相关试卷

1、根据等式的性质，下列各式变形错误的是（）

A、若 $a = b$ ，则 $a + 3 = b - 3$ B、若 $a = b$ ，则 $a c^{2} = b c^{2}$ C、若 $a = b$ ，则 $a - 2 = b - 2$ D、若 $a = b$ ，则 $a \div 3 = b \div 3$

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2、下列各式中计算正确的是（）

A、 $- 3 + 4 = - 7$ B、 ${(- 4)}^{2} = - 16$ C、 $(- 8) \times 2 = - 16$ D、 $(- 9) \div 3 = 3$

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3、如图是由5个相同的小正方体组成的几何体，从正面看这个几何体得到的平面图形是（）

A、 B、 C、 D、

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4、太阳到地球的距离约为 $150000000 km$ ，将这个数字 $150000000$ 用科学记数法可表示为（）

A、 $1.5 \times 10^{9}$ B、 $15 \times 10^{8}$ C、 $1.5 \times 10^{8}$ D、 $1.5 \times 10^{7}$

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5、计算： $|- 5| =$ （）

A、 $- 5$ B、5 C、 $- \frac{1}{5}$ D、 $\frac{1}{5}$

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6、综合与探究：
【问题背景】如图， $∠ A O B = 90 °$ ，点 $P$ 在 $∠ A O B$ 的平分线上， $P C ⊥ O A$ 于点 $C$

(1)、【操作探究】如图①，点 $M$ 在射线 $C O$ 上，连接 $P M$ ，过点 $P$ 作 $P N ⊥ P M$ 交射线 $O B$ 于点 $N$ ，过点 $P$ 作 $P E ⊥ O B$ 于点 $E$ ．
①补全图形，则 $∠ C P E$ 的度数为 ▲ ；
②若点 $M$ 在线段 $C O$ 上，求证： $O M + O N = 2 O C$ ；
③若点 $M$ 在射线 $C O$ 上， $O M = 1$ ， $O C = 3$ ，求 $O N$ 的长；

(2)、【拓展应用】如图②，点 $D$ 在线段 $P C$ 上，连接 $O D$ ， $∠ D O P = 22.5 °$ ， $O D = 4$ ，直接写出 $△ P O D$ 的面积．

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7、阅读材料，回答下列问题（规定 $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）：
材料一：乘方：求 $n$ 个相同因数（ $a$ ）乘积的运算，叫作乘方，记作： $a^{n} = y$ ，其中， $a$ 为底数， $n$ 为指数，结果 $y$ 为幂．如： $3^{2} = 9$ ．设 $a^{m} = x$ ， $a^{n} = y$ ，有如下性质：
（1） $x \cdot y = a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n}$ ；
（2） $x \div y = a^{m} \div a^{n} = a^{m - n}$ ；
材料二：开方：如果一个数 $a$ 的 $n$ 次方等于 $y$ （即： $a^{n} = y$ ）， $a$ 称为 $y$ 的 $n$ 次方根．记作： $\sqrt[n]{y} = a$ ， $y$ 为被开方数， $n$ 为根指数．如： $\sqrt{9} = 3$
材料三：对数：如果 $a^{n} = y$ ，那么 $n$ 被称为以 $a$ 为底 $y$ 的对数，记作 $n = \log_{a} y$ ，其中 $a$ 为对数的底数， $y$ 为真数．如： $3^{2} = 9$ ，则 $\log_{3} 9 = \log_{3} 3^{2} = 2$ ．设 $a^{m} = x$ ， $a^{n} = y$ ，则 $\log_{a} x = m$ ， $\log_{a} y = n$ ， $\log_{a} a^{n} = n$ ，有如下性质及推导过程：
（1） $\log_{a} (\frac{x}{y}) = \log_{a} x - \log_{a} y$ ；
（2） $\log_{a} (x \cdot y) = \log_{a} x + \log_{a} y$ ；
（1）推导过程：
$\log_{a} (\frac{x}{y}) = \log_{a} (\frac{a^{m}}{a^{n}}) = \log_{a} (a^{m} \div a^{n}) = \log_{a} a^{m - n} = m - n = \log_{a} x - \log_{a} y$ ；
规律总结：乘方、开方、对数之间的关系： $a^{n} = y \leftrightarrow \sqrt[n]{y} = a \leftrightarrow \log_{a} y = n$ ．

