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1、现定义一种新运算 $◎$ ：对于任意正有理数 $x 、 y$ ，都有 $x ◎ y = \sqrt{3 x} - 2 \sqrt{y}$ ．
例如： $9 ◎ 3 = \sqrt{3 \times 9} - 2 \sqrt{3} = 3 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} = \sqrt{3}$ ，则 $6 ◎ 8 =$ ．

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2、若 $a 、 b$ 为实数，且 $a = \sqrt{b - 5} + \sqrt{5 - b} + 3$ ，则 $a - b$ 的值为．

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3、计算 $\sqrt{5} \times \sqrt{7}$ 的结果是．

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4、若 $x = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ ，则 $x^{3} - 2 x^{2} - 4 x + 1$ 的值为（）

A、4 B、 $- 4$ C、2 D、 $- 2$

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5、如图，矩形 $A B C D$ 中，对角线 $A C$ 与 $B D$ 交于点 $O$ ， $A E$ 垂直平分 $O B$ ， $E$ 是垂足，若 $A B = \sqrt{3}$ ，则 $A D$ 的长是（）

A、2 B、3 C、 $2 \sqrt{3}$ D、 $\sqrt{5}$

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6、已知 $m$ 为实数，则代数式 $\sqrt{m + 3} - \sqrt{- m^{2}} - \sqrt{12 - 4 m}$ 的值为（）

A、0 B、 $- \sqrt{3}$ C、 $\sqrt{3}$ D、无法确定

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7、 $\sqrt{2} x = \sqrt{14}$ 的解在（）

A、1到2之间 B、2到3之间 C、3到4之间 D、4到5之间

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8、下列二次根式中与 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 是同类二次根式的是（）

A、 $\sqrt{12}$ B、 $\sqrt{18}$ C、 $\sqrt{9}$ D、 $\sqrt{\frac{1}{3}}$

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9、下列各式是最简二次根式的是（　　）

A、 $\sqrt{0.3}$ B、 $\sqrt{6}$ C、 $\sqrt{\frac{1}{2}}$ D、 $\sqrt{12}$

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10、下列运算正确的是（）

A、 $\sqrt{2} + \sqrt{5} = \sqrt{7}$ B、 $5 \sqrt{2} - 3 \sqrt{2} = 3$ C、 $\sqrt{15} - \sqrt{10} = \sqrt{5}$ D、 $2 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} = 5 \sqrt{3}$

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11、下列式子中，不属于二次根式的是（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $2 \sqrt{2}$ C、 $\sqrt{a}$ D、 $\sqrt{\frac{5}{6}}$

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12、
已知点 $O$ 是直线 $A B$ 上的一点，射线 $O C$ 以点 $O$ 为端点，向直线 $A B$ 上方延伸．作射线 $O D$ 和 $O M$ ，使 $O M$ 平分 $∠ A O D$ ，求 $∠ M O B$ 的度数．
小聪在解决此问题时，有以下思考：
如果射线 $O D$ 的位置不同， $∠ B O M$ 的大小是否也不同呢？
【特例感知】
当 $∠ A O C = 50 °$ ， $∠ C O D = 90 °$ ，解决以下问题：
（1）如图1，当射线 $O D$ 在 $∠ B O C$ 内部时， $∠ M O B =$ _______ $°$ ．
（2）当射线 $O D$ 在 $∠ B O C$ 外部时， $∠ M O B$ 的大小是多少？请在图2中画出示意图，并求出 $∠ M O B$ 的度数；
【类比迁移】
（3）若 $∠ A O C = α$ ， $∠ C O D = β$ ，且 $α < 90 °$ ， $β < 180 °$ ，直接写出 $∠ M O B$ 的度数（用含有 $α$ 和 $β$ 的代数式表示）．

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13、已知：如图，点 $M$ 是线段 $A B$ 上一定点， $A B = 18 cm$ ， $C$ 、 $D$ 两点分别从 $M$ 、 $B$ 出发以 $1 cm / s$ 、 $2 cm / s$ 的速度沿直线 $B A$ 向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段 $A M$ 上，D在线段 $B M$ 上）

(1)、若 $M B = 10 cm$ ，当点 $C$ 、 $D$ 运动了 $4 s$ ，此时 $A C =$ ， $D M =$ ．（直接填空）

(2)、若 $M B = 10 cm$ ，点 $C$ 、 $D$ 运动时是否存在 $A C = M D$ ？若存在，求出运动时间；若不存在，请说明理由．

(3)、当点 $C$ 、 $D$ 运动了 $4 s$ ，求 $A C + M D$ 的值．

(4)、若点C、D运动时，总有 $M D = 2 A C$ ， $N$ 是直线AB上一点，且 $A N - B N = M N$ ，求 $\frac{M N}{A B}$ 的值．

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14、如图1，将一副三角板中一块含有 $60^{\circ}$ 角的三角板的顶点和另一块含 $45^{\circ}$ 角的三角板的顶点重合于一点 $O$ ，将含有 $60 °$ 角的三角板绕点 $O$ 按顺时针方向旋转如图2（ $O C$ 在 $∠ A O B$ 内部)，请回答问题：

(1)、图1中 $∠ A O D$ 的度数为．

(2)、在旋转过程中，当 $O C$ 平分 $∠ A O B$ 时，求 $∠ A O D$ 的度数．

(3)、是否存在某一时刻，满足 $∠ A O C = 2 ∠ B O D$ ？若存在，求出此时 $∠ A O D$ 的度数；若不存在，请说明理由．

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15、如图，已知点 $M$ 为 $A B$ 的中点，点 $P$ 在线段 $M B$ 上，点 $N$ 为 $P B$ 的中点， $A B = 22$ ， $P B = 8$ ，

(1)、 $P N =$ ________；

(2)、求 $M N$ 的长．

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16、如图，点 $C$ 是线段 $A B$ 上的一点，分别以 $A C$ 、 $B C$ 为边在 $A B$ 的同侧作正方形 $A C D E$ 和正方形 $C B F G$ ，连接 $E G$ 、 $B G$ 、 $B E$ ．当 $B C = 1$ 时，三角形 $B E G$ 的面积记为 $S_{1}$ ；当 $B C = 2$ 时，三角形 $B E G$ 的面积记为 $S_{2}$ ；…；以此类推，当 $B C = n$ 时，三角形 $B E G$ 的面积记为 $S_{n}$ ，那么 $\frac{S_{2026}}{2026}$ 的值为．

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17、下列图形是由同样大小的棋子按照一定规律排列而成的，其中，图1中有5个棋子，图2中有10个棋子，图3中有16个棋子，……，则图8中有（）个棋子．

A、61 B、60 C、59 D、58

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18、如图是一个运算程序的示意图，若开始输入 $x$ 的值为7，则第2026次输出的结果为（）

A、8 B、4 C、2 D、1

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19、如图是一个正方体的展开图，则与“心”字所在面相对的面上的字是（）

A、数 B、学 C、素 D、养

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20、如图， $B C$ 是 $⊙ O$ 的直径， $A$ 是弦 $B D$ 延长线上一点，切线 $D E$ 平分 $A C$ 于 $E$ ．
（1）求证： $A C$ 是 $⊙ O$ 的切线；
（2）若 $A D : D B = 3 : 2$ ， $A C = 15$ ，求 $⊙ O$ 的直径．

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