相关试卷

1、如图，平行四边形ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，若∠EAF=60°，BE=4，DF=6，求平行四边形ABCD的周长和面积。
解：∵ABCD是平行四边形，AD∥BC，AE⊥BC
∴AE⊥AD，
又∵∠EAF=60°，∴∠DAF=30°
在Rt△ADF中∠DAF=30°∴AD=2DF=12.（）填判断根据
∠B=∠D=90-∠DAF=60°
∠BAE=90°-∠B=30°
在Rt△ABE中∠BAE=30°
∴AB=2BE=8.（）填判断根据
∴平行四边形ABCD的周长=2（8+12)=40
在Rt△ADF中AD=12，DF=6，
$A F = \sqrt{12^{2} - 6^{2}} = 6 \sqrt{3}$
CD=AB=8
平行四边形ABCD面积 $= C D \times A F = 8 \times 6 \sqrt{3} = 48 \sqrt{3}$

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2、已知：如图，在ABCD中， E，F是对角线AC上的两点，并且AE=CF。求证：BE=DF
证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB=CD（                 ）填判断根据
AB∥CD（                )填判断根据
∴∠BAE=∠DCF.
又∵AE=CF
∴△ABE≌△CDF（             )填判断根据
∴BE=CF

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3、【定义感知】如图1，对于抛物线（C： $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0),$ 以x轴上的点P（m，0)为中心，将抛物线C绕点P旋转180°得到一个新抛物线，则我们称这个新抛物线是抛物线C关于点P的“共轭抛物线”，点P为“共轭中心”。
图1 图2
图3 备用图
【理解应用】
已知顶点为 D 的抛物线 C： $y = - \frac{1}{2} x^{2} + 2$ 与x轴交于点 A，B。

(1)、如图2，当m=0时，求抛物线C关于共轭中心P（0，0)的共轭抛物线C₁的表达式；

(2)、如图3，当m>0时，若抛物线C关于共轭中心P（m，0)的共轭抛物线C₂恰好经过抛物线 C的顶点 D，求m的值；

(3)、【拓展延伸】
过点P（m，0)作x轴垂线，分别交抛物线C和它关于共轭中心P（m，0)的共轭抛物线 C₃于点M，N，记MN的长为n，n与m的函数关系图象为 C₄。当平行于m轴的直线与C₄的公共点个数为3个时，求此时m的值。

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4、综合与实践
【问题背景】
如图1是某公园的半球形景观灯，它的灯柱高度AB为4m，数学实验小组为测量半球形景观灯的半径，拟订如下方案开展了实地测量活动。
【问题解决】
请你根据各小组拟订的方案和测量得到的数据，对景观灯的半径进行求解。

(1)、方案1：如图2，第一小组利用测角仪在点 B 处测得边缘点 C的仰角为α（测角仪高度忽略不计)，已知景观灯的边缘AC与地面BD平行，求景观灯的半径AC的长：（用含α的代数式表示)

(2)、方案2：如图3，某一时刻，在太阳光线的照射下，第二小组测得身高FG为1.6m的小明的影长GH为1.2m，此时景观灯在地面上的影长BP为3.75m，求景观灯的半径AC的长；

(3)、方案3：如图4，第三小组在地面的点Q处放置一块平面镜。目高为1.5m（即EF=1.5m)的小亮在点 F处从平面镜中观测到景观灯边缘点C，当他走到点N处时，在平面镜中观测到景观灯另一边缘点 D，并测量得到如下三个数据：BQ=a， QF=b， FN=c。
已知∠DQB=∠MQN， ∠CQB=∠EQN，请根据方案，从以上测量得到的三个数据中选择所需要的数据，求景观灯半径AC的表达式。（结果可含字母)
我选择数据： ▲ ，
求解过程如下：

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5、在 $▱ A B C D$ 中，  BC=BD。
图1                                                                                  图2

(1)、如图1，在 CD边上求作一点 E，连接BE，使得BE 最短；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)

(2)、如图2，以BD为直径的半圆交AB于点 F， G是CD上一点，连接DF， BG，在不添加新的线的前提下，请增加一个条件：    ▲         ，使得四边形BDHF为矩形，并说明理由。

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6、 2026年被公认为“智能AI 元年”，AI产品深受欢迎。某销售公司针对市场情况，计划购进一批AI产品进行销售。据了解，购进1件A型和1件B型产品需要4万元，2件A 型和3件B型产品需要11万元。

(1)、求每件A 型和B型产品的进价分别是多少万元?

(2)、若该公司计划购买这两种型号的产品共12 件（两种型号的产品均购买)，购买总费用不超过20万元，那么该公司至少需要购进多少件A型产品?

