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1、定义：若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，则称这个点为“三倍点”，如： $A (1, 3)$ ， $B (- 2, - 6)$ ， $C (0, 0)$ 等都是“三倍点”．已知二次函数 $y = - x^{2} - x + c$ （ $c$ 为常数）．

(1)、若该函数经过点 $(1, - 6)$ ，求该函数图象上的“三倍点”坐标；

(2)、在（1）的条件下，当 $t \leq x \leq t + 2$ 时，求该函数的最小值（用含 $t$ 的代数式表示）；

(3)、在 $- 4 < x < 1$ 的范围内，若二次函数 $y = - x^{2} - x + c$ 的图象上至少存在一个“三倍点”，求 $c$ 的取值范围．

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2、阅读理解：如图1， $A B$ 和 $B C$ 是 $⊙ O$ 的两条弦（即折线 $A B C$ 是圆的一条折弦）， $B C > A B$ ，点 $M$ 是 $\overset{⌢}{A B C}$ 的中点，则从点 $M$ 向 $B C$ 所作垂线的垂足 $D$ 是折弦 $A B C$ 的中点，即 $C D =$ $A B + B D$ ．下面是运用“截长法”证明 $C D = A B + B D$ 的部分证明过程．
证明：如图1，在 $C B$ 上截取 $C G = A B$ ，连接 $M A$ ， $M B$ ， $M C$ ， $M G$ ．
$∵ M$ 是 $\overset{⌢}{A B C}$ 的中点， $∴$ $M A = M C \dots \dots$ ．
任务：

(1)、请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；

(2)、如图2，已知等腰三角形 $A B C$ 内接于 $⊙ O$ ， $A B = A C = \sqrt{10}$ ， $B C = 2$ ，点 $D$ 为 $\overset{⌢}{A C}$ 上一点， $∠ A B D = 45 °$ ， $A E ⊥ B D$ 于点 $E$ ，求 $△ B D C$ 的周长．

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3、如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径， $C$ ， $D$ 是 $⊙ O$ 上的点，且 $O C ∥ B D$ ， $A D$ 分别与 $B C$ ， $O C$ 相交于点 $E$ ， $F$ ．

(1)、求证： $B C$ 平分 $∠ A B D$ ；

(2)、若 $A B = 4 \sqrt{5}$ ， $A D = 8$ ，求 $C F$ 的长．

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4、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $∠ B = 30 °$ ， $A C = 1$ ， $A C$ 在直线 $l$ 上，将 $△ A B C$ 绕点 $A$ 按顺时针方向旋转到位置①，可得到点 $P_{1}$ ，此时 $A P_{1} = 2$ ；将位置①的三角形绕点 $P_{1}$ 按顺时针方向旋转到位置②，可得到点 $P_{2}$ ，此时 $A P_{2} = 2 + \sqrt{3}$ ；将位置②的三角形绕点 $P_{2}$ 按顺时针方向旋转到位置③，可得到点 $P_{3}$ ，此时 $A P_{3} = 3 + \sqrt{3}$ ；…，按此规律继续旋转．根据以上规律，解决下列问题：

(1)、 $A P_{4} =$ ______；

(2)、猜想： $A P_{2024} =$ ______．

(3)、连接 $B P_{60}$ ，求 $△ B A P_{60}$ 的面积．

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5、如图，在每个小正方形的边长为1个单位的网格中， $Δ A B C$ 的顶点均在格点（网格线的交点）上．

(1)、将 $Δ A B C$ 向左平移5个单位得到 $Δ A_{1} B_{1} C_{1}$ ，画出 $Δ A_{1} B_{1} C_{1}$ ；

(2)、将 $Δ A B C$ 绕点 $O$ 顺时针旋转 $90^{°}$ 得到 $Δ A_{2} B_{2} C_{2}$ ，画出 $Δ A_{2} B_{2} C_{2}$ ．

