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1、如图所示，铁路 $O A$ 和铁路 $O B$ 交于 $O$ 处，河道 $A B$ 与铁路分别交于 $A$ 处和 $B$ 处，试在河岸上建一座水厂 $M$ ，要求 $M$ 到铁路 $O A$ ， $O B$ 的距离相等，则该水厂 $M$ 应建在图中什么位置？请在图中标出 $M$ 点的位置．

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2、如图，四边形区域是音乐广场的一部分，现在要在这一区域内建一个喷泉，要求喷泉到两条道路 $O A$ ， $O B$ 的距离相等，且到入口 $A$ 、 $C$ 的距离相等请确定喷泉的位置 $P$ ．

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3、如图，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $∠ A = 30 °$ ， $B C = 12$ ， $C D$ 平分 $∠ A C B$ 交斜边 $A B$ 于点 $D$ ，动点 $P$ 从点 $C$ 出发，沿着三角形的边由 $C$ 到 $A$ ，再向终点 $D$ 运动．

(1)、点 $P$ 在 $C A$ 上运动的过程中，当 $△ C P D$ 与 $△ C B D$ 的面积相等时，求 $C P$ 的长度；

(2)、点 $P$ 在线段 $C A$ 和线段 $A D$ 上运动的过程中，若 $△ C P D$ 是等腰三角形，求 $∠ C P D$ 度数；

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4、如图，在 $△ A B C$ 中，点D在 $B C$ 边上， $∠ B A D = 100 ° ， ∠ A B C$ 的平分线交 $A C$ 于点E ，过点E作 $E F ⊥ A B$ ，垂足为F ，且 $∠ A E F = 50 °$ ，连接 $D E$ ．

(1)、求证： $D E$ 平分 $∠ A D C$ ；

(2)、若 $A B = 6 ， A D = 4 ， C D = 8$ ，且 $S_{△ A C D} = 18$ ，求 $△ A B E$ 的面积．

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5、如图，在等腰三角形 $A B C$ 中， $A B = A C$ ， $∠ B = 50 °$ ， D为 $B C$ 的中点，点E在 $A B$ 上， $∠ A E D = 69 °$ ，若点P是等腰三角形 $A B C$ 的腰 $A C$ 上的一点，则当 $△ E D P$ 是以 $D E$ 为腰的等腰三角形时， $∠ E D P$ 的度数是．

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6、如图， $O A$ 是 $∠ M O N$ 的平分线，过 $A$ 作一直线分别与 $∠ M O N$ 的两边交于 $B$ 、 $C$ 两点，线段 $B C$ 的垂直平分线交 $O A$ 于点 $D$ ，交 $B C$ 于点 $P$ ．若 $∠ M O N = 54 °$ ，则 $∠ B D P$ 的度数为（）

A、 $54 °$ B、 $63 °$ C、 $66 °$ D、 $72 °$

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7、如图，在四边形 $A B C D$ 中， $∠ B = 90 °$ ， $B C = 3$ ， $A D = 5$ ，连接 $A C$ ， $A C ⊥ C D$ ，垂足为C ，并且 $∠ A C B = ∠ D$ ，则 $S_{△ A C D} =$ ．

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8、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ， $A D$ 是高， $B E$ 是中线， $C F$ 是角平分线， $C F$ 交 $A D$ 于点 $G$ ，交 $B E$ 于点 $H$ ．下列结论： $① S_{△ A B E} = S_{△ B C E}$ ； $② ∠ A F G = ∠ A G F$ ； $③ F A = G D$ ； $④ ∠ F A G = 2 ∠ A C F$ ，其中正确的有（）

A、 $① ②$ B、 $② ③$ C、 $① ② ④$ D、 $① ③ ④$

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9、学习了等腰三角形的知识后，小南进行了拓展性研究．他发现：过等腰三角形底边上的一点向两腰作垂线段，这两条线段的和等于等腰三角形一腰上的高．小南的解决思路是通过计算面积得出结论，请你根据他的想法与思路，完成以下作图与填空：

(1)、用无刻度的直尺和圆规，过点C作 $A B$ 的垂线 $C D$ ，垂足为点D，连接 $A P$ ．（只保留作图痕迹，不写作法）

(2)、已知：如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $P E ⊥ A B$ 于点E， $P F ⊥ A C$ 于点F．求证： $P E + P F = C D$ ．
证明：
$∵ P E ⊥ A B$ ， $P F ⊥ A C$ ， $C D ⊥ A B$ ，
$∴ S_{△ A P B} = \frac{1}{2} A B \cdot P E$ ， $S_{△ A P C} = \frac{1}{2} A C \cdot P F$ ， $S_{△ A B C} = \frac{1}{2} A B \cdot C D$ ．
$∵ S_{△ A P B} + S_{△ A P C} = S_{△ A B C}$ ，
$∴ \frac{1}{2} A B \cdot P E + \frac{1}{2} A C \cdot P F =$ ①    ▲     ，
即 $A B \cdot P E + A C \cdot P F = A B \cdot C D$ ．
$∵$ ②    ▲     ，
$∴ A B \cdot (P E + P F) = A B \cdot C D$ ，
$∴$ ③    ▲     ．
由此小南得出结论：过等腰三角形底边上一点向两腰作垂线段，则④    ▲     ．

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10、如图，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $∠ A = 30 °$ ，线段 $A B$ 的垂直平分线分别交 $A C, A B$ 于点D，E，连接 $B D$ ．若 $C D = 4$ ，则 $A D$ 的长为（）

