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1、如图，已知 $B C ⊥ A C$ ，圆心O在 $A C$ 上点M与点C分别是 $A C$ 与 $⊙ O$ 的交点，点P是 $A D$ 延长线与 $B C$ 的交点，且 $\frac{A D}{A P} = \frac{A M}{A O}$ ．

(1)、求证： $P D$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若 $A D = 8$ ， $A M = M C$ ，求 $\frac{B P}{M D}$ 的值．

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2、如图，在矩形 $A B C D$ 中，点 $E$ 是 $A D$ 边上一点，且 $A E = E C$ ，点 $O$ 是 $A C$ 的中点，连接 $B O$ 并延长交 $C E$ 于点 $F$ ．

(1)、求证： $△ A E C ∽ △ B O C$ ；

(2)、若 $A E = 4$ ， $B C = 6$ ，求 $\frac{S_{Δ O F C}}{S_{Δ E D C}}$ 的值．

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3、计算：
（1） ${s i n}^{2} 60^{\circ} - t a n 30^{\circ} \cdot c o s 30^{\circ} + t a n 45^{\circ}$ ；
（2） ${s i n}^{2} 66^{\circ} + {c o s}^{2} 66^{\circ} - t a n 27^{\circ} \cdot t a n 63^{\circ}$ ．

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4、如图， $A B ⊥ C D$ 于点E，且 $A B = C D = A C$ ，若点I是 $△ A C E$ 的角平分线的交点，点F是 $B D$ 的中点．则 $∠ A I C =$ ；若 $∠ I A C = 15 °, A C = 2 + 2 \sqrt{3}, I C = 2$ ，则 $△ I B F$ 的面积为．

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5、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，BC=3 $\sqrt{3}$ ，点D是AB的中点，点E是以点B为圆心，BD长为半径的圆上的一动点，连接AE，点F为AE的中点，则CF长度的最大值是．

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6、如图，在 $△ A B C$ 中， $D$ ， $E$ 分别是 $A B$ ， $A C$ 上的点， $A E = 2$ ， $A B = 6$ ， $\frac{A D}{A C} = \frac{1}{3}$ ， $△ A B C$ 的角平分线 $A F$ 交 $D E$ 于点 $G$ ，交 $B C$ 于点 $F$ ，则 $\frac{A G}{G F}$ 的值为.

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7、将 $a + (b - c)$ 去括号得．

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8、如图，已知 $O P$ 平分 $∠ A O B$ ， $P C ⊥ O B$ 于点C， $\tan ∠ P O C = \frac{1}{2}$ ， $O P = \sqrt{5}$ ， D为射线 $O A$ 上一点，连接 $P D$ ，则 $P D$ 的值不可能为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、1 C、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ D、2

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9、如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径， $C D$ 是 $⊙ O$ 的切线， $B$ ， $A$ ， $C$ 三点在同一条直线上，连接 $B D$ ， $∠ C = 40 °$ ，则 $∠ B$ 的度数是（）

A、 $30 °$ B、 $25 °$ C、 $20 °$ D、 $15 °$

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10、如图，在平面直角坐标系中， $△ A B C$ 的顶点 $A ， B$ 均在坐标轴上，已知点 $A (0, 1)$ ， $B (2, 0)$ ， $A B = B C$ ， $∠ A B C = 90 °$ ，连接 $O C$ ，则 $O C$ 所在直线的表达式是（）

A、 $y = \frac{2}{3} x$ B、 $y = \frac{3}{2} x$ C、 $y = - \frac{2}{3} x$ D、 $y = - \frac{3}{2} x$

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11、如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 交 $x$ 轴于 $(1, 0)$ ， $(3, 0)$ ，则下列判断错误的是（）

A、抛物线的对称轴是直线 $x = 2$ B、当 $x > 2$ 时， $y$ 随 $x$ 的增大而减小 C、一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 的两个根分别是1和3 D、当 $y < 0$ 时， $x < 1$

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12、如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线 $y = a x^{2} + b x - 6 (a \neq 0)$ 与 $x$ 轴交于点 $A (- 2, 0), B (6, 0)$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，顶点为 $D$ ，连接 $B C$ ．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、在图1中，连接 $A C$ 并延长交 $B D$ 的延长线于点 $E$ ，求证： $∠ C E B = 45 °$ ；

(3)、如图2，若动直线 $l$ 与抛物线交于M、N两点（直线 $l$ 与BC不重合），连接 $C N$ 、 $B M$ ，直线 $C N$ 与 $B M$ 交于点 $P$ ．当 $M N ∥ B C$ 时，点P的横坐标是否为定值，请说明理由．

