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1、用石块打水漂是一项有趣的活动．抛掷后的石块与平静的水面接触．石块会在空中近似的形成一组抛物线的运动路径．如图①，小星站在河边的安全位置用一个石块打水漂，石块在空中飞行的高度y与水平距离 $x$ 之间的关系如图②所示．石块第一次与水面接触于点 $F$ ，运动路径近似为抛物线 $C_{1}$ ，且 $C_{1} : y = a x^{2} + b x + c$ ，石块在水面上弹起后第二次与水面接触于点 $G$ ，运动路径近似为抛物线 $C_{2}$ ，且 $C_{2} : y = - \frac{1}{5} x^{2} + m x + n$ ．（小星所在地面、水面在同一平面内，且石块形状大小、空气阻力等因素忽略不计）

(1)、如图②，当 $a = - \frac{1}{2}, b = \frac{1}{2}$ 时，若点 $F$ 坐标为 $(2, 0)$ ，求抛物线 $C_{1}$ 的表达式；

(2)、在（1）的条件下，若 $F G = 4$ ，在水面上有一个截面宽 $A B = 1$ ，高 $B C = 0.5$ 的矩形 $A B C D$ 的障碍物，点 $A$ 的坐标为 $(4.5, 0)$ ，判断此时石块沿抛物线 $C_{2}$ 运动时是否能越过障碍物？请说明理由；

(3)、小星在抛掷石块时，若 $C_{1}$ 的顶点需在一个正方形 $M N P Q$ 区域内（包括边界），且点 $F$ 在 $(3, 0)$ 和 $(4, 0)$ 之间（包括这两点），其中 $M (\frac{1}{2}, 1), N (1, 1), Q (\frac{1}{2}, \frac{3}{2})$ ，求 $a$ 的取值范围．（在抛掷过程中正方形与拋物线 $C_{1}$ 在同一平面内）

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2、图 $1$ 是某摩天轮的实景图．摩天轮可视作半径为 $50$ 米的 $⊙ O$ ，其上的某个座舱可视作 $⊙ O$ 上的点 $A$ ，座舱距离地面的最低高度 $B C$ 为 $10$ 米，地面 $l$ 上的观察点 $D$ 到点 $C$ 的距离 $D C$ 为 $80$ 米，平面示意图如图 $2$ 所示．

(1)、当视线 $D A$ 与 $⊙ O$ 相切时，求点 $A$ 处的座舱到地面的距离；

(2)、已知摩天轮匀速转动一周需要 $30$ 分钟，当座舱距离地面不低于 $85$ 米时，在座舱中观赏风景的体验最佳，点 $A$ 处的座舱随摩天轮匀速转动一周的过程中，求该座舱中乘客最佳观赏风景的时长，并求这段时间内该座舱经过的圆弧的长．
（以上结果均保留小数点后一位数字，参考数据： $tan 36.87 ° \approx \frac{3}{4}$ ， $sin 66.87 ° \approx 0.92$ ， $cos 66.87 ° \approx 0.39$ ， $\sqrt{3} \approx 1.73$ ， $π \approx 3.14$ ）

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3、如图，过原点 $O$ 的直线与反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 的图象交于 $A$ 、 $B$ 两点，一次函数 $y = m x + b (m \neq 0)$ 的图象过点A与反比例函数交于另一点 $C$ ，与 $x$ 轴交于点 $M$ ，其中 $A (- 2, 1)$ ， $C (- 1, n)$ ．

(1)、求一次函数 $y = m x + b$ 的表达式，并求 $△ A O M$ 的面积．

(2)、连接 $B C$ ，在直线 $A C$ 上是否存在点 $D$ ，使以 $O$ 、 $A$ 、 $D$ 为顶点的三角形与 $△ A B C$ 相似，若存在，求出点 $D$ 坐标；若不存在，请说明理由．

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4、某校开展“综合与实践”项目学习，拟开设四个项目供学生选择： $A$ ．体育中的数学， $B$ ．绘制公园平面地图， $C$ ．改进我们的课桌椅， $D$ ．高度的测量，若每名学生只选择其中一个项目进行学习，现随机调查部分学生的选择情况并绘制成统计图表，如图所示，
项目
人数
频率
$A$
16

$B$
8

$C$

$D$
4
0.1
根据以上信息，解答下列问题：

(1)、本次调查抽取的学生总人数为______人，请补全条形统计图；

(2)、已知该校共有800名学生，请估计选择项目 $B$ 的学生人数；

(3)、现准备从四个项目中随机选择两个项目在全校作汇报展示，请利用画树状图或列表的方法，求恰好选到项目 $A$ 和项目 $B$ 的概率．

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5、如图，已知 $∠ 1 = 40 °$ ， $∠ B = 50 °$ ， $A B ⊥ A C$ ， $A D = B C$ ．

