相关试卷

1、阅读理解：
著名数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”．
材料1：已知 $x + \frac{1}{x} = 3$ ，求分式 $\frac{x}{x^{2} - 4 x + 1}$ 的值．
解：∵ $x + \frac{1}{x} = 3$ ，
∴ $\frac{x^{2} - 4 x + 1}{x} = x - 4 + \frac{1}{x} = x + \frac{1}{x} - 4 = 3 - 4 = - 1$ ，
∴ $\frac{x}{x^{2} - 4 x + 1} = \frac{1}{\frac{x^{2} - 4 x + 1}{x}} = \frac{1}{- 1} = - 1$
解析：这道题在解题过程中利用了倒数，所以可以将这种方法称为倒数法．
材料2：将分式 $\frac{x^{2} - 2 x + 3}{x - 1}$ 拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式．
解： $\frac{x^{2} - 2 x + 3}{x - 1} = \frac{x (x - 1) + x - 2 x + 3}{x - 1} = x + \frac{- (x - 1) + 2}{x - 1} = x - 1 + \frac{2}{x - 1}$ ．
解析：这种方法可以称为分离常数法．
根据材料，解答下面问题：

(1)、请将分式 $\frac{x^{2} + 4 x + 9}{x + 2}$ 分离常数；

(2)、已知 $a + \frac{1}{a} = 3$ ，求分式 $\frac{a}{2 a^{2} + 2}$ 的值：

(3)、若分式 $\frac{2 b^{2} + 7}{b^{2} + 1}$ 的值为整数，整数b的值为．

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2、【一般概念】如图，在四边形 $A B C D$ 中， $A D = C D$ ， $A B = C B$ ．我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．
【问题解决】

(1)、尺规作图：如图，已知 $△ A B D$ ，求作一点 $C$ ，使得四边形 $A B C D$ 是筝形．（保留作图痕迹，不要求写作法）

(2)、已知：如图，在筝形 $A B C D$ 中， $A B = A D$ ， $C B = C D$ ．证明： $∠ B = ∠ D$ ．

(3)、如图，连接筝形 $A B C D$ 的对角线 $A C, B D$ 相交于点 $O$ ，猜想 $O B$ 与 $O D$ 的数量关系，请说明理由．

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3、2025数字中国创新大赛 $-$ 中小学生赛道，决赛是用电脑程序控制智能赛车进行30米比赛，“天元号”和“朝阳号”两辆赛车在第一轮比赛时，两辆赛车从起点同时出发，当“天元号”到达终点时，“朝阳号”才行驶到全程的 $\frac{4}{5}$ ， “天元号”比“朝阳号”每秒多行0.8米．

(1)、求“朝阳号”的行驶速度；

(2)、如果将“天元号”的行驶路程增加 $\frac{1}{5}$ ， “朝阳号”的行驶路程不变，两辆赛车再次重新比赛，两车能同时到达吗？通过计算说明；

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4、如图， $△ A B C$ 的顶点都在正方形网格的格点上，小方格的边长为 $1$ ．

(1)、请画出 $△ A B C$ 关于 $y$ 轴对称的 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ （其中 $A_{1}$ ， $B_{1}$ ， $C_{1}$ 分别是点 $A, B, C$ 的对应点）；

(2)、写出 $A_{1}$ 的坐标；

(3)、求 $△ A B C$ 的面积．

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5、（1）计算： ${(π - 3)}^{0} + 2^{- 2} \times \sqrt{16}$
（2）先化简，再求值： $(\frac{2 x}{x + 1} - \frac{x}{x + 1}) \div \frac{x}{x^{2} - 1}$ ，其中 $x = 3$ ．

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6、在 $△ A B C$ 中，点 $D$ 、 $F$ 分别为边 $A C$ 、 $A B$ 的中点， $F G ⊥ B C$ 于点 $G$ ， $E D ⊥ A C$ 交 $F G$ 于点 $E$ ， $D E = D C$ ，若 $B G = 3$ ， $G C = 7$ ，则 $E F =$ ．

