相关试卷

1、下列四个实数中，是无理数的是（）

A、0 B、 $- 5$ C、 $\sqrt{6}$ D、 $\frac{1}{2}$

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2、项目主题：《人工智能视觉识别》
项目背景：视觉识别技术是人工智能领域的一个重要分支，它让计算机能“看懂”图象，目标矩形（BoundingBox）是视觉识别技术的一个重要概念，它在计算机视觉的多个领域中都有应用，如目标检测、图象分割、物体跟踪等，目标矩形是一种用于表示图象中目标物体位置和大小的矩形框，在常规的目标检测任务中，如图1，一般使用边与轴平行的矩形框．
概念学习：
在平面直角坐标系xOy中，图形的目标矩形定义如下：矩形的两组对边分别平行于x轴，y轴，图形的所有点都在矩形的内部或边上，且矩形的面积最小．设矩形的竖直边与水平边的比为k，我们称常数k为图形的纵横比．举例：如图2，矩形ABCD为菱形蓝宝石的目标矩形，纵横比 $k = \frac{A B}{B C} = \frac{3}{2}$ ．
任务一：
①如图3，足球经过计算机识别后的图形为圆，其目标矩形的纵横比k= ．
②如图4，铅笔经过计算机识别后的图形为线段HK，表达式为 $y = \frac{3}{4} x (0 \leq x \leq 8)$ ，其目标矩形的纵横比k= ．
任务二：如图5和图6，拱桥经过计算机识别后的图形为抛物线，该抛物线关于y轴对称，最高点C与水面的距离CD为5米，其目标矩形的纵横比 $k = \frac{1}{4}$ ，求抛物线的表达式（不必写出自变量的取值范围）．
任务三：如图7和图8，高速公路经过计算机识别后的图形为双曲线，表达式为 $y = \frac{8}{x} (1 \leq x \leq m)$ ，其中点M(1，8)，其目标矩形的纵横比 $k = \sqrt{2}$ ，求m 的值．

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3、【概念认识】
城市的许多街道是相互垂直或平行的，因此，往往不能沿直线行走到达目的地，只能按直角拐弯的方式行走．可以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐标系 $x O y$ ，对两点 $A (x_{1}, y_{1})$ 和 $B (x_{2}, y_{2})$ ，用以下方式定义两点间距离： $d (A, B) = |x_{1} - x_{2}| + |y_{1} - y_{2}|$ ．
【数学理解】
（1）①已知点 $A (- 2, 1)$ ，则 $d (O, A) =$ _________．
②函数 $y = - 2 x + 4 (0 \leq x \leq 2)$ 的图象如图①所示，B是图象上一点， $d (O, B) = 3$ ，则点B的坐标是________．
（2）函数 $y = \frac{4}{x} (x > 0)$ 的图象如图②所示．求证：该函数的图象上不存在点C，使 $d (O, C) = 3$ ．
（3）函数 $y = x^{2} - 5 x + 7 (x \geq 0)$ 的图象如图③所示，D是图象上一点，求 $d (O, D)$ 的最小值及对应的点D的坐标．

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4、如图， $A C$ 是圆O的直径， $A C = 4$ ， $B A$ 所对的圆心角为 $120 °$ ，点D是弦 $A B$ 上的一个动点，那么 $O D + \frac{1}{2}$ $B D$ 的最小值为．

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5、下列实数中，无理数是（）

A、 $- 3$ B、 $0$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\sqrt[3]{5}$

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6、在综合与实践课上，同学们以“图形的旋转”为主题开展数学探究活动．
【问题呈现】如图1， $△ A B C$ 内部有一点P，连接 $P A 、 P B 、 P C$ ，求 $P A + P B + P C$ 的最小值．
【问题解快】小明是这样做的：他将 $△ A P C$ 绕点C顺时针旋转 $60 °$ 得到 $△ E D C$ ，连接 $P D$ ，可得 $△ P C D$ 为等边三角形，故 $P C = P D$ ，由旋转可得 $P A = D E$ ，因此 $P A + P B + P C = D E + P B + P D$ ．
（1）由_______（数学依据）可知： $P A + P B + P C$ 的最小值与线段的_______的长度相等，此时 $∠ B P C =$ _______
（2）【类比应用】如图2，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 60 °, A C = 6, B C = 4, P$ 为 $△ A B C$ 内一点，连接 $P A 、 P B 、 P C$ ，求 $P A + P B + P C$ 的最小值．
（3）【生活实际】如图3，是某新建公园的一块四边形空地，其中 $∠ B = 90 °, ∠ B A D = 105 °$ ， $A B = B C = 40$ 米， $A D = 40 \sqrt{2}$ 米，规划部门计划在等腰 $Rt △ M N Q$ 区域种植花卉，其中 $M 、 N$ 是边 $A B 、 B C$ 上的两个动点，且始终保持 $B M = C N$ ．同时为了方便市民观赏与休息，决定在这块空地内部的点P处建造一个凉亭，从P点分别向 $A 、 D 、 Q$ 处修建文化长廊，为节约修建文化长廊的成本，不考虑其他因素，是否存在这样的点P，使得 $P A + P D + P Q$ 最小，若存在，请求出 $P A + P D + P Q$ 的最小值；若不存在，请说明理由．