(1)、求证： $A D ∥ B C$ ；

(2)、求 $∠ D$ 的度数．

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6、先化简，再求值： $(2 + m + \frac{4}{m - 2}) \div \frac{m}{3 m - 6}$ ，其中 $m = {(- 1)}^{2025}$ ．

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7、如图，已知 $△ A B C ≌ △ D E F$ ，边 $B C$ 与 $E F 、 D F$ 分别交于点O，M， $A C$ 与 $E F$ 交于点N， $O B = O E$ ．求证： $△ M O F ≌ △ N O C$ ．

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8、计算： $2 cos 60 ° - {(1 - \sqrt{5})}^{0} + {(\frac{1}{4})}^{- 1}$ ．

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9、方程 $x^{2} - 2024 x - 2025 = 0$ 的两个根分别是 $m 、 n$ ，则 $(m^{2} - 2023 m - 2026) (n^{2} - 2023 n - 2026) =$

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10、用如图（1）所示的若干张直角三角形与四边形纸片进行密铺（不重叠、无空隙），观察示意图（图（2））可知 $x + 2 y$ 的值等于．

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11、老师带领数学小组仅用测角仪和皮尺测量某桥外侧拱顶离水面的高度．如图，拱顶离水面的高度为 $E F$ ，点 $A$ ， $B$ 是水平地面上两点，且与点 $E$ ， $F$ 均在同一竖直平面内．已知水平地面离水面的高度为2米，测角仪支架高度为1.5米，为达成目的，还需测量的数据是（）

A、 $C H$ 的长， $∠ E D H$ 的度数 B、 $A B$ 的长， $∠ E C H$ 的度数 C、 $C H$ 的长， $∠ E C H, ∠ E D H$ 的度数 D、 $A B$ 的长， $∠ E C H, ∠ E D H$ 的度数

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12、下列说法正确的是（）

A、若 $|a| = |b|$ ，则 $a = b$ B、若 $a m < b m$ ，则 $a < b$ C、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形 D、平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧

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13、如图， $A C$ ， $B C$ 为 $⊙ O$ 的弦，连接 $O A$ ， $O B$ ， $O C$ ．若 $∠ A O B = 40 °, ∠ O C A = 30 °$ ，则 $∠ B C O$ 的度数为（）

A、 $40 °$ B、 $45 °$ C、 $50 °$ D、 $55 °$

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14、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，将点 $A (3, 1)$ 绕原点 $O$ 逆时针旋转 $90 °$ ，得到点 $B$ ，则点 $B$ 的坐标为（）

A、 $(3, - 1)$ B、 $(- 1, 3)$ C、 $(1, - 3)$ D、 $(- 3, 1)$

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15、如图，将书本上面的橡皮擦沿箭头方向（垂直于右边缘）平移到书本右边缘．在此过程中，下列叙述正确的是（）

A、主视图不变 B、左视图不变 C、俯视图不变 D、三种视图都不变

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16、为了更好地落实“双减”政策，丰富学生课后托管服务内容，某校决定购买一批足球运动装备.经市场调查发现：甲、乙两商场以同样的价格出售同种品牌的足球队服和足球，已知每套队服比每个足球多50元，两套队服与三个足球的费用相等.

(1)、求每套队服和每个足球的价格各是多少?

(2)、甲商场优惠方案是：每购买十套队服，送一个足球；乙商场优惠方案是：若购买队服超过80套，则购买足球打八折.若该校购买100套队服和a个足球(其中( $a \geq 10$ 且为整数)，请通过计算说明，学校采用哪种优惠方案更省钱?
① 请用含a的式子表示：
甲商城所花的费用，乙商城所花的费用；
② 当购买的足球数a为何值时在两家商场购买所花的费用一样?

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17、重庆市 2023 年体育中考已经结束，现从某校初三年级随机抽取部分学生的成绩进行统计分析(成绩得分用x表示，共分成4个等级， A： 30≤x<35， B： 35≤x<40， C： 40≤x<45， D： 45≤x≤50)，绘制了如下的统计图，请根据统计图信息解答下列问题：

(1)、本次共调查了名学生；

(2)、请补全条形统计图；

(3)、在扇形统计图中，m的值是；B对应的扇形圆心角的度数是；

(4)、若该校初三年级共有2000名学生，估计此次测试成绩优秀 $(45 \leq x \leq 50)$ 的学生共有多少人?

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18、先化简再求值： $7 x^{2} y - [2 x y - 3 (\frac{1}{3} x y - 5) + 6 x^{2} y] - 2 x^{2} y,$ 其中 $x^{2} y + x y = 2 .$

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19、如图， ∠AOB=90°，直线CD过点O，且射线OC 在∠AOB的内部， OE是 $∠ A O D$ 的平分线，若∠BOC=α， ∠DOE=β，则 $β - \frac{α}{2} =$ 度.

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20、半径为4cm的扇形，它的圆心角为50°，则该扇形的面积为 cm².(结果保留π)

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项目	人数	频率
$A$	16
$B$	8
$C$
$D$	4	0.1