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1、观察下列两个等式： $2 - \frac{1}{3} = 2 \times \frac{1}{3} + 1$ ， $5 - \frac{2}{3} = 5 \times \frac{2}{3} + 1$ ．给出定义如下：我们称使等式 $a - b = a b + 1$ 成立的一对有理数“ $a$ ， $b$ ”为“共生有理数对”，记为 $(a, b)$ ，如数对 $(2, \frac{1}{3})$ ， $(5, \frac{2}{3})$ 都是“共生有理数对”．

(1)、判断数对 $(1, 2)$ 是不是“共生有理数对”，并写出计算过程．

(2)、如果 $(m, n)$ 是“共生有理数对”，且 $m - n = 4$ ，求 $- 5 m n$ 的值．

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2、如图，正方形 $A B C D$ 的边长为 $a$ ．

(1)、根据图中数据，用含 $a$ ， $b$ 的代数式表示阴影部分的面积 $S$ ；

(2)、当 $a = 6$ ， $b = 2$ 时，求阴影部分的面积．

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3、请用简便运算

(1)、 $3 \frac{1}{6} + (- 5 \frac{1}{7}) + (- 2 \frac{1}{6}) + (- 4 \frac{6}{7})$ ；

(2)、 $99 \frac{17}{18} \times (- 9)$ ．

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4、数轴上画出表示下列各数的点： $- 2.5$ ， $- 1^{2}$ ， $|- 2|$ ， $- (- 3)$ ，并用“＜”连接起来．

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5、如图，阶梯图的每个台阶上都标着一个数，从下到上的第1个至第4个台阶上依次标着 $- 5$ ， $- 2$ ， $1$ ， $9$ ，且任意相邻四个台阶上的数和都相等．那么，从下到上前 $2025$ 个台阶上的数的和是．

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6、若长方形的长和宽分别为 $a$ ， $b$ ，周长为 $16$ ，面积为 $15$ ，则代数式 $- a b + 2 a + 2 b$ 的值为．

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7、已知 $|x| = 6$ ， $|y| = 3$ ，且 $x > y$ ，则 $2 x + y$ 的值为．

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8、定义运算“#”： $a # b = a + (- b)$ ，那么 $- 3 # 5 =$ ．

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9、为了求 $1 + 2 + 2^{2} + 2^{3} + \dots + 2^{2016}$ 的值，可令 $S = 1 + 2 + 2^{2} + 2^{3} + \dots + 2^{2016}$ ，则 $2 S = 2 + 2^{2} + 2^{3} + \dots + 2^{2017}$ ，因此 $2 S - S = 2^{2017} - 1$ ，所以 $1 + 2 + 2^{2} + 2^{3} + \dots + 2^{2016} = 2^{2017} - 1$ ，请仿照以上推理计算出 $1 + 4 + 4^{2} + 4^{3} + \dots + 4^{2025}$ 的值（）

A、 $\frac{4^{2026} - 1}{3}$ B、 $\frac{4^{2025} - 1}{3}$ C、 $\frac{4^{2026} - 1}{4}$ D、 $\frac{4^{2026} + 1}{4}$

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10、已知 $n = 4$ ，且 ${(x - 5)}^{2} + |y - 2 n| = 0$ ，求 $x - y + 8$ 的值（）

A、0 B、5 C、2 D、3

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11、【定义新知】我们知道：式子 $|x - 3|$ 的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数3的点之间的距离，因此，若点 $A$ 、 $B$ 在数轴上分别表示有理数 $a$ 、 $b$ ，则 $A$ 、 $B$ 两点之间的距离 $A B = |a - b|$ ．若点 $P$ 表示的数为 $x$ ，请根据数轴解决以下问题：

