相关试卷

1、长沙约有2400年建城史，是楚文明和湘楚文化的发源地，境内历史名迹颇多．小明一家准备在岳麓书院、天心阁、橘子洲头、开福寺中随机选择一处游玩，则选到“橘子洲头“的概率是（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{3}{4}$

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2、综合与实践

(1)、【初步感知】如图1，点 $E, F$ 是 $▱ A B C D$ 的对角线BD上两点，且 $B E = D F$ ，连接AE ， CF ．则AE与CF的数量关系是；

(2)、【尝试探索】如图2，在Rt $△ A B D$ 中，E ， F是斜边BD上两个动点，且 $B E = D F$ ，连接AE ， AF ，若 $A B = 4, A D = 6$ ．求 $A E + A F$ 的最小值；

(3)、【拓展应用】如图3，在 $▱ A B C D$ 中（其中 $C D > B C$ ）， $B C = 2$ ， $∠ C B D = 6 0^{°}$ ，点M ， N为对角线BD上的两个动点，连接AM ， CN ．若 $B N = \frac{1}{2} D M$ ，求 $\frac{1}{2} A M + C N$ 的最小值．

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3、如图，以点 $G (0, - 3)$ 为圆心，以6个单位长为半径作 $⊙ G$ ，与 $x$ 轴相交于A ， B两点，与 $y$ 轴相交于C ， D两点．二次函数 $y = \frac{1}{3} x^{2} + c$ 的图象经过 $A, B, C$ 三点．

(1)、求c的值；

(2)、连接 $A G, B G, A D$ 和BD ，求证：四边形ADBG为菱形；

(3)、如果横坐标、纵坐标都是整数的点称为整点.已知位于 $x$ 轴下方的抛物线上有两个整点R ， T ，连接RT ，那么在 $x$ 轴下方的二次函数的图象上，是否存在点 $P$ ，使 $∠ R P T = 4 5^{°}$ ？如果存在，请求出点 $P$ 的坐标；如果不存在，请说明理由．

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4、截至2024年9月底，全国登记在册的批发零售业和住宿餐饮业共计915万户，批发零售业比住宿餐饮业多490.4万户.

(1)、求批发零售业和住宿餐饮业各有多少户？

(2)、为促进就业，鼓励消费，若2025年上半年新增批发零售业和住宿餐饮业共120万户，且新增批发零售业户数不超过新增住宿餐饮业户数的2倍，问：住宿餐饮业至少要新增多少户？

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5、某数学兴趣小组利用假期在南湖公园进行实践活动，将“测量南湖公园的湖中小岛D与岸边码头C之间的距离”作为一项活动课题，并设计了如下的测量方案，并尝试解决．

活动课题	测量南湖公园的湖中小岛与岸边码头之间的距离
工具	测距仪、测角仪
示意图
说明	如图，湖中小岛 $D$ 在岸边码头 $C$ 的正北方向，AB是一段南北走向的沿湖风光人行道， $A, B, C, D$ 在同一平面内.
测量数据	$A C = 240$ 米，点 $C$ 在点 $A$ 的北偏西 $3 0^{°}$ 方向；在人行道上选取点 $E$ ，使点 $C$ 恰好在点 $E$ 的正西方向（即 $C E ⊥ A B$ ），点 $D$ 在点 $E$ 的北偏西 $3 0^{°}$ 方向.

请根据表格中提供的信息，解决下列问题：

(1)、求码头

C

到沿湖风光人行道AB的距离CE；

(2)、求湖中小岛

D

与码头

C

之间的距离．（结果精确到1米．参考数据：

\sqrt{3} \approx 1.73

）

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6、某中学对部分学生就心理健康知识的了解程度，采用随机抽样调查的方式，并根据收集到的信息进行统计，绘制了如下两幅尚不完整的统计图.
根据图中提供的信息，回答下列问题：

(1)、接受问卷调查的学生中共有人，条形统计图中 $m$ 的值为；

(2)、求扇形统计图中“了解很少”所对应扇形圆心角的度数；

(3)、若从对心理健康知识达到“非常了解”程度的1名男生和3名女生中随机抽取2人参加心理健康知识竞赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率.

