相关试卷

1、如图，点C是线段 $A B$ 上一点，点D是线段 $A C$ 的中点，则下列等式不成立的是（）

A、 $A D + B D = A B$ B、 $B D - C D = C B$ C、 $A B = 2 A C$ D、 $A D = \frac{1}{2} A C$

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2、如图1，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 6$ ， $B C = 10$ ， E为射线 $B C$ 上一动点，设 $B E = x$ ．连接 $A E$ ，点B关于 $A E$ 的对称点为 $B^{'}$ ，作射线 $E B^{'}$ ．

(1)、【基础探究】如图2，点E在线段 $B C$ 上，且射线 $E B^{'}$ 经过点D．
①求证： $D A = D E$ ；
②求此时x的值；

(2)、【应用拓展】若射线 $E B^{'}$ 交 $C D$ 边于点F， $\frac{C F}{D F} = m$ ．
①当 $m = 1$ 时，求x的值；
②当 $m = \frac{1}{2}$ 时，直接写出x的值．

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3、综合与实践
【情境与问题】
小明家用一款菱形瓷砖（如图1，四边形 $A B C D$ 是菱形，图中圆圈处，代表瓷砖上的花纹）铺地板时，发现在墙角处，剩了一块三角形的区域尚未铺（如图2）．要铺满这个区域，需找到合适的切割线，对菱形瓷砖进行切割．
【测量与初步方案】
小明测得 $P O = P Q = 80 cm$ 等数据后，发现：若按图3中的虚线将瓷砖切割成两部分，则这两部分恰好可以把剩余区域铺满（即，这两部分可拼成如图4中阴影部分表示的 $△ D H C$ ，且 $△ O P Q ≌ △ D H C$ ）．
（1）求菱形 $A B C D$ 的边长；
【方案优化与拓展】
考虑到小明的方案破坏了瓷砖上的花纹，影响美观，小明的爸爸提出了另外方案：按图5中的虚线将瓷砖切割成 $X ， Y ， Z$ 三部分．若小明爸爸的方案也恰好可行，根据上面信息，解答下列问题；
（2）操作：仿照图4，把图5中的 $X ， Y ， Z$ 三部分拼成一个三角形（其中 $Y$ 部分保持不动），在图6中画出并指出所拼成的三角形；
（3）①填空：在图4中， $A R =$ ______ $cm$ ；在图5中， $E D =$ ______ $cm$ ；②求菱形的对角线 $A C$ 的长度．

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4、如图，在四边形 $A B C D$ 中， $A B = A D$ ， $C B = C D$ ，对角线 $A C ， B D$ 交于点O．

(1)、下列条件：① $O A = O C$ ；② $O B = O D$ ；③ $∠ A B D = ∠ C B D$ ．请选择条件：______（填写序号），使得四边形 $A B C D$ 为菱形，并说明理由；

(2)、尺规作图：已知 $∠ A D B < 30 °$ ，请在 $A D$ 上求作一点P，使得 $O P = \frac{1}{2} A D$ ．（保留作图痕迹，不写作法）

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5、中国队包揽了2025年世界无人机足球锦标赛 $F 9 A - A$ ， $F 9 A - B$ 两个组别的冠、亚军．如图，矩形 $A B C D$ 是 $F 9 A - B$ 级别的比赛场地（半场）平面图，由操作区、起飞区、比赛区组成．矩形 $E F G H$ 为起飞区，距场地左侧边界 $1 m$ ，距右侧边界 $2 m$ ，距上侧和下侧边界均为 $0.75 m$ ，且长 $E F$ 比宽 $E H$ 多 $0.5 m$ ．

(1)、设 $E H$ 的长度为 $x m$ ，则 $E F$ 的长度为 $(x + 0.5) m$ ， $A B =$ ______ $m$ ， $B C =$ ______ $m$ （用含x的代数式表示）

(2)、若矩形 $A B C D$ 的面积为 $12 m^{2}$ ，求 $E H$ 的长度．

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6、“广湛”高铁线路于2025年12月22日正式开通运营，它是中国“八纵八横”高速铁路网的重要组成部分．已知列车运行时间 $y (h)$ 与平均速度 $x (km/h)$ （ $0 < x < 350$ ）之间是反比例函数关系，其图象如图所示．

(1)、求y与x之间的函数表达式；

(2)、为保证列车运行安全，当运行时间为1小时40分时，列车的平均速度是多少？

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7、2025年12月14日，深圳南山半程马拉松在深圳人才公园正式起跑．组委会需为赛事组建A，B，C三支人数相同的志愿服务队，并规定每位志愿者只能被随机分配至其中一个服务队．小深、小圳报名参加了此次赛事的志愿服务工作．

(1)、小深被分配到A志愿服务队的概率______；

(2)、请用树状图或列表法，求小深和小圳都被分配到B志愿服务队的概率．

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8、如图，在 $△ A B C$ 中，D是 $B C$ 边上一点，若 $∠ B A D = 90 °$ ， $∠ D A C = 45 °$ ，且 $B D = 2 C D = 4$ ，则 $A D$ 长为．

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9、如图所示，点A，B，C是地面上同一直线上的三个点，小童、标杆、旗杆，分别立于上述三点处．今在标杆顶部点F处平放一小镜子，站在A处的小童刚好可以在镜中看到旗杆顶点D，已知小童眼睛的高度 $E A = 1.6 m$ ，标杆的高度 $F B = 1 m$ ， $A B = 0.9 m$ ， $B C = 6 m$ ，则旗杆高 $C D$ 为 $m$ ．

