相关试卷

1、中国高速公路网是全球规模最大的公路网络。某地在修建高速公路时需要避开山体，在B点处规划两处绕行方案（该地高速公路的基础造价为每米4万元)：
方案一：设计37°的拐角，即∠CBF=37°，在C点处再设计一个拐角使得路线恢复方向，即CE∥BF；
方案二：设计14°的拐角，即∠DBF=14°，在 D 点处再设计一个拐角使得路线与方案一的路线重合，但这样路线BD会经过一片地质复杂区域（即 BD为地质复杂区域)，使每米的造价比基础造价增加25%。已知DE和BF之间的距离为60米。

(1)、求线段BD、BC、CD的长。

(2)、方案一和方案二哪一个造价更便宜?并说明理由。（参考数据： $s i n 3 7^{\circ} \approx 0 . 60, t a n 3 7^{\circ} \approx 0 . 75, s i n 1 4^{\circ} \approx 0 . 24, t a n 1 4^{\circ} \approx 0 . 25)$

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2、在长跑、骑行等耐力运动中，运动员常用“配速”来评估运动强度。配速是指运动时间与运动距离的比值（即每公里的运动耗时)，单位通常为“分钟/公里”（min/km)，配速数值越高，代表运动速度越慢。小海参加了一场10公里的健身跑活动，他的配速p与已完成路程s（单位： km)之间的关系如图所示。

(1)、p是关于s的函数吗?请说明理由。

(2)、在s₁、s₂、s₃三个位置中，运动速度最慢的是。

(3)、若点A（10，6)，求小海完成10公里健身跑的时间。

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3、为保障2026年央视春晚机器人武术表演的动作整齐度，技术人员抽取部分机器人开展动作同步误差检测，以此筛选最终上场的设备。规定：同步误差数值越小，代表动作精准度越高。误差单位为毫秒（ms)。根据检测结果，绘制了如下未完成的频数统计表与扇形统计图。
机器人动作同步误差数据频数统计表
同步误差（ms)
频数
对应扇形区域
0≤x<10
5
A
10≤x<20
a
B
20≤x<30
14
C
30≤x<40
11
D
40≤x≤50
10
E
机器人动作同步误差数据扇形统计图
根据以上信息，解答下列问题：

(1)、抽取的机器人数是台，统计图表中a= ， b=。

(2)、这组数据的中位数落在组（填A， B， C， D， E)。

(3)、若规定误差小于30（ms)为“表演合格”，请估计200台同款机器人中合格的台数。

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4、如图，点C是⊙E外一点， CE的延长线交⊙E于点B，点A在圆上，连结AE，且AB=AC，∠C=30°。

(1)、求证： AC为⊙E切线；

(2)、若AE=1，求BC的长。

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5、解方程： $\frac{1}{x - 2} + 2 = \frac{3}{x - 2}$

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6、计算： $∣ - 2026 ∣ - \sqrt[3]{8} - {(π - 3)}^{0}$

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7、如图， △ABC为⊙O内接三角形，其中AB为直径，且. $A B = 6 \sqrt{2},$ 点E为∠BAC和∠ACB平分线的交点，连结CE 并延长交⊙O于点 P，连结 OE，BP。
①BP=；
②若OE=x， CE=y， y与x之间的函数关系为。

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8、如图，在△ABC中，点D是BA上一点，且∠ACD=∠B，若AC=3，AD=2，则 BD=。

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9、不等式组 ${\begin{matrix} 2 x - 1 \leq 3 \\ 3 x + 7 > - 2 \end{matrix}$ 的解集为。

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10、已知圆锥的底面半径为4cm，母线长为6cm，则圆锥的侧面积为cm²。

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11、随着科技的飞速发展， AI 人工智能应运而生，小赵从“Deepseek”，“豆包”，“Kimi”，“腾讯元宝”中随机选择一个AI软件验证数学问题，则小赵选择“豆包”的概率为。