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7、如图，四边形ABCD是菱形，过点 $C$ 的直线分别与AB ， AD的延长线交于点E ， F ，且 $B E = B C$ ．

(1)、求证： $△ A E F$ 是等腰三角形；

(2)、连接AC ，若 $B E = 4, E C = 3$ ，求AC的长度．

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8、先化简，再求值： $(1 - \frac{x}{x + 2}) \cdot \frac{x^{2} + 4 x + 4}{x^{2} - 4}$ ，其中 $x = 3$ ．

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9、计算： $202 5^{°} - 2 c o s 3 0^{°} + {(\frac{1}{4})}^{- 1} + | - \sqrt{3} |$ ．

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10、如图，线段OD表示水池的宽， $O D = 4$ 米，以边缘点 $O$ 为原点，OD所在的直线为 $x$ 轴，建立平面直角坐标系，在 $O$ 处安装一根带喷头 $A$ 的水管（喷泉装置的粗细忽略不计），从 $A$ 喷出的水注可抽象为二次函数 $y = a x^{2} + (2 a + 2) x + c$ ，且水注的形状大小与喷头的高度无关.已知水注在与点 $O$ 水平距离1米处达到最高，要使水注落点 $C$ 不超出水池外，则喷头 $A$ 的最大高度为米.

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11、古代有“偃矩以望高”的测高方法，图1是测量工具“矩”，小亮同学利用“矩”测量某物体DE的高度（如图2）.通过调整自己的姿势和“矩”的摆放位置，使AB保持水平，且 $A, C, E$ 三点在同一直线上， $∠ E D A = 9 0^{°}, B C = 0.2$ 米，若点 $B$ 恰为线段AD的中点，则此物体的高度DE为米.

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12、如图是某传送带的部分示意图， $M$ 是 $⊙ O$ 上的一点， $⊙ O$ 的半径为15厘米，当点 $M$ 转动的度数为 $12 0^{°}$ 时，则传送带上的物体向右移动的距离为厘米.（结果保留 $π$ ）

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13、如图，已知线段AB的坐标分别为 $A (1, 1), B (3, 2)$ ，要使反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 图象的一支与此线段有公共点，则 $k$ 的取值范围是．

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14、若 $x_{0}$ 是方程 $\frac{x}{2} = \frac{x - 1}{3} + 1$ 的解，则 $x_{0} =$ ．

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15、将点 $P (2, 3)$ 向左平移3个单位后得到点 $P_{1}$ ，则 $P_{1}$ 的坐标是．

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16、在四边形ABCD中， $∠ A + ∠ B + ∠ C = 30 0^{°}$ ，则 $∠ D$ 的大小为．

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17、若分解因式： $x^{2} + 3 x = x (x + k)$ ，则 $k$ 的值为.

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18、定义：如果一个三角形的一个内角是另一个内角的2倍，那么这样的三角形叫作“妙角三角形”.若等腰 $△ A B C$ 是“妙角三角形”，且腰长为1，则其底角的余弦值为

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{5} - 1}{4}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 或 $\sqrt{2}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 或 $\frac{\sqrt{5} - 1}{4}$

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19、如图，在矩形纸片ABCD中， $A B = 6, A D = 10$ ，点 $E$ 为CD边上的一点，将 $△ A D E$ 沿AE翻折，使点 $D$ 恰好落在BC边上的点 $F$ 处，则BF的长为

A、7 B、8 C、8.6 D、9

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20、如图，点 $A, B, C$ 在 $⊙ O$ 上， $D$ 是劣弧BC的中点．若 $∠ A = 4 0^{°}$ ，则 $∠ C O D$ 的大小为

A、 $2 0^{°}$ B、 $3 0^{°}$ C、 $4 0^{°}$ D、 $5 0^{°}$

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