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7、为了保护环境，某开发区综合治理指挥部决定购买A，B两种型号的污水处理设备共10台.已知用90万元购买A型号的污水处理设备的台数与用75万元财买B型号的污水处理设备的台数相同，每台设备价格及月处理河水量如下表所示：
污水处理设备
A型
B型
价格（万元／台）
m
$m - 3$
月处理污水量（吨／台）
200
180

(1)、求 $m$ 的值；

(2)、由于受资金限制，指挥部用于购买污水处理设备的资金不超过165万元，问每月最多处理污水量的吨数是多少．

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8、（1）如图1，在 $△ A B C, A B = A C, O$ 为 $△ A B C$ 内一点，且 $O B = O C$ ，求证：直线 $A O$ 垂直平分 $B C$ ，以下是小明的证明思路，请补全框中的分析过程.
要证直线 $A O$ 垂直平分 $B C$ ，只要证点 $A$ 、点O都在 $B C$ 的垂直平分线上.只要证
______=______，______=______
（2）如图（2），在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ，点D、E分别在 $A B 、 A C$ 上，且 $B D = C E$ ，请你只用无刻度的直尺画出 $B C$ 边的垂直平分线，并说明理由.

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9、先化简，再求值： $(1 - \frac{1}{x - 1}) \cdot \frac{x^{2} - 1}{x - 2}$ ，其中 $x = 3$ ．

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10、已知 $a b = \frac{3}{8}$ ， $a + b = \frac{1}{2}$ ，求多项式 $a^{3} b + 2 a^{2} b^{2} + a b^{3}$ 的值．

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11、解不等式组： $\{\begin{matrix} 7 x - 8 < 9 x \\ \frac{x + 1}{2} \leq 1 \end{matrix}$ ．

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12、如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C，P都在格点（网格线的交点）上，且点 $P$ 在 $△ A B C$ 的边 $A C$ 上，则 $∠ P A B + ∠ P B A$ 的度数是．

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13、将点 $P (2, 1)$ 先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到点 $P^{'}$ 的坐标是．

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14、因式分解： $2 a + 4 =$ ．

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15、对于命题“若 $a > b$ ，则 $a^{2} > b^{2}$ 小明想举一个反例说明它是一个假命题，则符合要求的反例可以是（）

A、 $a = - 1, b = 0$ B、 $a = 2, b = - 1$ C、 $a = 2, b = 1$ D、 $a = - 1, b = - 2$

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16、若 $x = \sqrt{5} + 2$ ，则代数式 $x^{2} - 4 x + 7$ 的值为．

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17、如图，在等腰 $Rt △ A B C$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ， $A B = B C$ ，以点B为旋转中心，将BC逆时针旋转 $60 °$ 得到线段 $B D$ ，连接 $C D$ 、 $A D$ ．若 $A C = 4$ ，则 $A D$ 的长为（）

A、 $2$ B、 $3$ C、 $2 \sqrt{3} - 2$ D、 $4 \sqrt{3} - 3$

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18、某纪念品店购进2022年冬奥会吉祥物冰墩墩与冬残奥会吉祥物雪容融共60个，花去2000元，这两种吉祥物的进价、售价如表：
进价（元/个）
售价（元/个）
冰墩墩
30
40
雪容融
50
65

(1)、求冰墩墩、雪容融各进了多少个？

(2)、这60个吉祥物玩具很快售完，所得利润再次用于购进冰墩墩与雪容融（至少一个），且恰好用完，那么该纪念品店再次购进冰墩墩与雪容融各多少个？

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19、如图，在平面直角坐标系中，三角形 $A B C$ 三个顶点的坐标分别为 $A (- 4, 1)$ ， $B (0, - 1)$ ， $C (- 2, - 2)$ ， $A^{'} (- 1, 3)$ 为坐标平面内另一点．

(1)、将三角形 $A B C$ 进行平移，使点 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对应点分别为 $A^{'}$ ， $B^{'}$ ， $C^{'}$ ，画出平移后的三角形 $A^{'} B^{'} C^{'}$ ；

(2)、 $B^{'}$ 的坐标为________， $C^{'}$ 的坐标为________；

(3)、顺次连接 $A^{'}$ 、 $A$ 、 $C$ 、 $B$ 四个点围成的四边形，则这个四边形的面积为________．

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20、小鑫、小童两人同时解方程组 ${\begin{matrix} a x + b y = 15 ① \\ 4 x - b y = - 2 ② \end{matrix}$ 时，小鑫看错了①方程中的a，解得 $\{\begin{array}{l} x = - 3 \\ y = - 1 \end{array}$ ，小童看错了②中的b，解得 $\{\begin{array}{l} x = 5 \\ y = 4 \end{array} ．$

(1)、求正确的a，b的值；

(2)、求原方程组的正确解．

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污水处理设备	A型	B型
价格（万元／台）	m	$m - 3$
月处理污水量（吨／台）	200	180

	进价（元/个）	售价（元/个）
冰墩墩	30	40
雪容融	50	65