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7、某电商在社交媒体投放广告，以促销某商品，已知该商品售价为100元/个。为了评估广告效果，该电商随机抽取了 500 名看过广告的用户和 500 名未看过广告的用户，统计了他们一周内的消费金额（单位：元)，并将它们分成以下六类：A类0元，B类100元， C类200元， D类300元， E类400元， F类500元，进行了如下分析。

(1)、【整理数据】
补全条形统计图，扇形统计图中m= ▲ ；

(2)、【分析数据】
下表中a= ， b=；

消费金额的平均数
消费金额的中位数
消费金额的众数
看过广告组
186
200
a
未看过广告组
117
b
0

(3)、【判断决策】
电商是否有必要继续投放该商品的广告?请你根据上述数据，做出判断并说明理由。

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8、先化简，再求值： $\frac{a + 1}{a} \cdot \frac{a^{2} + a}{a^{2} - 1} - \frac{a}{a - 1},$ 其中a=2。

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9、计算： ${(2026 - π)}^{0} + ∣ - 2 ∣ + \sqrt{4} - 4 s i n 3 0^{\circ} 。$

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10、如图，在Rt△ABC中， ∠BAC=90°， AD为斜边上的中线， BE⊥AD于点E。若AE=2， $A C = \sqrt{3} B E,$ 则△ACD 的面积为。

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11、排箫的发声频率f和音管长度L之间的关系为 $f = \frac{c}{L},$ 其中c为常数。已知自然大调各音阶的频率 fn与半音数n之间的关系如下表所示，其中 $q^{6} = \sqrt{2},$ 则音阶 xi对应的音管长度是音阶 fa对应的音管长度的倍。
音阶
do
re
mi
fa
so
la
xi
do'
半音数n
0
2
4
5
7
9
11
12
频率 $f ₙ = f_{0} \cdot q ⁿ$
f₀
f₀·q²
f₀·q⁴
f₀·q⁵
f₀·q⁷
f₀·q⁹
f₀·q¹¹
f₀·q¹²

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12、如图，已知正方形ABCD的边长为 $\sqrt{2}$ ，对角线AC，BD交于点O，将△ABO向右平移得到△DCE，则四边形CEDO的周长为。

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13、老师制作了10个完全相同的香囊（除香料外)，其中艾草香囊3个，薰衣草香囊5个，桂花香囊2个。小明将它们混合放在一个不透明的袋子里，从中随机拿出1个香囊，则他拿到艾草香囊的概率为。

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14、写出不等式x-3>0的一个整数解：。（写出一个即可)

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15、在某校组织的研学活动中，有中巴和大巴两种车型可供租用，相关租车信息如图所示。设中巴每辆租金为x元，大巴每辆租金为y元，根据信息，下列所列方程（组)中，正确的是（）

A、5（x+180)+4x=7200 B、 $\frac{7200}{x} - \frac{7200}{x + 180} = 2$ C、 ${\begin{matrix} x - y = 180 \\ 5 x + 4 y = 7200 \end{matrix}$ D、 $\frac{7200}{y} - \frac{7200}{y - 180} = 2$

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16、在平面直角坐标系xOy中，已知A（4， 0)， B（0， 4)，点C是直线y=2x在第一象限内的图象上一个动点，连接AC，BC，记△OAC的面积为S₁ ， △OBC的面积为S₂ ，则 $\frac{S_{1}}{S_{2}}$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、1 C、 $\frac{3}{2}$ D、2

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17、如图，城市道路上的“人行横道预告标线”为白色菱形图案。根据国家标准《道路交通标志和标线》的规定，菱形的标准尺寸是：横向宽度AC为1.5m，纵向长度BD为3m，则菱形ABCD的边长是（）

A、 $\frac{3 \sqrt{5}}{2} m$ B、 $\frac{3 \sqrt{5}}{4} m$ C、 $\frac{3 \sqrt{3}}{4} m$ D、 $3 \sqrt{5} m$

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18、如图，从家用双面人字梯抽象出的四边形ABCD中， ∠ADC=∠DAB=∠DCB=35°，则∠ABC的大小为（）

A、70° B、90° C、105° D、140°

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19、如图，一块玻璃破损成三块，通过测量图中哪组角的大小可以判断a∥b（）

A、∠1=110°， ∠2=70° B、∠1=110°， ∠4=110° C、∠2=70°， ∠3=70° D、∠1=110°， ∠3=70°

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20、下列计算正确的是（）

A、 $a^{2} \cdot a^{3} = a^{6}$ B、 ${(a^{3})}^{2} = a^{5}$ C、 ${(3 a)}^{2} = 6 a^{2}$ D、 $6 a^{2} \div a = 6 a$

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	消费金额的平均数	消费金额的中位数	消费金额的众数
看过广告组	186	200	a
未看过广告组	117	b	0

音阶	do	re	mi	fa	so	la	xi	do'
半音数n	0	2	4	5	7	9	11	12
频率 $f ₙ = f_{0} \cdot q ⁿ$	f₀	f₀·q²	f₀·q⁴	f₀·q⁵	f₀·q⁷	f₀·q⁹	f₀·q¹¹	f₀·q¹²