱购买一台学生平板电脑，她已存有 $750$ 元，并计划从本月起每月存钱 $30$ 元，直到她至少存有 $1080$ 元，设 $x$ 个月后小丽至少有 $1080$ 元，则可列出不等式为（）

A、 $30 x + 750 > 1080$ B、 $30 x - 750 > 1080$ C、 $30 x - 750 \leq 1080$ D、 $30 x + 750 \geq 1080$

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2、对于下列结论：① $x$ 为正数，则 $x > 0$ ；② $x$ 为自然数，则 $x > 1$ ；③ $x$ 不大于5，则 $x \leq 5$ ；正确的有．（填所有正确的序号）

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3、下面的式子：① $3 > 0$ ；② $3 x + y < 0$ ；③ $x + 3 = 0$ ；④ $x - 7$ ；⑤ $m - 3 < 2$ ；其中是不等式的是：；（填序号）

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4、下列选项中，不能用不等式表示的是（）

A、 $- b$ 小于0 B、 $x^{2} + 2$ 是正数 C、 $m - n$ 等于零 D、a比b大

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5、阅读下列材料，并完成相应的任务．

尺规作图起源于古希腊的数学课题，指的是只用没有刻度的直尺和圆规作图，并且只允许使用有限次，来解决不同的平面几何作图问题，在初中阶段，我们学习过五种基本尺规作图，并且运用基本尺规作图方法，结合图形性质可以作出更多的数学图形．

如图①，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ，小明用尺规作底边 $B C$ 的垂直平分线的过程如下：

①以点A为圆心，小于 $A B$ 长为半径作弧，分别交 $A B ， A C$ 于点D ， E；

②分别以点D ， E为圆心，大于 $\frac{1}{2} D E$ 的长为半径作弧，两弧交于点P；

③作射线 $A P$ ，则 $A P$ 垂直平分 $B C$ ．

(1)、根据小明的作图方法，如图①，他得出“

A P

垂直平分

B C

”的依据是；

(2)、如图②，已知在四边形

A B C D

中，

A B = A D

，

∠ A B C = ∠ A D C

，求作对角线

B D

的垂直平分线，小明只用无刻度直尺作直线

A C

，就得到对角线

B D

的垂直平分线，请你帮助小明说明理由．

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6、如图， $A D$ 是 $△ A B C$ 的角平分线， $D E ⊥ A B$ 于点E ．

(1)、用尺规完成以下基本作图：过点D作 $D F ⊥ A C$ 于点F ，连接 $E F$ 交 $A D$ 于点G ．（不写作法，保留作图痕迹）

(2)、在（1）中所作的图形中，求证： $A D ⊥ E F$ ．小强进行了如下的证明，请你帮小强完成相应的填空．
证明：（2）∵ $A D$ 是 $△ A B C$ 的角平分线， $D E ⊥ A B$ ，，
∴ ，
在 $Rt △ A D E$ 和 $Rt △ A D F$ 中， $\{\begin{matrix} ______ \\ D E = D F \end{matrix}$ ，
∴ $Rt △ A D E ≌Rt △ A D F$ （ $HL$ ），
∴ ，而 $D E = D F$ ，
∴ $A D$ 垂直平分线段 $E F$ ，即 $A D ⊥ E F$ ．

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7、周末，老师带着同学们去北京植物园中的一二 $\cdot$ 九运动纪念广场游玩，这里有三座侧面为三角形的纪念亭，挺拔的建筑线条象征青年朝气蓬勃、积极向上的精神．基于纪念亭的几何特征，同学们编拟了如下的数学问题：如图，点 A ， B ， C ， D在同一条直线上，在四个论断“ $E A = E D ， E F ⊥ A D ， A B = D C$ ， $F B = F C$ 中选择三个作为已知条件，另一个作为结论，构成真命题（补充已知和求证），并进行证明．
已知：
求证：

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8、如图，村庄A ， B分别在笔直公路 $l$ 的两侧，一辆汽车在公路上行驶到什么位置时，它到A ， B两村庄的距离相等？请指出该位置．