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6、如图， $⊙ O$ 是 $△ A B C$ 的外接圆， $∠ B A C = 60 °$ ， $A D ⊥ B C$ 于点 $D$ ，延长 $A D$ 交 $⊙ O$ 于点 $E$ ．
（1） $∠ B O C$ 的度数为；
（2）若 $B D = \sqrt{3}$ ， $C D = 3 \sqrt{3}$ ，则 $A D$ 的长是．

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7、如图， $O$ 是等边 $△ A B C$ 内一点， $O A = 3$ ， $O B = 4$ ， $O C = 5$ ，将线段 $B O$ 以点 $B$ 为旋转中心逆时针旋转 $60 °$ 得到线段 $B O^{'}$ ，下列结论错误的是（）

A、 $△ B O^{'} A$ 可以由 $△ B O C$ 绕点 $B$ 逆时针旋转 $60 °$ 得到 B、点 $O$ 与 $O^{'}$ 的距离为5 C、 $∠ A O B = 150 °$ D、 $S_{△ A O C} + S_{△ A O B} = 6 + \frac{9 \sqrt{3}}{4}$

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8、如图，筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心 $O$ 为圆心的圆，已知圆心 $O$ 在水面上方，且 $⊙ O$ 被水面截得的弦 $A B$ 长为 $16$ 米， $⊙ O$ 的半径长为 $10$ 米．若点 $C$ 为运行轨道的最低点，则点 $C$ 到弦 $A B$ 所在直线的距离是（）

A、 $4$ 米 B、 $6$ 米 C、 $8$ 米 D、 $10$ 米

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9、将抛物线 $y = \frac{1}{2} x^{2} - 1$ 绕原点 $O$ 旋转 $180 °$ ，则旋转后的抛物线的解析式为（）

A、 $y = - 2 x^{2} + 1$ B、 $y = - 2 x^{2} - 1$ C、 $y = - \frac{1}{2} x^{2} + 1$ D、 $y = - \frac{1}{2} x^{2} - 1$

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10、关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - 4 x - k = 0$ 有两个相等的实数根，则 $k$ 的值为（）

A、 $- 4$ B、4 C、0 D、16

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11、如图，点A， $B$ ， $C$ 在 $⊙ O$ 上，若 $∠ B = 35 °$ ，则 $∠ O A C$ 的度数是（）

A、 $35 °$ B、 $40 °$ C、 $55 °$ D、 $60 °$

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12、已知 $x = 2$ 是关于 $x$ 的方程 $x^{2} - m x - 2 = 0$ 的一个根，则 $m$ 的值为（）

A、 $- 1$ B、1 C、2 D、 $- 2$

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13、抛物线 $y = {(x - 2024)}^{2} - 2023$ 的对称轴是（）

A、直线 $x = 2024$ B、直线 $x = 2023$ C、直线 $x = - 2024$ D、直线 $x = - 2023$

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14、下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中是中心对称图形的是（）．

A、 B、 C、 D、

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15、如图，BD是长方形ABCD的一条对角线。

(1)、 △ABD与△CDB全等吗? 你是怎样知道的?

(2)、如果你认为△ABD与△CDB全等，请用符号表示，并说出它们的对应边和对应角。

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16、如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，BD=CD。完成下面说明∠B=∠C的理由的过程(填空)。
解：由AD⊥BC(已知)，
得∠ADB==Rt∠(垂直的定义)。
当把图形沿AD对折时，射线DB与DC。
由BD=CD ()，
可知点B与点重合，
所以△ABD与△ACD ，
即△ABD△ACD(全等三角形的定义)，
所以∠B=∠C ()。

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17、判断下列说法是否正确，并简要说明理由。

(1)、长和宽分别相等的长方形都是全等图形；

(2)、如图所示两幅剪纸图案全等；

(3)、面积相等的两个三角形是全等三角形。

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18、如图，△OAD与△OBC全等，∠A与∠B是对应角。请用符号表示这两个三角形全等，并写出相等的边和角。

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19、如图，已知△AOC≌△DOB。说出它们的对应边和对应角。

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20、半径相等的两个圆是全等图形吗?你是怎样知道的?

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