相关试卷

1、综合与实践：后视镜的视角问题
【素材一】光的反射是生活中常见的现象，图1是光的反射示意图（反射角等于入射角，法线与平面镜垂直，垂足为入射点）．
【素材二】三角形三个内角的和等于 $180 °$ ．
如图2，小明将后视镜抽象成平面镜，画出了汽车与左侧后视镜的示意图，汽车用长方形 $A B C D$ 表示，司机位于车内左前方，眼睛用点 $O$ 表示， $O E ∥ A B$ ，左侧后视镜用线段 $A P$ 表示，左后视镜打开后 $A P$ 与 $A B$ 形成的 $∠ B A P$ 可在一定范围内调节， $∠ B A P$ 不小于 $50 °$ ，不大于 $80 °$ ，点 $H$ 为线段 $A P$ 上的任意一点，且点 $H$ 为入射点， $H H^{'}$ 为法线，图上各点均在同一平面内．
【问题解决】
（1）如图2，当 $∠ B A P = 60 °$ 时，
①若 $∠ E O H = 70 °$ ，求反射角 $∠ H^{'} H O$ 的大小；
②若入射光线 $F H$ 恰好平行于 $A B$ ，求此时 $∠ E O H$ 的大小；
【拓展应用】
（2）如图3， $M P$ ， $N A$ 为入射光线， $P O$ ， $A O$ 为反射光线， $P P^{'}$ ， $A A^{'}$ 为法线．司机在调节左侧后视镜(即 $∠ B A P$ 的大小)和移动眼睛 $O$ 的位置时，满足 $∠ E O A$ 大于 $40 °$ ．若 $∠ A O P$ 的大小始终不变，试判断 $∠ M P O - ∠ N A O$ 的值是否会发生变化，并说明理由；
（3）汽车起步时，司机要观察汽车周围环境，如图4，汽车尾部左侧有一障碍物，但他坐在驾驶位上无法看清该障碍物全貌，此时_______(填写序号)，司机就可以通过左侧后视镜观察到该障碍物全貌．
①人眼 $O$ 沿射线 $O E$ 方向向前移动；
②人眼 $O$ 沿射线 $O Q$ 方向向右移动；
③后视镜 $P A$ 绕 $A$ 点逆时针转动；
④后视镜 $P A$ 绕 $A$ 点顺时针转动．

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2、请用我们学过的知识解决下列问题：如图，平面直角坐标系中，A（a，0），B（0，b），C（0，c）， $\sqrt{a + 4} + {(c + 3)}^{2} = 0$ ， b为 $\sqrt{7}$ 的整数部分．

(1)、a＋b＋c＝　　；

(2)、点P为坐标平面内的一个动点，若S_△_PBC＝2S_△_ABC ，求点A与点P距离的最小值；

(3)、如图2，点D在线段AB上，将点D向右平移4个单位长度至E点，若△ACE的面积等于14，求点D坐标．

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3、水是万物生命之源，但随着人口急剧增长，水资源透支令人担忧，节约用水迫在眉睫．某城市为了避免居民用水浪费现象，制定了居民每月每户用水标准 ${8m}^{3}$ ，收费为正常标准，如果超标用水，超过部分加价收费，下表是小明家2025年两个月的收费表：
时间项目
用水量 $(m^{3})$
费用（元）
1月
11
28
2月
15
44

(1)、请问该城市居民标准内用水及超标部分用水的价格各是多少元？

(2)、小明家三月份用水量是 $24 m^{3}$ ，他有50元钱，请问他的钱够交水费吗？如果不够，还差多少？

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4、计算： $- 1^{2025} - \sqrt[3]{- 125} + \sqrt{4} + |1 - \sqrt{2}|$ ．

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5、在平面直角坐标系中，已知线段 $A B ∥ x$ 轴，且 $A B = 5$ ，点 $A$ 的坐标是 $(- 2 ， 4)$ ，则点 $B$ 的坐标为．

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6、若 $x - 3 y = 6$ ，则 $10 - x + 3 y =$ ．

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7、春节期间商场优惠促销，将甲，乙两种服装分别按标价的八折和九折出售．某顾客购买甲，乙两种服装各1件，共付182元，两种服装的标价之和为210元，则甲，乙两种服装的标价分别为（）

A、70元，140元 B、50元，100元 C、56元，126元 D、140元，70元

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8、下列命题：①两条直线被第三条直线所截，内错角相等；②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行；③直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离；④若 $\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b} = 0$ ，则 $a = - b$ ；⑤实数和数轴上的点一一对应；⑥无理数都是无限小数．其中真命题的个数是（）

A、5 B、4 C、3 D、2

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9、【综合探究】
数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质.已知三角形纸片ABC和BDE中，∠ACB=∠BDE=90°， BC=BD=6， AC=DE=8，旋转角为（ $α （ 0^{\circ} < α < 36 0^{\circ}) .$

(1)、【初步感知】
如图1，连接AE， CD，将三角形纸片BDE绕点B旋转，求 $\frac{A E}{C D}$ 的值；

(2)、【深入探究】
如图2，在三角形纸片BDE绕点 B 旋转过程中，当点D恰好落在△ABC的中线CF的延长线上时，延长ED交AC于点G，求CG的长；

(3)、【拓展延伸】
在三角形纸片BDE绕点B旋转过程中，试探究A，D，E三点，能否构成以AE为直角边的直角三角形.若能，直接写出线段AD的长度；若不能，请说明理由.