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10、如图，已知点A，B都在反比例函数 $y = \frac{k_{1}}{x} (k_{1} > 0)$ 位于第一象限的分支图象上，若线段 $A B$ 的中点C在反比例函数 $y = \frac{k_{2}}{x}$ 的图象上，则 $k_{1}$ ， $k_{2}$ 的大小关系为（）

A、 $k_{1} < k_{2}$ B、 $k_{1} = k_{2}$ C、 $k_{1} > k_{2}$ D、无法确定

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11、如图，已知五边形 $A B C D E$ ，以P点为位似中心画出五边形 $A^{'} B^{'} C^{'} D^{'} E^{'}$ ，使五边形 $A B C D E$ 与五边形 $A^{'} B^{'} C^{'} D^{'} E^{'}$ 位似，相似比为2．若五边形 $A B C D E$ 的周长为26，则五边形 $A^{'} B^{'} C^{'} D^{'} E^{'}$ 的周长为（）

A、10 B、11 C、12 D、13

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12、如图1，是一架人字梯，侧面可以抽象为梯形（图2），已知 $A B ∥ C D ∥ E F$ ，且 $A C = 2 C E$ ，若 $B D = 0.6 m$ ，则DF的长为（）

A、 $0.2 m$ B、 $0.3 m$ C、 $0.4 m$ D、 $0.25 m$

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13、 $3 D$ 打印又称“增材制造”技术，是一种依据三维 $C A D$ 数据通过逐层材料累加的方法制造实体零件的技术，如图是 $3 D$ 打印的一个蒙古包模型，它的俯视图是（）

A、 B、 C、 D、

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14、如图，已知AE是⊙O的直径，D是⊙O上一点.过D作直线DB与AE的延长线交于B点.过点A作AC⊥BD于C点，连结AD、DE，且∠AED=∠ADC．

(1)、求证：直线BC 是⊙O 的切线；

(2)、若 $A E = 10, t a n ∠ C A D = \frac{3}{4},$ 求DE与BD的长度；

(3)、在 (2) 的条件下，若F为 $\overset{⏜}{A E}$ 上的一动点，且F 在直线AB 上方，连结AF 、DF 、EF．当四边形ADEF 面积最大时，求DF 的长度．

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15、在平面直角坐标系中，抛物线 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 过点(1，0)， (-2，-3)．

(1)、请用含a的代数式表示b．

(2)、若该抛物线关于y轴对称后的图象经过点(3，0)，求该抛物线的函数表达式．

(3)、当1<x<3时，对于每一个x的值，y<x始终成立，试求a的取值范围．

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16、如图，在矩形ABCD中，点E在AD边上(不与点A， D重合)，连接BE， CE．

(1)、若点E是AD边的中点.求证：BE=CE．

(2)、设 $∠ A B E = α, ∠ C E D = β, \frac{A E}{E D} = k$ ．
①求证： $t a n α \cdot t a n β = k$ ．
②若 $t a n α = \frac{1}{2}, B C = C E,$ 求k的值．

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17、跟华罗庚学猜数：
我国著名数学家华罗庚有一次在飞机上看到他的助手阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，求它的立方根．华罗庚脱口而出：39．
你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗?请按照下面的方法试一试：① $∵ \sqrt[3]{1000} = 10, \sqrt[3]{1000000} = 100,$ 又∵1000<59319<1000000，
$∴ 10 < \sqrt[3]{59319} < 100,$ ∴能确定 59319的立方根是个两位数．
②59319的个位数是9，又∵ $9^{3} = 729,$ ，能确定 59319 的立方根的个位数是9．
③若划去59319后面的三位319得到数59，而 $\sqrt[3]{27} < \sqrt[3]{59} < \sqrt[3]{64}, 则 3 < \sqrt[3]{59} < 4,$ 可得 $30 < \sqrt[3]{59319} < 40,$ 由此确定59319的立方根的十位数是3，因此59319的立方根是39．

(1)、现在换一个数19683，按这种方法求立方根，请完成下列填空：
①它的立方根是位数；
②它的立方根的个位数字是；
③19683 的立方根是．

(2)、求110592的立方根．(过程可按题目中的步骤写)

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18、某校随机抽取50位学生测试劳动素养，并将测试结果分别绘制成如图所示的扇形统计图和未完成的频数分布直方图(每组不含前一个边界值，含后一个边界值).已知测试综合得分大于 70分的学生劳动素养为优良．

(1)、补全频数分布直方图．

(2)、该校共有1000名学生，估计劳动素养为优良的人数．

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19、解方程：

(1)、 $2 x^{2} - 7 x + 6 = 0;$

(2)、 $\frac{x - 1}{x - 2} + 1 = \frac{1}{x - 2}$ ．

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20、

(1)、计算： ${(\frac{1}{2})}^{- 2} - | 1 - t a n 6 0^{\circ} ∣ + s i n 6 0^{\circ} + \sqrt{4}$ ．

(2)、先化简，再求值： $(1 + \frac{4}{a - 1}) \div \frac{a^{2} + 6 a + 9}{a^{2} - a},$ 其中a=2．

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