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1、数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形进行完美结合．研究数轴我们发现了很多重要规律：如数轴上 $A$ 、 $B$ 两点分别表示有理数 $a$ ， $b$ ，则 $A$ 、 $B$ 两点之间距离表示为 $A B = | a - b |$ ，如数轴上点 $A$ 表示数 $- 8$ ，点 $B$ 表示数 $7$ ，则 $A$ 、 $B$ 两点之间距离表示为 $A B = | a - b | = | (- 8) - 7 | = 15 ．$
在数轴上三点 $M$ 、 $A$ 、 $B$ 对应的有理数为 $m$ 、 $a$ 、 $b$ 满足条件 $3 | a - m | = 2 | b - m | (a \neq b)$ ，那么 $m$ 称为 $a$ 、 $b$ 的“近 $A$ 分点数”．
例：如果 $3 \times | 2 - 4 | = 2 \times | 1 - 4 |$ ，那么 $4$ 称为 $2$ 与 $1$ 的“近 $A$ 分点数”；如果 $3 | 1 - \frac{7}{5} | = 2 | 2 - \frac{7}{5} |$ ，那么 $\frac{7}{5}$ 称为 $1$ 与 $2$ 的“近 $A$ 分点数”；

(1)、下列关于“近 $A$ 分点数”的说法正确的是（仅填序号）
① $- 20$ 是 $- 4$ 与 $4$ 的“近 $A$ 分点数”；
② $7$ 与 $4$ 的“近 $A$ 分点数”是 $13$ 和 $\frac{29}{5}$ ；
③ $13$ 是 $- 3$ 与 $5$ 的“近 $A$ 分点数”．

(2)、 $- 3$ 与 $7$ 的“近 $A$ 分点数”是；

(3)、数轴上点 $A$ 从 $- 4$ 出发以 $3$ 个单位长度每秒向右运动，点 $B$ 从 $2$ 出发以 $2$ 个单位长度每秒向右运动，点 $P$ 从原点以 $4$ 个单位长度每秒也向右运动，三个点同时出发，点 $P$ 在何时成为点 $A$ ， $B$ 的“近 $A$ 分点数”？

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2、如图，半径为 $2$ 的小圆与半径为 $4$ 的大圆上有一点与数轴上原点重合，两圆在数由上做无滑动的滚动，小圆的运动速度为每秒 $π$ 个单位，大圆的运动速度为每秒 $2 π$ 个单位．

(1)、若大圆沿数轴向左滚动1周，则该圆与数轴重合的点所表示的数是；

(2)、若小圆不动，大圆沿数轴上来回滚动，规定大圆向右滚动时间记为正数，向左滚动时间记为负数，依次滚动的情况记录如下（单位：秒）： $- 3 ， + 2 ， - 6 ， - 2 ， + 5 ， - 4$ ．
①当大圆结束运动时，大圆运动的路程共有多少？此时两圆与数轴重合的点之间的距离是多少？（结果保留 $π$ ）
②大圆结束①的 $6$ 次运动后立刻以每秒 $2 π$ 个单位向右滚动，同时小圆以每秒 $π$ 个单位向左滚动，问经过多长时间两圆与数轴重合的点之间相距 $3 π$ 个单位？

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3、阅读理解：进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，也就是说：“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几．在日常生活中，我们最熟悉、最常用的是十进制．使用0至9十个数字记数时，几个数字排成一行，从右起，第一位是个位，个位上的数字是几就表示几个一；第二位是十位，十位上的数字是几就表示几个十；接着依次是百位、千位…．例如，十进制数 ${(304)}_{10}$ 中的3表示3个百，0表示0个十，4表示4个一，于是我们就可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式： ${(304)}_{10} = 3 \times 1 0^{2} + 0 \times 1 0^{1} + 4 \times 1 0^{0}$ ．（规定当 $a \neq 0$ 时， $a^{0} = 1$ ， 304右下角的10代表以10为基数）
问题解决：

(1)、“二进制”是逢二进一，其各数位上的数字为0或1．请把二进制数 ${(1001)}_{2}$ 表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式： ${(1001)}_{2} =$ ；

(2)、一个位数为6位数的二进制数（此处研究对象为非负数）能表示的十进制数值范围；

(3)、计算（结果转化为十进制）： ${(1100100)}_{2} + {(237)}_{8}$ ．

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4、2025年中秋、国庆两大节日喜相逢，某著名海滨度假区预计在9月 $30$ 日的客人数为 $1.2$ 万人，接下来的八天中，预计每天的游客人数变化如下表（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数），若当天游客量超过最大承载量，则度假区会采取限流措施．
日期
$10$ 月1日
$10$ 月2日
$10$ 月3日
$10$ 月4日
$10$ 月5日
$10$ 月6日
$10$ 月7日
$10$ 月8日
人数变化（万）
$+ 4.4$
$+ 1.6$
$+ 1.2$
$+ 0.3$
$- 4$
$- 1.7$
$- 0.8$
$- 0.6$

(1)、 $10$ 月2日的人数为多少万人？

(2)、若不考虑限流，这八天假期里，游客最多的一天比游客最少的一天多多少万人？

(3)、若度假区收取每位游客 $40$ 元门票费用，游客人数太多超过最大承载量时（度假区的最大承载游客量为每天8万人）超过的游客不能再进入景区，则这八天度假区门票总收入是多少万元

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5、已知 $| a + 2 | = 3 ， | b | = 3$ ．

(1)、若 $| a + b | = a + b$ ，求 $| a - b |$ 的值；

(2)、若 $a b < 0$ ，求 $3 a + b$ 的值；

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6、已知下列各数： $- (+ 4) ， - | + 2.5 | ， - (- \frac{1}{2}) ， 0 ， 2.5 ， 0.3$ ．