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12、已知抛物线 $y_{1} = a x^{2} - 2 a x + c$ （a， c 为常数且a≠0) ，当x≥1 时 $y_{1} \leq 2 。$ 若抛物线 $y_{2} = a {(x + m)}^{2} - 2 a (x + m) + c$ 与y轴的交点位于最高位置时，则y₂的图像可能正确的是（ )。

A、 B、 C、 D、

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13、 2026年1月，浙江省统计局公布2025年全省11个地市GDP 与增速，如右图所示。如果以2025年GDP 的增速预测舟山2026年全年GDP 增量，并且以元为单位表示这个数据，那么这个数据用科学记数法可以表示约为（ )。

A、1. 55×10¹⁰ B、 $155 \times 1 0^{8}$ C、2. 5×10¹¹ D、 $2500 \times 1 0^{8}$

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14、已知点A （x₁ ， y₁)， B （x₂ ， y₂)在反比例函数 $y = \frac{3}{x}$ 的图象上。若 $x_{1} < x_{2} < 0,$ 则（ )。

A、y₁＜y₂＜0 B、y₂＜y₁＜0 C、0＜y₁＜y₂ D、0＜y₂＜y₁

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15、如图，在平面直角坐标系中， △OAB的顶点为O（0， 0)， A（4， 3)， B（3， 0)。以点O为位似中心，在第三象限内作与△OAB 的位似比为 $\frac{1}{3}$ 的位似图形△OCD，则点C坐标为（ )。

A、（-1， - 1) B、 $(- \frac{4}{3}, - 1)$ C、 $(1, - \frac{4}{3})$ D、（-2， - 1)

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16、如图，在 Rt△ABC中， ∠BAC=90°，观察如图所示的尺规作图痕迹（图中所有圆弧的半径均相等)。若AD=2，则BC=（ )。

A、3 B、4 C、5 D、6

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17、用反证法证明 $“ \sqrt{2}$ 是无理数”时，应先假设（ )。

A、 $\sqrt{2}$ 是正数 B、 $\sqrt{2}$ 是实数 C、 $\sqrt{2}$ 是有理数 D、 $\sqrt{2}$ 是无理数

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18、下列运算正确的是（ )。

A、 $x^{2} \cdot x^{3} = x^{5}$ B、 ${(x^{3})}^{4} = x^{7}$ C、 $x^{6} \div x^{2} = x^{3}$ D、 $x^{3} + x^{4} = x^{7}$

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19、下列历届冬奥会图形是中心对称图形的是（ )。

A、 B、 C、 D、

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20、【问题提出】
数学课上，李老师提出问题：在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，AB=AD，∠BAD=90°，∠ACD=∠ACB=45°.试探究：
①若∠ABC=α，用含有α的式子表示∠ADC；
②若BC，CD与AC满足关系式BC+CD=k·AC，求k的值.
【方法探究】
九（1）班的两个数学学习小组经过讨论，提出了下面两种添加辅助线的方法，如图1：
方法1：延长CD到点F，使DF=BC，连接AF，根据“边角边”容易证得△ADF≌△ABC；
方法2：将△ABC绕点A逆时针旋转90°，使AB与AD重合，点C的对应点为F，则△ADF≌△ABC.

(1)、【问题解决】
用含有α的式子表示∠ADC= ， k=；

(2)、【应用提升】
借助上面解决问题的方法或用自己的方法解答下面问题：
如图2，在四边形ABCD中，AC平分∠BCD，∠BAD=2∠BCD=120°，BC= $\frac{2}{3}$ CD=2 $\sqrt{3}$ 求线段CE的长.

(3)、【拓展应用】
如图3，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=2BC，点P为△ABC内一点，分别连接PA，PB，PC.若 $P A = 6, P B = 4 \sqrt{3},$ 且∠APC+∠BAC=180°.直接写出△BCP的面积.

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同步误差（ms)	频数	对应扇形区域
0≤x<10	5	A
10≤x<20	a	B
20≤x<30	14	C
30≤x<40	11	D
40≤x≤50	10	E