(1)、式子 $|x + 2|$ 在数轴上的几何意义是______，当 $|x + 2| = 3$ 时，则 $x =$ ______；

(2)、当 $|x + 2| + |x - 3| = 7$ ，则 $x$ 的值为______；

(3)、当 $x =$ ______时， $|x + 1| + |x + 6| + |x - 2|$ 的值最小，最小值为______；

(4)、拓展应用：
试求出 $|x - 101| + |x - 100| + |x - 99| + \cdot \cdot \cdot + |x - 2| + |x - 1| + |x| + |x + 1| + |x + 2| + \cdot \cdot \cdot + |x + 98| + |x + 99| + |x + 100|$ 取得最小值时， $x$ 应满足的条件是什么？其最小值为多少？

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12、我们把从1开始到 $n$ 的 $n$ 个连续自然数的立方和记作 $S_{n}$ ，那么有：
$S_{1} = 1^{3} = {[\frac{1 \times (1 + 1)}{2}]}^{2}$ ， $S_{2} = 1^{3} + 2^{3} = {[\frac{2 \times (1 + 2)}{2}]}^{2}$ ， $S_{3} = 1^{3} + 2^{3} + 3^{3} = {[\frac{3 \times (1 + 3)}{2}]}^{2}$ ， …
观察上面式子的规律，完成下面各题：

(1)、根据规律，直接写出 $1^{3} + 2^{3} + 3^{3} + 4^{3} + 5^{3} = {[]}^{2} =$ ；

(2)、猜想： $S_{n} =$ ______（用n表示）；

(3)、根据规律，求 $6^{3} + 7^{3} + 8^{3} + 9^{3} + 10^{3} + 11^{3} + 12^{3} + 13^{3} + 14^{3} + 15^{3}$ 的值．

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13、如图，已知长方形 $A B C D$ 的宽 $A B = a$ ，两个空白处分别是以 $A$ ， $D$ 为圆心，半径为 $a$ ， $b$ 的四分之一圆．

(1)、用含字母的式子表示阴影部分的面积（用含有 $a$ ， $b$ ， $π$ 的式子表示）；

(2)、当 $a = 4$ ， $b = 1$ 时，求阴影部分的面积（ $π$ 取 $3.14$ ，结果精确到十分位）．

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14、学了有理数的运算后，宋老师给同学们出了如下两道题．
计算：
① $(- \frac{6}{5}) \times (- \frac{2}{3}) + (- \frac{6}{5}) \times \frac{17}{3}$ ；
② $9 \frac{7}{9} \times (- 9)$ ．
下面是文文和园园的计算过程．
文文：
$(- \frac{6}{5}) \times (- \frac{2}{3}) + (- \frac{6}{5}) \times \frac{17}{3}$
$= \frac{4}{5} - \frac{34}{5}$
$= - 6$ ．
园园：
$9 \frac{7}{9} \times (- 9)$
$= 9 \times \frac{7}{9} \times (- 9)$
$= - 63$ ．

(1)、文文的解答过程正确但不够简便，请用简便方法计算．

(2)、园园的解答过程中是否有错误，如果有，请改正并写出正确的计算过程．

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15、把下列各数填入相应的集合里：
$- 7 \frac{1}{2}$ ， $- 10 %$ ， $\frac{3}{101}$ ， $+ 2$ ， $0$ ， $3.14$ ， $|- 2025|$ ， $- 1$ ， $1. \dot{1}$

(1)、负有理数集合：｛       …｝；

(2)、正分数集合：｛       …｝；

(3)、非负整数集合：｛       …｝．

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16、画出数轴，在数轴上表示下列各数，并用“＜”号连接起来：
$- 1 \frac{1}{2}$ ， $0.5$ ， $- (- 3)$ ， $- |- 4|$ ， $3.5$ ．

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17、计算题： $3^{2} - 6 \times (- \frac{1}{2}) + {(- 2)}^{3} \div 8$ ．

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18、规定一种运算符号“ $Δ$ ”的法则为： $a Δ b = \{\begin{cases} a^{2} - a b, a \geq b \\ b^{2} + a b, a < b \end{cases}$ ，则 $(- 2) Δ (4 Δ 2)$ 的值．

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19、已知 $a + 1$ 与 $b - 3$ 互为相反数，那么 $a + b =$ ．

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20、计算： $3 \div 2 \times (- \frac{1}{2}) =$ ．

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