相关试卷

1、方程 $x^{2} - 4 = 0$ 的两个根是( )

A、 $x_{1} = 2$ ， $x_{2} = - 2$ B、 $x_{1} = x_{2} = - 2$ C、 $x_{1} = x_{2} = 2$ D、 $x_{1} = 2$ ， $x_{2} = 0$

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2、下列根式中属最简二次根式的是( )

A、 $\sqrt{\frac{1}{2}}$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{8}$ D、 $\sqrt{0.5}$

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3、若代数式 $\sqrt{x + 3}$ 有意义，则 $x$ 的取值范围是( )

A、 $x > - 3$ B、 $x < - 3$ C、 $x \neq - 3$ D、 $x \geq - 3$

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4、
【阅读理解】“两条平行线被第三条直线所截”是平行线中的一个重要的“基本图形” $.$ 与平行线有关的角都存在着这个“基本图形”中，当发现题目的图形“不完整”时要添加适当的辅助线将其补充完整．将“非基本图形”转化为“基本图形”这体现了转化思想．

(1)、【建立模型】如图 $① ②$ 已知 $A B / / C D$ ，点 $E$ 在直线 $A B$ 、 $C D$ 之间，请分别写出 $∠ A E C$ 与 $∠ B A E$ 、 $∠ D C E$ 之间的关系，并对图 $②$ 中的结论进行证明．请用上面的结论解决下面的问题：

(2)、【解决问题】如图是一盏可调节台灯，如图 $3$ 为示意图．固定支撑杆 $A O ⊥$ 底座 $M N$ 于点 $O, A B$ 与 $B C$ 是分别可绕点 $A$ 和 $B$ 旋转的调节杆，台灯灯罩可绕点 $C$ 旋转调节光线角度，在调节过程中，最外侧光线 $C D$ 、 $C E$ 组成的 $∠ D C E = 45^{\circ}$ 始终保持不变．现调节台灯，使外侧光线 $C D / / M N, C E / / B A$ ，求 $∠ B A O$ 的度数．

(3)、【拓展应用】如图 $(4)$ ，已知 $A B / / C D, B E$ 和 $D F$ 分别平分 $∠ A B F$ 和 $∠ C D E$ ，若 $2 ∠ E - ∠ F = 75^{\circ}$ ，求 $∠ C D E$ 的度数．

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5、如图，在同一平面内， $A B / / D E$ ， $∠ A B C = ∠ D E F .$ 判断 $B C$ 与 $E F$ 是否平行，并说明理由．

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6、阅读下面的推理过程，将空白部分补充完整．
解：因为 $F G / / C D ($ 已知 $)$ ，
所以 $∠ 1 =$     ▲     ，
又因为 $∠ 1 = ∠ 3 ($ 已知 $)$ ，
所以 $∠ 3 = ▲ ($ 等量代换 $)$ ．
所以 $B C / / D E$ (    )
所以 $∠ B +$      ▲     $= 180 º$ (    )

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7、解方程组

(1)、 $\{\begin{array}{l} y = 2 x - 3 \\ 3 x + 2 y = 8 \end{array}$

(2)、 $\{\begin{array}{l} 4 x - 3 y = 7 \\ x + 3 y = - 2 \end{array}$

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8、已知 $m$ 为任意的两位数，若 $m$ 的各位数字不同且不为 $0$ ，这样的两位数称为“ $S Z$ 数” $.$ 把一个“ $S Z$ 数”的十位和个位数字交换位置，得到一个新的两位数，把这两个数相加的和除以 $11$ 的商记为 $N (m) .$ 例如 $m = 45$ 对调后的两位数为 $54$ ，这两个数的和为 $99$ ， $99 \div 11 = 9$ ，所以 $N (45) = 9 .$ 计算： $N (42) =$ $.$ 若 $a$ ， $b$ 都是“ $S Z$ 数” $a = 10 x + 24$ ， $b = 51 + y (1 \leq x \leq 7,1 \leq y \leq 8, x, y$ 为整数 $)$ 当 $N (a) + N (b) = 19$ 时，则 $x + y =$ ．

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9、已知 $\{\begin{array}{l} x = 1 \\ y = 2 \end{array}$ 是方程 $2 m x - y = 2$ 的一组解，则 $m$ 的值是．