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10、【综合与实践】
【情境导入】
周末，小深和同学们到深圳湾体育中心参观。场馆外的下沉式广场正在进行音乐喷泉调试。工程师告诉大家，喷泉的水流轨迹可以用二次函数精确计算，以实现既美观又节水的效果。广场一侧有一段草坡，坡面上临时放置一棵装饰用的发光小树，用于测试水流水压。
【数学建模】
将草坡截面抽象为直角三角形，如图，∠ABC=90°，AB=2米，BC=6米，坡面AC上有一棵小树MN（小树粗细忽略不计，点M在斜坡上且与点C不重合，MN⊥BC)，现在斜坡底C处安装一个喷水管CP，水流呈抛物线状，恰好落在A处.技术人员以B为原点，水平向右为x轴，竖直向上为y轴，记录了喷头开启后喷水管喷出水流到B的水平距离x（米)与水流的高度y （米)的变化规律如表：
x
0
1
2
3
4
…
y
2
$\frac{19}{8}$
$\frac{5}{2}$
$\frac{19}{8}$
2
…
【探究任务】

(1)、根据表格数据，可得该抛物线的顶点坐标为 ▲ ，并求出水流的函数解析式。

(2)、若调试时，水流恰好经过树顶N点，
①为了美观，小树不能太高。请计算在现有水流轨迹下，这棵小树MN的最大可能高度是多少?
②若设计师希望从坡顶A处看，树底M和树顶N的视觉效果对称（即AM=AN)，请求出此时树顶N的坐标。
③在灯光测试中，需要在 MN右侧（靠近C的一侧)再放置一棵与MN等高的小树DE（D在坡面上，树干垂直BC)，且水流也能刚好经过树顶E。为保证两棵树不重叠，请直接写出第一棵树底M的横坐标m的取值范围。

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11、如图，在等腰△ABC中， AH为底边 BC上的高， ∠ACB的角平分线交AH于点D， ⊙O经过C、D两点且圆心O在△ABC的腰AC上.

(1)、请画出⊙O （尺规作图，保留作图痕迹)；

(2)、求证： AH与⊙O相切；

(3)、当 $A B = 12, c o s B = \frac{1}{3}$ 时，求⊙O的半径.

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12、随着我国科技事业的不断发展，国产无人机越来越多应用于实际生产生活，为人们的工作生活带来了便利.某农业公司欲购进甲、乙两种型号的农用无人机用来喷洒农药，甲型机比乙型机平均每小时少喷洒2公顷农田，甲型机喷洒50公顷农田所用时间与乙型机喷洒60公顷农田所用时间相等.该农业公司共购进甲、乙两种型号的无人机20架，其中甲型无人机4万元/架，乙型无人机5万元/架.
问题解决：

(1)、甲、乙两种型号无人机平均每小时分别喷洒多少公顷地?

(2)、若公司要求这批无人机每小时至少喷洒230公顷农田，那么该公司如何购买甲型和乙型无人机，才能使总成本最低?并求出最低成本.

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13、今年是中国共产主义青年团成立 104周年，某校组织学生观看庆祝大会实况并进行团史学习.现随机抽取部分学生进行团史知识竞赛，并将竞赛成绩进行整理（成绩得分用a表示)，其中 60≤a<70记为“较差”， 70≤a<80记为“一般”， 80≤a<90记为“良好”， 90≤a≤100记为“优秀”，绘制了不完整的扇形统计图和频数分布直方图.
请根据统计图提供的信息，回答如下问题：

(1)、本次共抽取了 ▲ 名学生的竞赛成绩，扇形统计图中，“一般”对应的圆心角的度数为 ▲ ，并将直方图补充完整；

(2)、已知90≤a≤100这组的具体成绩为93，94，99，91，100，94，96，98，则这8个数据的中位数是；

(3)、若该校共有1000人，估计该校学生对团史掌握程度达到良好及以上的人数；

(4)、本次知识竞赛超过95分的学生中有3名女生，1名男生，现从以上4人中随机抽取2人去参加全市的团史知识竞赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽中2名女生参加知识竞赛的概率.

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14、先化简，再求值： $(\frac{3}{x + 2} - 1) \div \frac{x^{2} - 2 x + 1}{x + 2},$ 其中 $x = \sqrt{3} + 1 .$

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15、计算： ${(\frac{1}{3})}^{- 1} - 2 s i n 4 5^{\circ} + \sqrt{8} - {(π - 2026)}^{0}$

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16、如图，在正方形ABCD中， E是AB边上的一点，点F在AD的延长线上， BE=DF， M为EF的中点，点N在边AB上， ∠AMN=45°.若AB=7， AM=5，则MN的长为.

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17、如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，平行四边形ABCD的边AB在x轴上、顶点D在y轴的正半轴上，点C在第二象限，将△AOD沿y轴翻折，使点A落在x轴上的点E处、点B恰好为OE的中点. DE与BC交于点F.若 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 图像经过点 C，且 $S_{△ B E F} = \frac{1}{2},$ 则 k的值为.

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18、如图，在正五边形ABCDE内，以AB为边作等边△ABF，再以点A为圆心，AE长为半径画弧.若AB=3，则图中阴影部分的面积是.

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19、在平面直角坐标系xOy中，P是平面内一点，且点P到x轴、y轴的距离分别为2，5，请写出一个符合条件的点 P 的坐标.

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20、若关于x的一元二次方程. $x^{2} - 4 x + m = 0$ 有一个根为x=-1，则m的值为.

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时间项目	用水量 $(m^{3})$	费用（元）
1月	11	28
2月	15	44

x	0	1	2	3	4	…
y	2	$\frac{19}{8}$	$\frac{5}{2}$	$\frac{19}{8}$	2	…