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7、当 $x =$ 时，分式 $\frac{x - 8}{x - 3}$ 的值为0．

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8、烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物质，如图是这类物质前四种化合物的分子结构模型图，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子．第1种如图①有4个氢原子，第2种如图②有6个氢原子，第3种如图③有8个氢原子，…按照这一规律，第11种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是（　　）

A、20 B、22 C、24 D、26

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9、2025年4月24日，神舟二十号载人飞船在酒泉卫星发射中心，发射成功，某火箭航模店看准商机，购进了“神舟”和“天宫”模型，已知每个“神舟”模型的进价比“天宫”模型多5元，同样花费200元，购进“天宫”模型比“神舟”模型多2个，设“天宫”模型单价为 $x$ 元，则可以列出方程为（）

A、 $\frac{200}{x + 5} - \frac{200}{x} = 2$ B、 $\frac{200}{x - 5} - \frac{200}{x} = 2$ C、 $\frac{200}{x - 5} = \frac{200}{x} - 2$ D、 $\frac{200}{x} - \frac{200}{x + 5} = 2$

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10、如图， $A D$ 是 $△ A B C$ 中 $∠ B A C$ 的角平分线， $D E ⊥ A B$ 于点 $E$ ， $S_{△ A B C} = 26$ ， $D E = 4$ ， $A B = 7$ ，则 $A C$ 长是（）

A、5 B、6 C、7 D、8

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11、如图所示，将一个边长为 $a$ 的正方形减去一个边长为 $b$ 的小正方形，将剩余部分（阴影部分）对半剪开，恰好是两个完全相同的直角梯形，将它们旋转拼接后构成一个等腰梯形．利用图形的面积关系可以得到一个等式是（）

A、 $a^{2} - b^{2} = {(a - b)}^{2}$ B、 $a^{2} - b^{2} = {(a + b)}^{2}$ C、 $a^{2} - b^{2} = a (a + b)$ D、 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$

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12、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A = 30 °$ ， $∠ B = 40 °$ ，则 $∠ A C D$ 的度数为（）

A、 $30 °$ B、 $40 °$ C、 $70 °$ D、 $110 °$

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13、已知图中的两个三角形全等，则 $∠ 1$ 等于（（　　）

A、 $72 °$ B、 $60 °$ C、 $58 °$ D、 $50 °$

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14、如图，小李在木门板上钉了一个加固板，这样做的道理是（）

A、利用四边形的不稳定性 B、利用三角形的稳定性 C、三角形两边之和大于第三边 D、两点确定一条直线

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15、下列图形中，是轴对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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16、下列长度的3条线段能组成三角形的是（　　）

A、1，1，1 B、1，1，2 C、1，2，3 D、2，5，2

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17、综合与实践：在综合与实践课上，老师让同学们以“长方形的折叠”为主题开展数学活动．

(1)、观察发现：如图1，四边形 $A B C D$ 是长方形， $A D = 2 A B$ ，点 $E$ 是 $C D$ 边上一点，连接 $A E$ ，沿 $A E$ 折叠 $△ A D E$ ，使点 $D$ 的对应点 $D^{'}$ 落在 $B C$ 上，则 $∠ D^{'} A E =$ ．

(2)、探究迁移：如图2，在图1的条件下，延长 $B C$ 与 $A E$ 的延长线相交于点 $F$ ，连接 $D F$ ．试说明四边形 $A D F D^{'}$ 是平行四边形，并求 $∠ D F C$ 的度数．

(3)、拓展应用：如图3，四边形 $A B C D$ 是边长为2的正方形， $E$ ， $F$ ， $G$ ， $H$ 分别为 $A B$ ， $B C$ ， $C D$ ， $D A$ 的中点，连接 $E G$ ， $F H$ ．点 $M$ 是 $B C$ 边上一点，连接 $A M$ ，将 $△ A B M$ 沿 $A M$ 折叠，使点 $B$ 的对应点 $B^{'}$ 落在 $H F$ 或 $E G$ 上时，直接写出 $B M =$ ．