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10、已知方程 $x - 3 y - 2 = 0$ ，用含 $y$ 的式子表示 $x$ ，则 $x =$ ．

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11、
《九章算术》中：“今有三人共车，两车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？”其大意为：今有 $3$ 人坐一辆车，有 $2$ 辆车是空的； $2$ 人坐一辆车，有 $9$ 人需要步行．问人与车各多少？设有 $x$ 人， $y$ 辆车，则所列方程组正确的是( )

A、 $\{\begin{array}{l} 3 x = y + 2, \\ 2 x = y - 9 \end{array}$ B、 $\{\begin{array}{l} 3 y - 2 = x, \\ 2 y + 9 = x \end{array}$ C、 $\{\begin{array}{l} \frac{x}{3} = y + 2, \\ \frac{x + 9}{2} = y \end{array}$ D、 $\{\begin{array}{l} \frac{x}{3} = y - 2, \\ \frac{x - 9}{2} = y \end{array}$

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12、下列各组值中，是方程组 $\{\begin{array}{l} x + y = 3 \\ x - y = 1 \end{array}$ 的解的是( )

A、 $\{\begin{array}{l} x = 2 \\ y = 1 \end{array}$ B、 $\{\begin{array}{l} x = 1 \\ y = 2 \end{array}$ C、 $\{\begin{array}{l} x = 3 \\ y = 0 \end{array}$ D、 $\{\begin{array}{l} x = 4 \\ y = 3 \end{array}$

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13、如图，下列推理中，正确的是( )

A、若 $∠ 1 = ∠ 4$ ，则 $A D / / B C$ B、若 $∠ 2 = ∠ 3$ ，则 $A B / / C D$ C、若 $∠ B A D + ∠ D = 180^{\circ}$ ，则 $A B / / C D$ D、若 $∠ D + ∠ 3 + ∠ 4 = 180^{\circ}$ ，则 $A B / / C D$

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14、下列方程中是二元一次方程的是( )

A、 $\frac{x}{3} - 3 = 4 + \frac{x}{4}$ B、 $2 x + 3 y - 1$ C、 $x^{2} - 3 x + y = 0$ D、 $x + 2 y = 3$

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15、定义：若一次函数 $y = a x + b$ 和反比例函数 $y = - \frac{c}{x}$ 交于两点 $(x_{1}, y_{1})$ 和 $(x_{2}, y_{2})$ ，满足 $x_{2} = k y_{1} (x_{1} < x_{2})$ ，则称 $y = a x^{2} + b x + c$ 为一次函数和反比例函数的“ $k$ 属合成”函数．

(1)、试判断一次函数 $y = x - 2$ 与 $y = \frac{3}{x}$ 是否存在“ $k$ 属合成”函数？若存在，求出 $k$ 的值及“ $k$ 属合成”函数；若不存在，请说明理由；

(2)、已知一次函数 $y_{1} = a x + b (b > 0)$ 与反比例函数 $y_{2} = \frac{4}{x}$ 交于 $A, B$ 两点，它们的“ $- a$ 属合成”函数为 $y_{3}$ ，若点 $A$ 在直线 $y = - a x + 5$ 上，求 $y_{3}$ 的解析式；

(3)、如图，若 $y = a x + b$ 与 $y = - \frac{3}{2 x}$ 的“2属合成”函数的图象与 $x$ 轴交于 $M, N$ 两点（ $M$ 在 $N$ 点左侧），它的顶点为 $D (1, y_{0})$ ， $P$ 为第三象限的抛物线上一动点， $N P$ 与 $y$ 轴交于点 $E$ ，将线段 $D E$ 绕点 $D$ 逆时针旋转 $90 °$ 得到线段 $D F$ ，射线 $M E$ 与射线 $F N$ 交于点 $G$ ，连接 $M P$ ，若 $∠ M G N = 2 ∠ M P N$ ，求点 $P$ 的坐标．

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16、如图，在菱形 $A B C D$ 中， $A B = 6, ∠ B = 60 °$ ，点 $E, F$ 分别是 $A B, A D$ 上的动点，满足 $A E = D F$ ，连接 $C E, C F, E F, E F$ 与 $A C$ 交于点 $G$ ．