A、4 B、8 C、12 D、16

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11、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ C = 90 °, D E ⊥ A B$ 于点 $E$ ， $C D = D E$ ，若 $∠ C B D = 31 °$ ，则 $∠ A =$ ．

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12、如图， $△ A B C$ 是边长为1的等边三角形，取 $B C$ 边中点 $E$ ，作 $E D / / A B$ ， $E F / / A C$ ，得到四边形 $E D A F$ ，它的面积记作 $S_{1}$ ；取 $B E$ 中点 $E_{1}$ ；作 $E_{1} D_{1} / / F B$ ， $E_{1} F_{1} / / E F$ ，得到四边形 $E_{1} D_{1} F F_{1}$ ，它的面积记作 $S_{2}$ ．照此规律作下去， $S_{2012} =$ ．

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13、在平面直角坐标系中，若干个边长为 $2$ 个单位长度的等边三角形，按如图中的规律摆放．点 $P$ 从原点 $O$ 出发，以每秒 $1$ 个单位长度的速度沿着等边三角形的边“ $O A_{1} \to A_{1} A_{2} \to A_{2} A_{3} \to A_{3} A_{4} \to A_{4} A_{5}$ …”的路线运动，设第 $n$ 秒运动到点 $P$ ，（ $n$ 为正整数），则点 $P_{2020}$ 的坐标是.

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14、如图： $△ A B C$ 是边长为6的等边三角形， $P$ 是 $A C$ 边上一动点．由点 $A$ 向点 $C$ 运动（ $P$ 与点 $A 、 C$ 不重合），点 $Q$ 同时以点 $P$ 相同的速度，由点 $B$ 向 $C B$ 延长线方向运动（点 $Q$ 不与点 $B$ 重合），过点 $P$ 作 $P E ⊥ A B$ 于点 $E$ ，连接 $P Q$ 交 $A B$ 于点 $D$ ．

(1)、若设 $A P$ 的长为 $x$ ，则 $P C =$ ， $Q C =$ ．

(2)、当 $∠ B Q D = 30 °$ 时，求 $B D$ 的长．

(3)、点 $P ， Q$ 在运动过程中，线段 $E D$ 的长是否发生变化？如果不变，求出线段 $E D$ 的长；如果变化，请说明理由．

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15、如图，已知 $△ A B C$ 是等边三角形， $D$ ， $E$ ， $F$ 分别是射线 $B A$ ， $C B$ ， $A C$ 上的点，且 $A D = B E = C F$ ，连结 $D E$ ， $E F$ ， $D F$ ．

(1)、求证： $D E = E F$ ；

(2)、试判断 $△ D E F$ 的形状，并说明理由．

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16、如图1， $Rt △ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ， $∠ B = 30 °$ ， $A D ⊥ B C$ 于D， $C F$ 平分 $∠ A C B$ ，交 $A D$ 于E，交 $A B$ 于F．

(1)、如图1，求证： $△ A E F$ 是等边三角形；

(2)、如图1，若 $B C = 8$ ，则 $C D$ 的长为．

(3)、取 $A E$ 的中点为G，连接 $F G$ ，如图2，求证： $△ E F G ≌ △ E C D$ ．

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17、如图，在四边形 $A B C D$ 中， $A B = A D$ ， $C B = C D$ ， $∠ A = 60 °$ ，点 $E$ 为 $A D$ 上一点，连接 $B D$ ， $C E$ 交于点 $F$ ， $C E ∥ A B$ ．

(1)、判断 $△ D E F$ 的形状，并说明理由；

(2)、若 $A D = 13$ ， $C E = 9$ ，则 $C F$ 的长为．

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18、已知： $△ A B C$ 是等边三角形， $D$ 是直线 $B C$ 上一动点，连接 $A D$ ，在线段 $A D$ 的右侧作射线 $D P$ 且使 $∠ A D P = 30 °$ ，作点 $A$ 关于射线 $D P$ 的对称点 $E$ ，连接 $D E$ ， $C E$ ．

(1)、当点 $D$ 在线段 $B C$ 上运动时，
①依题意将图1补全；
②请用等式表示线段 $A B$ ， $C E$ ， $C D$ 之间的数量关系，并证明；

(2)、如图2，当点 $D$ 在直线 $B C$ 上运动时，请直接写出 $A B$ ， $C E$ ， $C D$ 之间的数量关系，不需证明．

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19、如图，已知 $△ A B C$ ， $A B = A C$ ， $∠ B = 50 °$ ，点 $D$ 在线段 $B C$ 上，点 $E$ 在线段 $A C$ 上，设 $∠ B A D = α$ ， $∠ C D E = β$ ．

(1)、如果 $α = 20 °$ ， $β = 10 °$ ，那么 $△ A D E$ 是等边三角形？请说明理由；

(2)、若 $A D = A E$ ，试求 $α$ 与 $β$ 之间的关系．

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20、如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $∠ B A C = 120 °$ ， $A D ⊥ B C$ 交 $B C$ 于点 $G$ ，且 $A D = A B$ ， $∠ E D F = 60 °$ ，其两边分别交边 $A B$ ， $A C$ 于点 $E$ ， $F$ ．

(1)、求证： $△ A B D$ 是等边三角形；

(2)、若 $G D = 3$ ， $D E = 5$ ，求四边形 $A E D F$ 的周长．

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