(1)、根据以上材料规律：已知 $2^{3} = 8$ ；则 $\sqrt[3]{8} =$ ______； $\log_{2} 8 =$ ______

(2)、类比材料三的推导过程，求证： $\log_{a} x \cdot y = \log_{a} x + \log_{a} y$ ；

(3)、根据阅读材料计算： $\log_{3} 18 + \log_{3} 2 - \log_{3} 4$ ．

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8、【课本再现】小新完成人教版八年级上册数学53页第8题后再深入拓展，并对四边形 $A B C D$ 进行了如下尺规作图：
①以点 $A$ 为圆心，适当长为半径作弧交 $A D$ 于点 $M$ ，交 $A B$ 于点 $N$ ；
②分别以 $M$ ， $N$ 为圆心，大于 $\frac{1}{2} M N$ 的长为半径作弧，两弧在 $∠ D A B$ 的内部相交于点 $P$ ；
③作射线 $A P$ 交 $B C$ 于点 $E$ ．
若 $∠ B = ∠ C = 90 °$ ，点 $E$ 为 $B C$ 中点．

(1)、【问题解决】线段 $A B$ 与 $C D$ 的位置关系为______．

(2)、【尝试证明】求证： $∠ C E D + ∠ B E A = 90 °$ ；

(3)、【拓展提高】若 $∠ D E C = 30 °$ ， $D C = 2$ ，求 $A B$ 的长．

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9、【教材呈现】小红练习了人教版八年级上册数学118页第7题，并进行了深入研究：
7.已知 $a + b = 5$ ， $a b = 3$ ，求 $a^{2} + b^{2}$ 的值
解： $∵ (a + b)^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$
$∴ a^{2} + b^{2} = (a + b)^{2} - 2 a b$
$= 5^{2} - 2 \times 3$
$= 19$
$∴ a^{2} + b^{2}$ 的值为 $19$ ．

(1)、【解决问题】已知 $a + b = 5$ ， $a^{2} + b^{2} = 13$ ，求 $a b$ 的值；

(2)、【知识迁移】已知 $x + \frac{1}{x} = 7$ ，求 $x^{2} + \frac{1}{x^{2}}$ 的值．

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10、第十五届全国运动会在广州开幕，吉祥物是“喜洋洋”和“乐融融”，寓意“喜气洋洋，团圆和美”，商店用1800元购进吉祥物“喜洋洋”和用3000元购进吉祥物“乐融融”．

(1)、求吉祥物“乐融融”和“喜洋洋”的购进单价

(2)、该商店将吉祥物“乐融融”的售价定为95元／件，全部售出后总利润不低于1280元．求吉祥物“喜洋洋”每件的最低售价应为多少元？

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11、【观察思考】在平面直角坐标系中，若直线 $l$ 上的所有点的横坐标均为 $a$ ，则直线 $l$ 称为直线 $x = a$ ．如图，直线 $l$ 上的横坐标均为3，记为直线 $x = 3$ ．探索关于直线 $x = 3$ 对称的点的坐标规律如下：
已知点
对称轴
对称点
横坐标之间的数量关系
$A (1, 1)$
直线 $x = 3$
$A^{'} (5, 1)$
$1 + 5 = 2 \times 3$
$B (0, 2)$
直线 $x = 3$
$B^{'} (6, 2)$
$0 + 6 = 2 \times 3$
$C (- 1, - 2)$
直线 $x = 3$
$C^{'} (7, - 2)$
$- 1 + 7 = 2 \times 3$

(1)、【特例感知】根据以上图表，可知 $D (- 2, - 1)$ 关于直线 $x = 3$ 对称的点 $D^{'}$ 的坐标为______．

(2)、【规律应用】结合以上规律完成下列问题：
①点 $E (1, - 2)$ 关于直线 $x = 2$ 对称的点 $E^{'}$ 的坐标为______．
②若点 $F (1, 3)$ 关于直线 $x = b$ 对称的点 $F^{'}$ 的坐标为 $(7, 3)$ ，则 $b$ 的值为______．

