相关试卷

1、活动小组自制了一个“不倒翁”，图1是“不倒翁”稳定直立在桌面 $M N$ 上的简易截面图，其主要结构如下： $A B$ 为连接不倒翁最顶端和最底端的中心支架，点 $E$ ， $F$ 是底部半圆 $O$ 上的两点，连接 $O E$ ， $O F$ ，连接 $E F$ 交 $A B$ 于点 $K$ ，且 $E K = F K$ ，在 $E F$ 与半圆 $O$ 所围成的弓形部分填充固定重物．已知 $A B = 27 cm$ ， $C D$ 为半圆 $O$ 的直径， $C D = 18 cm$ ．

(1)、若 $E F = 9 cm$ ．
①求填充物部分（弓形）的深度 $B K$ 及 $\overset{⌢}{E F}$ 的长；
②如图2，当支架 $A B$ 摆动到使点 $E$ 落在桌面 $M N$ 上时，求支架顶端点 $A$ 到桌面 $M N$ 的距离；

(2)、小组经过实验发现当 $9 cm < E F < 13 cm$ 时，不倒翁的摇摆效果最佳．现小组决定增加填充物提升 $E F$ 的位置，使 $E F = 12 cm$ ，并摆动支架 $A B$ ，仍使点 $E$ 落在桌面 $M N$ 上，直接写出此时点 $F$ 比②中点 $F$ 的位置升高的距离．

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2、如图1，在正方形 $A B C D$ 中， $A B = 2 \sqrt{5}$ ， $O$ 是边 $B C$ 的中点，线段 $O E$ 绕着点 $O$ 旋转， $O E = 2$ ，连接 $D E$ ，将线段 $D E$ 绕点 $D$ 逆时针旋转 $90 °$ 得 $D F$ ，连接 $A E$ ， $C F$ ．

(1)、求证： $△ A D E ≌ △ C D F$ ；

(2)、如图2，当点 $E$ 在正方形内部，且 $A$ ， $E$ ， $O$ 三点共线时，
① $A O =$ ______， $A E =$ ______；
②求点 $F$ 到直线 $B C$ 的距离；

(3)、直接写出在变化的过程中， $△ C D F$ 的面积的最小值为______；

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3、青少年不仅要学习好，还要关注时事热点，关心国家的现状和未来．某校为提高学生对时事热点的关注度，特举办了一场“中国事，我知道”的问卷测试．从七、八年级中各随机抽取20名学生的成绩（满分10分，6分及以上为合格，9分及以上为优秀）进行整理、描述和分析，部分信息如下：
七、八年级学生测试成绩频数分布表

5
6
7
8
9
10
七年级
3
1
7
3
4
2
八年级
2
4
4
5
2
3
分析数据，得到以下统计量
年级
平均数
中位数
众数
不合格率
七年级
a
7
7
$15 %$
八年级
7.5
7.5
b
c
根据以上信息，回答下列问题：

(1)、表格中 $a =$ 　　　　， $b =$ 　　　　， $c =$ 　　　　．

(2)、若该校七、八年级各有500名学生参加此次测试，请估算两个年级学生测试成绩达到优秀（9分及以上）的人数．

(3)、结合上表中的统计量，判断哪个年级的学生成绩较好，并说明理由．（至少从两个角度说明推断的合理性）

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4、如图， $△ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ．

(1)、用尺规作图，作 $A B$ 边上的垂直平分线 $D E$ ，交 $A C$ 于点 $D$ ，交 $A B$ 于点 $E$ （保留作图痕迹，不要求写作法和证明）；

(2)、在（1）条件下，连接 $B D$ ，当 $B C = 6 cm$ ， $A B = 10 cm$ 时，求 $B D$ 的长．

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5、如图，在平面直角坐标系中，点 $A$ 在 $y$ 轴的正半轴上， $O A = 1$ ，将 $O A$ 绕点 $O$ 顺时针旋转 $45 °$ 到 $O A_{1}$ ，扫过的面积记为 $S_{1}$ ， $A_{1} A_{2} ⊥ O A_{1}$ 交 $x$ 轴于点 $A_{2}$ ；将 $O A_{2}$ 绕点 $O$ 顺时针旋转 $45 °$ 到 $O A_{3}$ ，扫过的面积记为 $S_{2}$ ， $A_{3} A_{4} ⊥ O A_{3}$ 交 $y$ 轴于点 $A_{4}$ ；将 $O A_{4}$ 绕点 $O$ 顺时针旋转 $45 °$ 到 $O A_{5}$ 扫过的面积记为 $S_{3}$ …；
（1） $S_{1} =$ ；
（2）按此规律，则 $S_{2026} =$ ．

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6、如图，若增加“某条线段的长度为5”这个条件后，可证明四边形 $A B C D$ 为平行四边形，则这条线段为．

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7、计算： $(\sqrt{10} + \sqrt{6}) (\sqrt{10} - \sqrt{6}) =$ ．

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8、如图，在平面直角坐标系中，四边形 $A O C B$ 为菱形， $\tan ∠ A O C = \frac{4}{3}$ ，且点 $A$ 落在反比例函数 $y = \frac{3}{x}$ 上，点 $B$ 落在反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 上，则 $k =$ （）