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13、按要求解决问题：

(1)、证明推断：如图1，在正方形 $A B C D$ 中，点 $E, Q$ 分别在边 $B C, A B$ 上， $D Q ⊥ A E$ 于点 $O$ ，点 $G, F$ 分别在边 $C D, A B$ 上， $G F ⊥ A E$ ．求 $\frac{G F}{A E}$ 的值；

(2)、类比探究：如图2，在矩形 $A B C D$ 中， $\frac{B C}{A B} = k$ （k为常数）．将矩形 $A B C D$ 沿 $G F$ 折叠，使点 $A$ 落在 $B C$ 边上的点 $E$ 处，得到四边形 $F E P G$ ， $E P$ 交 $C D$ 于点 $H$ ，连接 $A E$ 交 $G F$ 于点 $O$ ．试探究 $G F$ 与 $A E$ 之间的数量关系，并说明理由；

(3)、拓展应用：连接 $C P$ ，在（2）的条件下，当 $k = \frac{2}{3}$ 时，若 $t a n ∠ C G P = \frac{3}{4}, G F = 2 \sqrt{10}$ ，求 $C P$ 的长．

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14、研究背景：某校数学兴趣小组到蔬菜基地了解某种有机蔬菜的销售情况，并利用所学的数学知识对基地的蔬菜销售提出合理化建议．
材料一：某种蔬菜的种植成本为每千克10元，经过市场调查发现，该蔬菜的日销售量y（千克）与销售单价x（元）是一次函数关系；
材料二：该种蔬菜销售单价为12元时，日销售量为1800千克；销售单价为15元时，日销售量为1500千克．

(1)、任务一：建立函数模型
求y与x的函数表达式及自变量的取值范围；

(2)、任务二：设计销售方案
设该种蔬菜的日销售利润为w（元），市场监督管理部门规定，除去每日其他正常开支总计1000元外，该蔬菜销售单价不得超过每千克18元，请求出最大日销售利润．

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15、如图，点P是 $⊙ O$ 外一点， $P O$ 交 $⊙ O$ 于点 $B (P B > B O)$ ．

(1)、请用尺规按下列步骤作图：（不写作法，保留作图痕迹）
①画线段 $P O$ 的垂直平分线，交 $P O$ 于点 $A$ ；②在 $⊙ O$ 上找一点 $C$ （点 $C$ 在 $P O$ ）上方，使 $A C = A P$ ；③画射线 $P C$ ．

(2)、求证： $P C$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(3)、在（1）（2）问的条件下，若 $P C = 3 \sqrt{10}, c o s ∠ P O C = \frac{\sqrt{10}}{10}$ ，求点C到 $P O$ 的距离．

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16、如图，直线 $y = - x + 2$ 与双曲线 $y = \frac{k}{x}$ 相交于 $A (- 2, 4)$ ， $B$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C$ ．

(1)、求反比例函数的解析式；

(2)、求点 $B$ 的坐标；

(3)、若点 $D$ 与点 $C$ 关于 $x$ 轴对称，求 $△ A B D$ 的面积．

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17、已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - 4 x + m + 1 = 0$ 有两个不相等的实数根 $x_{1}, x_{2}$ ．

(1)、求实数 $m$ 的取值范围；

(2)、若 ${(x_{1} - x_{2})}^{2} = - m^{2} + 9$ ，求实数 $m$ 的值．

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18、为了解中考体育科目训练情况，某市从全市九年级学生中随机抽取了部分学生进行了一次中考体育科目测试（把测试结果分为四个等级：A级：优秀；B级：良好；C级：及格；D级：不及格），并将测试结果绘成了如下两幅不完整的统计图．请根据统计图中的信息解答下列问题：

(1)、图1中 $∠ α$ 度数是，并把图2条形统计图补充完整；

(2)、测试老师想从4位同学（分别记为E，F，G，H，其中E为小明）中随机选择两位同学了解平时训练情况，请用列表或画树形图的方法求出选中小明的概率．

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19、如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C, A D$ 为 $△ A B C$ 的中线，以点 $A$ 为圆心，以 $A D$ 长为半径画弧，与 $A B$ 、 $A C$ 分别交于点E、F，连接 $D E$ 、 $D F$ ．

(1)、求证： $△ A D E ≌ △ A D F$ ；

(2)、若 $∠ B D E = 20 °$ ，求 $∠ B A C$ 的度数．

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20、计算：

(1)、 $a (4 a - 1) - {(2 a - 1)}^{2}$ ；

(2)、 $\sqrt{2} \cdot s i n 45 ° + 3^{- 1} - {(3.14 - π)}^{0}$ ．

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