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9、 2024年是新一轮全国文明城区创建工作启动之年，也是我区创城工作接续奋斗，深化之年．然而目前，一些小区内仍存在随意晾晒的现象，影响了小区环境，为解决小区“晾晒难”的问题，某小区物业公司采取如下措施：
如图1，在小区内道路 $l$ 旁设立“公共晾晒点” $O$ ，安装“共享晾衣架”，使得道路 $l$ 附近的两栋住宅楼 $A$ ， $B$ 到“公共晾晒点” $O$ 的距离相等．

(1)、在图2中利用尺规作图（保留作图痕迹，不写作法），确定点 $O$ 的位置；

(2)、确定点 $O$ 位置的依据为．

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10、如图， $△ A B C$ 中， $A B = A E$ ，且 $A D ⊥ B C$ ， $E F$ 垂直平分 $A C$ ，交 $A C$ 于点F ，交 $B C$ 于点E ，若 $△ A B C$ 周长为20， $A C = 8$ ，则 $D C$ 为（）

A、6 B、8 C、9 D、10

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11、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 2 ∠ B$ ．

(1)、如图1，当 $∠ C = 90 °$ ， $A D$ 为 $∠ B A C$ 的角平分线时，求证： $A B = A C + C D$ ；

(2)、如图2，当 $∠ C \neq 90 °$ ， $A D$ 为 $∠ B A C$ 的角平分线时，线段 $A B$ ， $A C$ ， $C D$ 的数量关系为；

(3)、如图3，当 $A D$ 为 $△ A B C$ 的外角平分线时，线段 $A B$ ， $A C$ ， $C D$ 的数量关系为；

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12、已知： $∠ B A C = 120 °$ ， $A D$ 为 $∠ B A C$ 的平分线， $E 、 F$ 分别是边 $A B$ 、 $A C$ 上一点，且 $∠ E D F = 60 °$ ，求证： $D E = D F$ ．
方法1：（ $1$ ）已知 $∠ B A C = 120 °$ ， $∠ E D F = 60 °$ ，那么 $∠ B A C + ∠ E D F =$ ．

(1)、方法1：①已知 $∠ B A C = 120 °$ ， $∠ E D F = 60 °$ ，那么 $∠ B A C + ∠ E D F =$ ．
②要证DE=DF，是否需要证明它们所在的三角形全等，又知道AD为∠BAC的平分线，可过D做辅助线，过D作DM⊥AB，DN⊥AC，垂足分别为M，N，
③补全图形，并尝试写出证明过程．

(2)、方法2：除了方法1外，还可以在角平分线AD两侧构造全等三角形，在射AC上取AE'=AE，连接DE'，并思考△DFE是否为等腰三角形，补齐图形并尝试写出证明过程．

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13、在 $△ A B C$ 中， $D$ 是 $B C$ 边上一点（不与点 $B$ ， $C$ 重合），连接 $A D$ ．

(1)、如图1，当点 $D$ 是 $B C$ 边的中点时， $S_{△ A B D} : S_{△ A C D} =$ ；

(2)、如图2，当 $A D$ 平分 $∠ B A C$ 时，若 $A B = m$ ， $A C = n$ ，求 $S_{△ A B D} : S_{△ A C D}$ 的值；（用含 $m$ ， $n$ 的式子表示）

(3)、如图3， $A D$ 平分 $∠ B A C$ ，延长 $A D$ 到点 $E$ ，使得 $A D = D E$ ，连接 $B E$ ．若 $A C = 4$ ， $A B = 6$ ， $S_{△ A C D} = 6$ ，求 $S_{△ A B E}$ 的值．

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14、王林根据教材角平分仪模型进行了相关探究，整理如下．

标题	角平分仪的相关应用探究
素材	图1是一个平分角的仪器，其中 $O D = O E, F D = F E$ ．
图示
任务	⑴如图2，将仪器放置在 $△ A B C$ 上，使点 $O$ 与顶点 $A$ 重合， $D, E$ 分别在边 $A B, A C$ 上，沿 $A F$ 画一条射线 $A P$ ，交 $B C$ 于点 $P . A P$ 是 $∠ B A C$ 的平分线吗？请判断并说明理由．
任务	⑵如图3，在（1）的条件下，过点 $P$ 作 $P Q ⊥ A B$ 于点 $Q$ ，若 $P Q = 6, A C = 9$ ， $△ A B C$ 的面积是60，求 $A B$ 的长．

