相关试卷

1、阅读理解：对于三个数 $a, b, c$ ，用 $m i n {a, b, c}$ 表示三个数中的最小值. 例如： $m i n {- 2,1, 3} = - 2$ ，则 $m i n \{\frac{1}{2} x + 1, - x + 2, \frac{1}{2} x^{2}\}$ 的最大值为.

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2、已知 $a_{k} \neq 0 (k = 1,2, \dots, 2024)$ ，满足 $\frac{a_{1}}{|a_{1}|} + \frac{a_{2}}{|a_{2}|} +$ $\frac{a_{3}}{|a_{3}|} + \dots + \frac{a_{2023}}{|a_{2023}|} + \frac{a_{2024}}{|a_{2024}|} = 2012$ ，则使反比例函数 $y = \frac{k a_{k}}{x} (k = 1,2, \dots, 2024)$ 的图像经过二、四象限的 $a_{k}$ 的概率是.

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3、某同学用纸剪出了三种多边形，为凸四边形，凸五边形，凸六边形，每种至少剪出一个，剪出的多边形边数之和为 111 ，那么剪出的多边形的所有内角中，直角的个数最多是.

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4、如图，在矩形 $A B C D$ 中，点 $E$ 是边 $A B$ 上的一动点，连结 $C E$ ，将线段 $C E$ 绕着点 $C$ 顺时针旋转 $60^{\circ}$ ，得到 $C F$ ，连结 $E F$ ，交 $A C$ 于点 $Q$ ，若 $A B$ $= 3, B C = \sqrt{3}$ ，则 $A Q$ 长的最大值为 ( )

A、 $\sqrt{3}$ B、 $2 \sqrt{3} - 2$ C、 $6 \sqrt{3} - 8$ D、 $8 \sqrt{3} - 12$

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5、小明和爸爸计划从家出发去游泳馆，上午 8 点整小明先出发，以 60 米/分的速度匀速步行，途中不休息，爸爸在上午 9 点 10 分从家出发，沿同一路线，以 300 米/分的速度匀速骑行到游泳馆，每骑 5 分钟后休息 1 分钟，最后，爸爸比小明晚 5 分钟到达游泳馆，那么家距离游泳馆有( )

A、4500 米 B、5100 米 C、5600 米 D、6000 米

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6、已知实数 $a 、 b 、 c$ ，满足 $a b c = 1, a + b + c = 2, a^{2} +$ $b^{2} + c^{2} = 16$ ，则代数式 $\frac{2}{1 + 2 c^{2}} + \frac{2}{1 + 2 b^{2}} + \frac{2}{1 + 2 a^{2}}$ 的值是 ( )

A、 $\frac{30}{13}$ B、 $\frac{10}{3}$ C、3 D、 $\frac{8}{3}$

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7、正方形 $A B C D$ 中，点 $E$ 是 $C D$ 的中点，点 $P$ 是 $A D$ 上异于点 $A 、 D$ 的点， $∠ A B P + ∠ B P E = 90^{\circ}$ ，则 $\frac{B P}{P E}$ 的值是( )

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\frac{\sqrt{10}}{3}$ D、 $\frac{2 \sqrt{10}}{5}$

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8、如图是七巧板图案，现将它剪拼成一个“风筝”造型，过它的上下左侧五点作矩形 $A B C D$ ，点 $G$ 为 $E F$ 的中点，并且在矩形内右上角有一正方形 $P Q M N, M N / / C D, P N / / A D$ ，若点 $P 、 G 、 H$ 在同一直线上，点 $N$ 到 $A D$ 的距离与到 $C D$ 的距离相等，且 $P N = 3.5 c m$ ，则 $A D$ 的长为 ( )

A、 $10 \sqrt{2} c m$ B、 $12 \sqrt{2} c m$ C、 $20 c m$ D、 $24 c m$

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9、已知实数 $a, b$ 满足 $- 4 \leq a - b \leq - 1, - 1 \leq 4 a - b \leq 5$ ，则 $9 a - b$ 的取值范围是( )

A、 $- 7 \leq 9 a - b \leq 26$ B、 $- 1 \leq 9 a - b \leq 20$ C、 $4 \leq 9 a - b \leq 15$ D、 $1 \leq 9 a - b \leq 15$

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10、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ C = 2 ∠ B, A G ⊥ B C, D$ 为 $B C$ 的中点， $A C = 8 c m$ ，则 $D G$ 的长为( )

A、 $2 \sqrt{2} c m$ B、 $3 c m$ C、 $4 c m$ D、 $4 \sqrt{2} c m$

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11、若证明命题： “对于任意实数 $x, y, |x| - |y| = |x - y|$ 恒成立”是假命题，只需要举一个反例，则这个反例可以是( )

