相关试卷

1、2023年9月9日，上海微电子研发的28 $nm$ 浸没式光刻机的成功问世，标志着我国在光刻机领域迈出了坚实的一步．已知28 $nm$ 为0.000000028米，数据0.000000028用科学记数法表示为（）

A、 $2.8 \times 10^{- 10}$ B、 $2.8 \times 10^{- 9}$ C、 $2.8 \times 10^{- 8}$ D、 $2.8 \times 10^{- 7}$

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2、 $6$ 的相反数是（）

A、 $\frac{1}{6}$ B、 $6$ C、 $- \frac{1}{6}$ D、 $- 6$

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3、综合与实践
【问题背景】
（1）如图1，在 $△ A B C$ 和 $△ D B C$ 中， $∠ B A C = ∠ B D C = 90 °$ ，点 $O$ 为 $B C$ 边的中点，连结 $A O$ ， $D O$ ， $A D$ ．求证： $△ A O D$ 为等腰三角形．
【特例研究】
（2）在（1）的条件下，若 $D B = D C$ ，求证： $A D$ 平分 $∠ B A C$ ．
【拓展延伸】
（3）如图2，在 $△ A B C$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ，点 $D$ 在 $A C$ 边上， $B C = B D$ ， $E B ⊥ B D$ ， $E B = A B$ ，点 $M$ ， $N$ 分别为线段 $E D$ ， $A B$ 的中点，连结 $A E$ ， $M N$ ．若 $C D = 6$ ， $A E = 8$ ，求线段 $M N$ 的长．

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4、小滨、小江在探索“求代数式的值”时发现，在一定条件下，有些代数式的值始终相等，有些代数式存在最大值或最小值．已知 $a b = 1$ ．
小滨： $\frac{1}{1 + a} + \frac{1}{1 + b}$ 的值始终等于1．
小江：尽管 $a^{2} + b^{2}$ 的值不能被确定，但能求出最小值．其说理过程如下： $a^{2} + b^{2} = {(a - b)}^{2} + 2 a b = {(a - b)}^{2} + 2$ ，由 ${(a - b)}^{2} \geq 0$ 知，当 $a = b$ 时， $a^{2} + b^{2}$ 存在最小值2．

(1)、试判断小滨的说法是否正确，并说明理由．

(2)、在 $a b = 1$ 的条件下，下列代数式：① $\frac{a}{1 + a} + \frac{b}{1 + b}$ ；② $\frac{1}{1 + a^{2}} + \frac{1}{1 + b^{2}}$ ；③ $\frac{1}{1 + a^{2}} + \frac{1}{1 + 4 b^{2}}$ ；④ $\frac{1}{1 + a^{n}} + \frac{1}{1 + b^{n}}$ （ $n \geq 3$ ， n为整数）．
（i）值始终保持不变的代数式有：________（填序号）；
根据这些代数式的特点，写出一个类似的、值始终保持不变的代数式________．
（ii）上述分式中是否存在最大值或者最小值，若有，请求出此分式的最大（或最小）值；若没有，请说明理由．

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5、如图，在等腰 $Rt △ A B D$ 中， $∠ A D B = 90 °$ ，点 $F$ 在线段 $A D$ 上，点 $C$ 在 $B D$ 的延长线上，连接 $A C ， B F$ ，并延长 $B F$ 交 $A C$ 于点 $E$ ，且 $B F = A C$ ．

(1)、求证： $B E ⊥ A C$ ；

(2)、过点 $F$ 作 $F G ∥ B D$ ，交 $A B$ 于点 $G$ ，猜想线段 $G F 、 D C 、 B D$ 满足的数量关系，并证明；

(3)、若 $E$ 为 $A C$ 中点，求 $A F : D F$ 的值．

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6、如图，直线 $y = \frac{4}{3} x + 8$ 与x，y轴分别交于A，B两点，点M在线段 $O B$ 上，将 $△ A B M$ 沿直线 $A M$ 折叠，此时点B恰好落在点 $B^{'} (a, 0)$ 处．

(1)、求a的值；

(2)、求直线 $A M$ 的解析式；

(3)、若点C在坐标轴上， $△ A B C$ 是等腰三角形，请直接写出点C的坐标．

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7、已知一次函数 $l_{1} : y = k x + 5 (k \neq 0)$ 和正比例函数 $l_{2} : y = x$ ，过点 $A (t, 0)$ 作平行于y轴的直线分别交直线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 于点B和点C，若在 $0 \leq t \leq 4$ 的范围内， $B C \leq 5$ 恒成立，则k的取值范围为．