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18、【阅读理解】
在不等式领域中有一个重要结论叫“均值不等式”，表述如下：对于任意的正数a ， b ，都有 $a + b \geq 2 \sqrt{a b}$ ，当且仅当“ $a = b$ ”时，等号成立，这个结论是解决最值问题的有力工具．例如：若 $x > 0$ 时，则有 $x + \frac{1}{x} \geq 2 \sqrt{x \cdot \frac{1}{x}} = 2$ ，即 $x + \frac{1}{x} \geq 2$ ，当且仅当“ $x = \frac{1}{x}$ ”，即 $x = 1$ 时，等号成立，从而 $x + \frac{1}{x}$ 有最小值为2．

(1)、【类比求值】
填空：若 $x > 0$ ，则 $x + \frac{9}{x}$ 的最小值为，此时 $x =$ ；

(2)、【拓展应用】
若 $x > 0$ ，求代数式 $\frac{2 x^{2} - 5 x + 3}{x}$ 的最小值；

(3)、【问题解决】
现有一个面积为1.5的锐角三角形 $A B C$ ，按照如图所示的方式裁剪正方形 $D E F G$ ，正方形面积S的最大值是多少？某学习小组对该问题做了如下探索：设 $D E = x$ ， $A C = a$ ， $A C$ 边上的高 $B H = h$ ，最终推导出 $x = \frac{3}{a + h}$ ．
①请你补充该小组的推导过程；
②该小组发现要使得内接正方形面积S最大，也就是求x的最大值，只需使分母 $a + h$ 最小即可．由 $S_{△ A B C}$ 为定值，即 $a h = 3$ ，可得 $h = \frac{3}{a}$ ．请结合以上信息，求底边长a为多少时，内接正方形面积S最大，最大值为多少？

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19、在函数的学习，我们经历了“函数表达式－画函数图象－利用函数图象研究函数性质－利用图象和性质解决问题”的学习，我们可以借鉴这种方法探究函数 $y = - \frac{4}{x - 1}$ 的图象性质．

(1)、根据题意，列表如下：
$x$
$\dots$
$- 3$
$- 1$
$0$
$\dots$
$2$
$3$
$5$
$\dots$
$y$
$\dots$
$1$
$2$
$4$
$\dots$
$- 4$
$- 2$
$- 1$
$\dots$
在所给平面直角坐标系中描点并连线，画出该函数的图象；

(2)、观察图象，发现：
①当 $x >$ 时，y随x的增大而（填“增大”或“减少”）；
②图象是中心对称图形，其对称中心的坐标为；

(3)、函数 $y = - \frac{4}{x - 1} + 2$ 的图象可由函数 $y = - \frac{4}{x - 1}$ 的图象平移得到（不必画图），想象平移后得到的函数 $y = - \frac{4}{x - 1} + 2$ 图象，直接写出当 $y \geq - 2$ 时，x的取值范围是．

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20、近段时间，位于汇川区泗渡镇泗渡农场的125亩草莓迎来了冬季采摘期，该农场以优良的生态环境为基础，采用蜜蜂自然授粉的方式，提升草莓的产量和品质使得草莓香甜可口，果实饱满，吸引了不少游客前往采摘．请阅读以下材料，帮助农户解决问题．
材料1：某农户承包了一块矩形土地，建立了三个草莓种植大棚，其布局如图所示，其中 $A D = 52$ 米， $A B = 30$ 米，阴影部分规划为大棚种植草莓，其余部分是等宽的通道．
材料2：当售价为60元 $/ k g$ 时，每天可销售40 $k g$ ，该农户调查发现，决定降价销售，若销售单价每降低1元，每天可多销售2千克．已知每千克草莓的成本为20元．

(1)、若三个大棚的面积是1400 $m^{2}$ ，求道路的宽度；

(2)、当售价定为多少元时，利润最大？并求出最大利润．

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$x$	$\dots$	$- 3$	$- 1$	$0$	$\dots$	$2$	$3$	$5$	$\dots$
$y$	$\dots$	$1$	$2$	$4$	$\dots$	$- 4$	$- 2$	$- 1$	$\dots$