A、 $x = - 3, y = - 2$ B、 $x = 0, y = 0$ C、 $x = 4, y = 3$ D、 $x = - 5, y = 6$

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12、 $a, b, c$ 都是实数，且 $c - b = a^{2} - 2 a + 1, b + c = 3 a^{2}$ $- 4 a + 6$ ，则 $a, b, c$ 之间的大小关系是 ( )

A、 $a < b \leq c$ B、 $b < a \leq c$ C、 $b \leq c < a$ D、 $c < a \leq b$

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13、数学活动课上，小云和小王在讨论涂老师出示的一道代数式求值问题：
已知 $p + q + 2 r = 1 ， p^{2} + q^{2} - 8 r^{2} + 6 r - 5 = 0$ ，求代数式 pq-qr- rp的值.
通过你的运算，代数式 pq-qr-rp的值为

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14、阅读材料：整体代入求值是数学中常用的方法.例如“已知3a-b=2，求代数式6a-2b-1的值.”可以这样解：6a-2b-1=2(3a-b)-1=2×2-1=3.根据阅读材料，解决问题：若x=2是关于x的一元一次方程 ax+b=3的解，则代数式 $4 a^{2} + 4 a b + b^{2} + 4 a + 2 b - 1$ 的值是.

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15、若x+2y-3=0，则3^x·9^y=.

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16、我国古代数学家刘徽将勾股形(古人称直角三角形为勾股形)分割成一个正方形和两对全等的三角形，如图所示，已知∠A=90°，BD=4，CF=6，设正方形ADOF的边长为x，则 $x^{2} + 10 x =$ ( )

A、12 B、16 C、20 D、24

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17、如图，⊙O是锐角三角形ABC 的外接圆，OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，垂足分别为 D，E，F，连结 DE，EF，FD.若 DE+DF=6.5，△ABC的周长为21，则EF的长为( )

A、8 B、4 C、3.5 D、3

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18、已知a是方程 $2 x^{2} - 3 x - 5 = 0$ 的一个根，则 $- 4 a^{2} + 6 a$ 的值为 ( )

A、10 B、-10 C、2 D、-40

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19、【阅读材料】平面几何中的费马问题是十七世纪法国数学家、被誉为业余数学家之王的皮埃尔·德·费马提出的一个著名的几何问题.费马曾写信请托里拆利解答如下问题：如图R5-5①，给定不在一条直线上的三个点A，B，C，求平面上到这三个点的距离之和最短的点 P 的位置.托里拆利成功地解决了费马的问题.后来人们为了纪念他们，就把平面上到一个三角形的三个顶点 A，B，C距离之和最小的点称为△ABC的费马一托里拆利点.
【问题解决】证明：如图②，把△APC绕点
A 逆时针旋转 60°得到△AP'C'，连结 PP'，
∴∠PAP^'=60°，AP=AP^' ， PC=P^'C^' ，
∴△APP'为等边三角形，∴AP=PP'，
$∴ P A + P B + P C = P P^{'} + P B + P^{'} C^{'} .$
点 C'可看成是点 C 绕点 A 逆时针旋转 60°而得的定点，BC为定长，
∴当 B，P，P'，C'四点在同一直线上时，PA+PB+PC最小.

(1)、观察图②中∠APB，∠BPC和∠APC，试猜想这三个角的大小关系；

(2)、【类比探究】如图③，在 Rt△ABC内部有一动点 P，∠ACB=90°，∠BAC=30°，连结PA，PB，PC，若 BC=2，求 PA+PB+PC的最小值；

(3)、【拓展应用】如图④，已知正方形AB-CD内一动点 P 到A，B，C三点的距离之和的最小值为 $\sqrt{2} + \sqrt{6} ，$ 求此正方形的边长.

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20、阅读材料，解答下列问题：
材料：已知. $\sqrt{15 - x} - \sqrt{8 - x} = 1 ，$ 求 $\sqrt{15 - x} +$ $\sqrt{8 - x}$ 的值.
李聪同学是这样解答的：
$∵ (\sqrt{15 - x} - \sqrt{8 - x}) (\sqrt{15 - x} + \sqrt{8 - x})$
$= {(\sqrt{15 - x})}^{2} - {(\sqrt{8 - x})}^{2}$
=15-x-8+x=7，
$∴ \sqrt{15 - x} + \sqrt{8 - x} = 7 .$
这种方法称为“构造对偶式”.
问题：已知 $\sqrt{30 - x} + \sqrt{9 - x} = 7 .$

(1)、求 $\sqrt{30 - x} - \sqrt{9 - x}$ 的值；

(2)、求x的值.

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