(1)、求 $∠ E C F$ 的度数；

(2)、填空：
① $\frac{A F}{C D} + \frac{A E}{A C} =$ ______________，② $\frac{A F}{C D} - \frac{F G}{E C} =$ ______________，③ $\frac{A G}{A E} + \frac{A G}{A F} =$ ______________；

(3)、记 $△ A E G$ 的面积为 $S_{1}$ ， $△ A F G$ 的面积为 $S_{2}$ ， $△ A E C$ 的面积为 $S_{3}$ ， $△ A F C$ 的面积为 $S_{4}$ ．
①若 $C F^{2} = 3 A F \cdot F D$ ，求 $\frac{S_{1}}{S_{3}}$ 的值；
②试判断 $\frac{S_{1}}{S_{4}} + \frac{S_{2}}{S_{3}}$ 的值是否存在最小值？若存在，求出这个值；若不存在，请说明理由．

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17、如图， $C$ 是以 $A B$ 为直径的 $⊙ O$ 上一点， $F$ 为 $\overset{⏜}{B C}$ 的中点，过点 $C$ 作 $⊙ O$ 的切线交 $O F$ 的延长线于点 $E$ ，连接 $B E, B C, B C$ 交 $O F$ 于点 $D$ ．

(1)、求证： $B E$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若 $D F = 2, ∠ E O B = 60 °$ ，求线段 $O E$ 的长；

(3)、在（2）的条件下，求阴影部分的面积．

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18、北京时间2024年8月6日，在巴黎奥运会跳水女子10米台决赛的较量中，中国选手全红婵以425.60分夺得金牌．如图2所示，建立平面直角坐标系 $x O y$ ．如果她从点 $A (6, 10)$ 起跳后的运动路线可以看作抛物线的一部分，从起跳到入水的过程中，她的竖直高度 $y$ （单位：m）与水平距离 $x$ （单位：m）近似满足函数关系式 $y = a {(x - h)}^{2} + k (a < 0)$ ．

(1)、在平时训练完成一次跳水动作时，全红婵的水平距离 $x$ 与竖直高度 $y$ 的几组数据如下表：
水平距离 $x$ /m
6
$h$
7
7.5
竖直高度 $y$ /m
10
$11.25$
10
6.25
根据上述数据，求出 $y$ 与 $x$ 的函数关系式；

(2)、比赛当天的某一次跳水中，全红婵的竖直高度 $y$ 与水平距离 $x$ 近似满足函数关系 $y = - 5 x^{2} + 60 x - 169$ ，设她平时训练时入水点与原点的水平距离为 $d_{1}$ m，比赛当天入水点与原点的水平距离为 $d_{2}$ m，请比较 $d_{1}$ 与 $d_{2}$ 的大小．

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19、如图，将平行四边形纸片 $A B C D$ 沿一条直线折叠，使点 $A$ 与点 $C$ 重合，点 $D$ 落在点 $G$ 处，折痕为 $E F$ ．

(1)、求证： $△ E B C ≌ △ F G C$ ；

(2)、若 $∠ E C B = 30 °$ ， $∠ A = 120 °$ ，试判断 $△ E C F$ 的形状，并说明理由．

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20、为了弘扬科学创新精神，某中学开展了科学知识竞答活动，学校随机抽取了七年级部分同学的成绩进行整理．数据分成五组， $A$ 组： $50 \leq x < 60$ ； $B$ 组： $60 \leq x < 70$ ； $C$ 组： $70 \leq x < 80$ ； $D$ 组： $80 \leq x < 90$ ； $E$ 组： $90 \leq x \leq 100$ ．已知 $C$ 组的数据为：70，71，72，72，72，74，75，76，76，77，77，79，根据以上数据，我们绘制了频数分布直方图和扇形统计图．
根据以上信息，解答下列问题：

(1)、本次随机抽查的样本容量为____________，并补全频数分布直方图；

(2)、抽取的七年级部分同学的成绩的中位数为____________；

(3)、该校要对成绩为E组的学生进行奖励，按成绩从高分到低分设一、二等奖，并且一、二等奖的人数比例为 $4 : 6$ ，请你估计该校七年级1000名学生中获得一等奖的学生人数．

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水平距离 $x$ /m	6	$h$	7	7.5
竖直高度 $y$ /m	10	$11.25$	10	6.25