(1)、将上面各数填入表示它所在的数集的大括号内：
整数集合： ${\dots}$
分数集合： ${\dots}$
非负整数集合： ${\dots}$

(2)、将上面各数表示在数轴上，并用“ $<$ ”把这些数连接起来．

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7、计算：

(1)、 $- 28 + 24$

(2)、 $- 1 \frac{1}{4} + (- 2 \frac{1}{6}) - (- 4 \frac{1}{2}) - 7 \frac{5}{6}$

(3)、 $4 - | - 1 \frac{1}{2} | - (- 2.75)$

(4)、 $(- \frac{3}{4} - \frac{5}{9} + \frac{7}{12}) \div (- \frac{1}{36})$

(5)、 $78 \times (- \frac{3}{5}) + (- 11) \times (- \frac{3}{5}) + (- 33) \times \frac{3}{5}$

(6)、 $- 1^{4} - \frac{1}{6} \times [2 - {(- 3)}^{2}]$

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8、已知一列数 $： 1 ， - 2 ， 3 ， - 4 ， 5 ， - 6 ， 7 ， ⋯$ 将这列数排成下列形式：
第1行1
第2行 $- 2$ ， 3
第3行 $- 4 ， 5 ， - 6$
第4行 $7 ， - 8 ， 9 ， - 10$
第5行 $11 ， - 12 ， 13 ， - 14 ， 15$
．．．
按照上述规律排下去，那么第 $10$ 行从左边数第5个数等于，前 $100$ 个数的和为．

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9、《庄子》中有这样一句话：“二尺之棰，日取其半，万世不竭”意思是二尺长的木棒，每日截取它的一半，永远截不完．那么第6次截取后剩下的木棒长度为尺．

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10、已知 $a$ 的倒数等于它本身， $b$ 是绝对值最小的数， $c$ 是最大的负整数，则 $- 2 a - b + c =$ ．

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11、规定： $[x]$ 表示不大于 $x$ 的最大整数，例如： $[2.3] = 2 ， [- 2.3] = - 3$ ，求 $[6.7] - [- 12.3] =$ ．

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12、小于 ${(- \frac{3}{2})}^{3}$ 的最大整数为．

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13、如图是一个“数值转换机”的示意图．若输入 $x = - 4$ ，则输出结果为（）

A、 $- 80$ B、 $- 85$ C、 $85$ D、 $- 75$

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14、有理数a ， b在数轴上对应的位置如图所示，则（　　）

A、 $| a | < | b |$ B、 $a b > 0$ C、 $a + b < 0$ D、 $a - b > 0$

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15、下表列出了国外几个城市与北京的时差（正数表示同一时刻比北京时间早）
城市
纽约
巴黎
东京
芝加哥
时差（时）
$- 13$
$- 7$
$+ 1$
$- 14$
$2025$ 年9月3日中国以一场盛大阅兵纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利 $80$ 周年，阅兵重播将于北京时间 $13 : 00$ 开始，下列各城市的时间表示正确的是（）

A、纽约是 $2025$ 年9月3日 $1 : 00$ B、巴黎是 $2025$ 年9月3日 $5 : 00$ C、东京是 $2025$ 年9月3日 $13 : 00$ D、芝加哥是 $2025$ 年9月2日 $23 : 00$

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16、把 $- (+ 6) + (+ 7) - (- 2) + (- 9)$ 写成省略加号和括号的形式后的式子是（）

A、 $- 6 + 7 + 2 - 9$ B、 $- 6 + 7 - 2 - 9$ C、 $- 6 - 7 - 2 + 9$ D、 $- 6 - 7 + 2 - 9$

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17、如图是加工某零件的尺寸要求，现有的4件产品，直径尺寸（单位： $m m$ ）如下：45.04，44.09，44.98，45.01，则其中不合格的产品有____件．

A、1件 B、2件 C、3件 D、4件

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18、下列各数中，负数是（）．

A、 $- (- 3)$ B、 $- | - 3 |$ C、 $(- 3)^{2}$ D、 $- (- 3)^{3}$

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19、立定跳远是河北省初中学业水平体育与健康科目考试的抽考项目，女生的满分标准是 $1.76 m$ ．若小红跳出 $1.81 m$ ，记为 $+ 0.05 m$ ，则珍珍跳出 $1.71 m$ ，应记为（　　）

A、 $- 0.05 m$ B、 $+ 0.05 m$ C、 $- 0.1 m$ D、 $+ 0.1 m$

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20、如图，直线 $A B$ 与x轴交于点A，与y轴交于点 $B (0, - 6 \sqrt{3})$ ，已知 $\frac{O A}{A B} = \frac{1}{2}$ ．

(1)、求点A的坐标；

(2)、已知点 $C (0, 8)$ ，在y轴上是否存在点P，使得 $△ A C P$ 是等腰三角形?若存在，请求出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；

(3)、在x轴上有一动点M，连接 $B M$ ，将线段 $B M$ 绕点B顺时针旋转 $45 °$ 得到线段 $B N$ ，连接 $O N$ ，求 $O N + B N$ 的最小值的平方．

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日期	$10$ 月1日	$10$ 月2日	$10$ 月3日	$10$ 月4日	$10$ 月5日	$10$ 月6日	$10$ 月7日	$10$ 月8日
人数变化（万）	$+ 4.4$	$+ 1.6$	$+ 1.2$	$+ 0.3$	$- 4$	$- 1.7$	$- 0.8$	$- 0.6$

城市	纽约	巴黎	东京	芝加哥
时差（时）	$- 13$	$- 7$	$+ 1$	$- 14$