A、4 B、6 C、8 D、10

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9、如图，正方形 $A B C D$ 是由3个全等的正方形和3个全等的矩形拼接而成，且矩形的对角线与长边的夹角为 $α$ ，则 $\sin α$ 的值为（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{3}$

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10、若一元二次方程 $x (2 x - 3) - 4 = 0$ 的两根之和与两根之积分别为 $m$ ， $n$ ，则点 $(n, m)$ 在平面直角坐标系中位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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11、嘉嘉的作业纸被撕下来一部分，如图，则被撕下部分的式子可能是（）

A、 $x + 1$ B、 $x - 1$ C、 $x$ D、 $\frac{1}{x - 1}$

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12、如图， $△ A B C$ 和 $△ A D C$ 如图所示放置，当 $△ A B C$ 为等腰三角形时， $A C$ 的长为（）

A、3 B、4 C、3或4 D、无法确定

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13、面对国外对芯片技术的垄断，我国科学家奋起直追，2020年11月26号，上海微电子宣布由我国独立研发的光刻机为光源完成了22nm的光刻水准，1nm＝1.0×10^﹣⁹m，用科学记数法表示22nm，则正确的结果是（　　）

A、22×10^﹣⁹m B、22×10^﹣⁸m C、2.2×10^﹣⁸m D、2.2×10^﹣¹⁰m

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14、如图，以点O为中心的量角器与直角三角板 $A B C$ 按如图方式摆放，量角器的直径与直角三角板的斜边 $A B$ 重合，如果点D在量角器上对应的刻度为 $110 °$ ，连接 $C D$ ．那么 $∠ B C D =$ （）

A、 $110 °$ B、 $55 °$ C、 $65 °$ D、 $70 °$

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15、关于代数式 $- \frac{3}{5} x$ ，下列选项中表述正确的是（）

A、表示 $- \frac{3}{5}$ 与 $- x$ 的和 B、表示 $- \frac{3}{5}$ 与 $x$ 的乘积 C、表示 $- \frac{3}{5}$ 与 $x$ 的和 D、表示 $- \frac{3}{5}$ 与 $- x$ 的乘积

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16、杭州、武汉、重庆、拉萨都在地球的北纬 $30 °$ 附近，下面是某日这四个城市的最高和最低气温（单位： $℃$ ），则本日温差最大的城市是（　　）

A、 B、 C、 D、

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17、如图，在等边△ABC中，D是边AC上的动点，将线段BD绕点B按顺时针方向旋转60°得到线段BE，连接CE，DE，DE交边BC于点F。

(1)、求∠BCE的度数。

(2)、若△DCE的面积为 $5 \sqrt{3}, C F = 3,$ 求BF的长。

(3)、若AB=1，求 $\frac{C F}{B F}$ 的最大值。

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18、已知二次函数 $y = - x^{2} + 2 x + c$ （c为常数）。

(1)、求该二次函数图象的对称轴。

(2)、过点（0，4）且与x轴平行的直线交二次函数 $y = - x^{2} + 2 x + c$ 的图象于点A，B，AB>2。
①求c的取值范围；
②若AB=4，且当t≤x≤t+2时，二次函数 $y = - x^{2} + 2 x + c$ 的最小值为2，求t的值。

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19、综合与实践：
【生活情境】如图1，要将一块形状为平行四边形的木板余料分割成相同的两部分，拼接成一块矩形木板，需要找到合适的分割线。
【数学问题】如图2，已知▱ABCD，AB=40cm，BC=60cm，∠B=53°。作一条直线EF，使直线EF⊥BC，且将▱ABCD分成周长相等的两部分。
【实践操作】如图3，小嘉的作法：①连接AC，BD交于点O；②以AC为直径作半圆交边BC于点H；③连接AH，作∠HAC的角平分线交半圆O于点G；④作直线OG分别交边AD，BC于点E，F，直线EF就是所求作的直线。

(1)、【解决问题】
求▱ABCD的面积。（参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6）

(2)、根据小嘉的作图过程，说明直线EF⊥BC且将▱ABCD分成周长相等的两部分的理由。

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20、已知一列数，我们将第1个数记为a₁ ，第2个数记为a₂ ，第3个数记为a₃ ， …，第n个数记为an，这n个数的和记为Sn（即 $S_{n} = a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n}),$ 并且这列数从第3个数开始满足 $a_{3} = a_{1} + a_{2}, a_{4} = a_{2} + a_{3}, \dots, a_{n} = a_{n - 2} + a_{n - 1} 。$ 例如，当 $a_{1} = 1, a_{2} = 1$ 时， $a_{3} = a_{1} + a_{2} = 1 + 1 = 2, a_{4} = a_{2} + a_{3} = 1 + 2 = 3, \dots; S_{3} = a_{1} + a_{2} + a_{3} = 1 + 1 + 2 = 4$ ， $S_{4} = a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4} = 1 + 1 + 2 + 3 = 7, \dots \dots$

(1)、当 $a_{1} = 1, a_{2} = 1$ 时，求a₅和S₅的值。

(2)、若 $a_{2} = 4,$ 且 $S_{5} = 18,$ 求a₁的值。

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年级	平均数	中位数	众数	不合格率
七年级	a	7	7	$15 %$
八年级	7.5	7.5	b	c