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8、如图，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ，分别以 $Rt △ A B C$ 的三边为边在 $A B$ 的同侧作三个正方形，顶点 $H$ 恰为 $D E$ 的中点，若阴影部分（四边形 $K N C M$ ）的面积为9，则正方形 $A B H K$ 的面积为．

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9、已知 $∠ M O N = 100 °$ ，点 $A$ 在射线 $O M$ 上，以点 $O$ 为圆心， $O A$ 长为半径画弧，交射线 $O N$ 于点 $B$ ．若分别以点 $A$ ， $B$ 为圆心， $A B$ 长为半径画弧，两弧交于点 $C$ ，连接 $A C$ ，则 $∠ O A C$ 的度数为．

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10、已知关于 $x$ ， $y$ 的二元一次方程组 $\{\begin{array}{l} x + 3 y = 4 - a \\ x - y = 3 a \end{array}$ ，给出下列结论中正确的是．
①当这个方程组的解 $x$ ， $y$ 的值互为相反数时， $a = - 2$ ；②当 $a = 1$ 时，方程组的解也是方程 $x + y = 4 + 2 a$ 的解；③无论 $a$ 取什么实数， $x + 2 y$ 的值始终不变；④若用 $x$ 表示 $y$ ，则 $y = - \frac{x}{2} + \frac{3}{2}$

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11、已知不等式 $a x + 3 \geq 0$ 的自然数解有4个，则a的取值范围是．

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12、若 $a^{2} + b^{2} = 4 a b (a \neq b \neq 0)$ ，则 $\frac{a + b}{a - b}$ 的值为．

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13、如图，题目中的部分文字被墨水污染无法辨认，导致题目因缺少条件而无法解答．经查看答案解析发现，若设第一次购买了x个魔方，则可列方程 $\frac{1500}{x} - \frac{1000}{x - 10} = 5$ 进行解答．则被墨水污染部分的文字为：这次商家每个魔方5元（填“涨价”或“优惠”），结果比上次买了10个（填“多”或“少”）．

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14、已知 $△ A B C$ 的周长是12， $A B = 2 A C$ ，则边 $A C$ 的取值范围是．

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15、下列实数中是无理数的是（）

A、3.1415926 B、 $\frac{π}{2}$ C、 $- \frac{22}{7}$ D、 $\sqrt{9}$

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16、如图，已知 $B C ⊥ A C$ ，圆心O在 $A C$ 上点M与点C分别是 $A C$ 与 $⊙ O$ 的交点，点P是 $A D$ 延长线与 $B C$ 的交点，且 $\frac{A D}{A P} = \frac{A M}{A O}$ ．

(1)、求证： $P D$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若 $A D = 8$ ， $A M = M C$ ，求 $\frac{B P}{M D}$ 的值．

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17、如图，在矩形 $A B C D$ 中，点 $E$ 是 $A D$ 边上一点，且 $A E = E C$ ，点 $O$ 是 $A C$ 的中点，连接 $B O$ 并延长交 $C E$ 于点 $F$ ．

(1)、求证： $△ A E C ∽ △ B O C$ ；

(2)、若 $A E = 4$ ， $B C = 6$ ，求 $\frac{S_{Δ O F C}}{S_{Δ E D C}}$ 的值．

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18、计算：
（1） ${s i n}^{2} 60^{\circ} - t a n 30^{\circ} \cdot c o s 30^{\circ} + t a n 45^{\circ}$ ；
（2） ${s i n}^{2} 66^{\circ} + {c o s}^{2} 66^{\circ} - t a n 27^{\circ} \cdot t a n 63^{\circ}$ ．

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19、如图， $A B ⊥ C D$ 于点E，且 $A B = C D = A C$ ，若点I是 $△ A C E$ 的角平分线的交点，点F是 $B D$ 的中点．则 $∠ A I C =$ ；若 $∠ I A C = 15 °, A C = 2 + 2 \sqrt{3}, I C = 2$ ，则 $△ I B F$ 的面积为．

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20、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，BC=3 $\sqrt{3}$ ，点D是AB的中点，点E是以点B为圆心，BD长为半径的圆上的一动点，连接AE，点F为AE的中点，则CF长度的最大值是．

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