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15、如图， $C A = C D, C B = C E, ∠ A C D = ∠ B C E, A B$ 与 $D E$ 交于点 $M$ ．

(1)、求证： $A B = D E$ ；

(2)、连接 $M C$ ，求证： $M C$ 平分 $∠ B M D$ ．（提示：过 $C$ 向 $A B$ 、 $D E$ 作垂线）

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16、如图，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $B D$ 是 $Rt △ A B C$ 的一条角平分线，点 $O$ 、 $E$ 、 $F$ 分别在 $B D$ 、 $B C$ 、 $A C$ 上，且四边形 $O E C F$ 是正方形．

(1)、求证： $O A$ 平分 $∠ B A C$ ；

(2)、若 $A C = 5$ ， $B C = 12$ ，求 $O E$ 的长．

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17、阅读下面材料：
三角形的内心
定义：三角形的三条内角平分线相交于一点，这个点叫做三角形的内心．
我们可以证明三角形的三条内角平分线相交于一点．
如图①，已知 $A M$ ， $B N$ ， $C P$ 是 $△ A B C$ 的三条内角平分线．
求证： $A M$ ， $B N$ ， $C P$ 交于一点．
证明：如图②，设 $A M$ ， $B N$ 交于点 $O$ ，过点 $O$ 分别作 $O D ⊥ B C$ ， $O E ⊥ A C$ ， $O F ⊥ A B$ ，垂足分别为点 $D$ ， $E$ ， $F$ ．
∵点 $O$ 是 $∠ B A C$ 的平分线 $A M$ 上一点，
∴ $O E = O F$ （依据1）．
同理 $O D = O F$ ．
∴ $O D = O E$ ．
∵ $C P$ 是 $∠ A C B$ 的平分线，
∴点 $O$ 在 $C P$ 上（依据2）．
∴ $A M$ ， $B N$ ， $C P$ 交于一点．
请解答问题：

(1)、反思：上述证明过程中的“依据1”“依据2”分别是什么？

(2)、归纳：三角形的内心到三角形三边的距离．

(3)、拓展：已知 $B C = a$ ， $A C = b$ ， $A B = c$ ， $O D = r$ ，请直接用 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $r$ 表示 $△ A B C$ 的面积．

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18、如图，在等边 $△ A B C$ 中，M是 $B C$ 边上一点（不含端点B ， C），N是 $△ A B C$ 的外角 $∠ A C H$ 的平分线上一点，且 $A M = M N$ ．

(1)、尺规作图：在直线 $B C$ 的下方，过点B作 $∠ C B K = ∠ C B A$ ，作 $N C$ 的延长线，与 $B K$ 相交于点K；

(2)、在（1）的条件下，
①求证： $△ B K C$ 是等边三角形；
②求证： $∠ A M N = 60 °$ ．

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19、如图1，等边 $△ A B C$ 与等边 $△ D C P$ 的顶点 $B$ ， $C$ ， $P$ 三点在一条直线上，连接 $A P$ 交 $B D$ 于 $E$ 点，连 $E C$ ．

(1)、求证： $A P = B D$ ；

(2)、求证： $E C$ 平分 $∠ B E P$ ；

(3)、若 $B P = 4 C P$ ，直接写出 $B E$ 和 $P E$ 之间满足的数量关系．

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20、尺规作图〔不写做法，保留作图痕迹）：

(1)、如图，设A ， B ， C三点表示三个村庄，为了解决村民子女就近入学问题，计划新建一所小学，要求三个村庄到学校的距离相等．请你通过尺规作图，在图中确定学校的位置．

(2)、两个城镇A ， B与两条公路 $l_{1}$ 、 $l_{2}$ 位置如图所示，电信部门需要在公路上的上方C处修建一座信号发射塔，要求发射塔到两个城镇A ， B的距离相等，到两条公路 $l_{1}$ 、 $l_{2}$ 的距离也相等，请在图中作出符合条件的点C ．

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