(3)、【深入拓展】若点 $P (m, n)$ 与点 $Q$ 关于直线 $x = c$ 对称，求点 $Q$ 的坐标．（用含有 $m$ ， $n$ ， $c$ 的代数式表示）

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12、如图， $A B ∥ C D$ ， $A B = C D$ ；有如下条件：① $∠ E D C = ∠ B$ ；② $A E = C F$ ．

(1)、从①②中选一个作为已知条件，求证： $△ A B F ≌ △ C D E$ ；

(2)、若 $∠ A = 60 °$ ， $C F = C D = 8$ ，求点 $D$ 到点 $F$ 的距离．

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13、已知分式： $A = \frac{x}{x - 2}$ ， $B = \frac{1}{x - 2}$ ， $C = \frac{x^{2} + 2 x}{x^{2} - 4}$ ；

(1)、要使分式 $A = \frac{x}{x - 2}$ 有意义，则 $x$ 的取值范围为______．

(2)、化简 $(C + B) \div A$ ，并从 $1$ ， $3$ ， $0$ ， $2$ 中选取一个合适的数作为 $x$ 的值代入求值

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14、（1）请在① $2^{2}$ ， ② $1^{4}$ ， ③ $- 1$ ， ④ ${(\frac{1}{2})}^{- 2}$ 中任选3个代数式求和．
（2）计算： $2 x^{6} + x^{2} \cdot x^{4} + {(x^{2})}^{3}$ ．

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15、如图，在四边形 $A B C D$ 中， $A B = A D$ ， $∠ B A D = 60 °$ ， $∠ A B C + ∠ A D C = 180 °$ ， $A C = 8$ ，四边形 $A B C D$ 的面积为 $16 \sqrt{3}$ ，当四边形 $A B C D$ 的周长最小时，则 $A D$ 的长为．

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16、贵州花江峡谷大桥全长2890米，大桥多采用三角形结构（如图），使其不易变形，其蕴含的数学道理是．（填序号）
①三角形具有稳定性；②三角形的内角和为 $180 °$ ；③三角形任意两边之和大于第三边．

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17、请你写出一个比 $\sqrt{3}$ 大的整数．

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18、如图，在 $△ A B C$ 中，分别以点 $A$ 和点 $B$ 为圆心，大于 $\frac{1}{2} A B$ 的长为半径作弧，两弧相交于 $M$ ， $N$ 两点，作直线 $M N$ 交 $A C$ 于点 $D$ ，连接 $B D$ ．若 $A D = B C$ ， $A B = A C$ ，则 $∠ A$ 的度数为（）

A、 $18 °$ B、 $30 °$ C、 $36 °$ D、 $72 °$

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19、小星和小红到距离新浦 $30 km$ 的遵义会议纪念馆参观，小星乘燃油车先出发， $10 min$ 后，小红乘新能源车出发，结果他们同时到达．已知新能源车的平均速度是燃油车平均速度的 $1.3$ 倍，设燃油车的平均速度为 $x km/h$ ，则列方程正确的是（）

A、 $\frac{30}{x} - \frac{30}{1.3 x} = 10$ B、 $\frac{30}{1.3 x} - \frac{30}{x} = \frac{1}{6}$ C、 $\frac{30}{x} - \frac{30}{1.3 x} = \frac{1}{6}$ D、 $\frac{30}{x} + \frac{30}{1.3 x} = \frac{1}{6}$

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20、数形结合是初中数学重要的思想方法，如图所示的几何图形描述了一个重要的数学公式，这个公式是（）

A、 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ B、 ${(a - b)}^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}$ C、 ${(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$ D、 ${(a b)}^{2} = a^{2} b^{2}$

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已知点	对称轴	对称点	横坐标之间的数量关系
$A (1, 1)$	直线 $x = 3$	$A^{'} (5, 1)$	$1 + 5 = 2 \times 3$
$B (0, 2)$	直线 $x = 3$	$B^{'} (6, 2)$	$0 + 6 = 2 \times 3$
$C (- 1, - 2)$	直线 $x = 3$	$C^{'} (7, - 2)$	$- 1 + 7 = 2 \times 3$