相关试卷

1、你能化简 $(x - 1) (x^{99} + x^{98} + \cdot \cdot \cdot + \cdot \cdot \cdot + x + 1)$ 吗？遇到这样的复杂问题时，我们可以先从简单的情形入手，找出规律，归纳出一些方法来解决问题．

(1)、分别化简下列各式：
$(x - 1) (x + 1) =$ ______；
$(x - 1) (x^{2} + x + 1) =$ ______；
$(x - 1) (x^{3} + x^{2} + x + 1) =$ ______；
…
$(x - 1) (x^{99} + x^{98} + \cdot \cdot \cdot + x + 1) =$ ______．

(2)、请你利用上面的结论计算： $2^{2025} + 2^{2024} + \cdot \cdot \cdot + 2 + 1$ ．

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2、图1是生活中常见的一种折叠道闸，它是由转动杆和水平杆两节组成．图2是由这种折叠道闸抽象出来的几何图形，其中 $B C$ 为转动杆， $C D$ 为水平杆，当转动杆 $B C$ 转动时， $C D$ 杆始终保持水平，即 $C D ∥ A E$ ．已知 $B A ⊥ A E$ ．

(1)、如图3，当转动杆 $B C$ 转动到 $B, C^{'}, D^{'}$ 三点在同一条直线上时， $B D^{'} ∥ A E$ ．若 $∠ B C D = 140 °$ ，求 $∠ C B C^{'}$ 的大小；
阅读下面的解答过程，并填空（理由或数学式）．
$∵ C D ∥ A E, B D^{'} ∥ A E$ （已知），
$∴ C D ∥$ （________）（如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行），
$∴ ∠ B C D +$ （________） $= 180 °$ （________）．
$∴ ∠ C B C^{'} = 180 ° - ∠ B C D = 180 ° - 140 ° = 40 °$ ．

(2)、如图2，在转动杆 $B C$ 转动过程中， $∠ A B C + ∠ B C D$ 的大小是否发生改变？若变化，请说明理由；若不变，请求出它的大小．

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3、“整体思想”在数学中应用极为广泛．
例如：已知 $a^{2} - 2 = - 3 b$ ，求 $2 a^{2} + 6 b - 7$ 的值．
解：∵ $a^{2} - 2 = - 3 b$ ，
∴ $a^{2} + 3 b = 2$
∴ $2 a^{2} + 6 b - 7 = 2 (a^{2} + 3 b) - 7 = 2 \times 2 - 7 = - 3$ ．
请尝试应用“整体思想”解决以下问题：

(1)、已知 $x^{2} - 2 y - 3 = 0$ ，求 $3 x^{2} - 6 y + 1$ 的值；

(2)、已知 $a^{2} + 2 a - 8 = 0$ ，求 $a {(a + 2)}^{2} - a (a - 3) (a - 1) + 3 (5 a - 2)$ 的值．

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4、周末，某文具店进行促销活动，有一个可以自由转动的转盘（如图）．规定：顾客购物100元以上可以获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一个区域就获得相应的奖品．下表是活动进行中的统计数据：
转动转盘的次数n
100
200
300
400
500
600
落在“矿泉水”的次数m
68
144
207

414
落在“矿泉水”的频率 $\frac{m}{n}$
$0.68$
$0.72$

$0.71$
$0.70$

(1)、补全表格；

(2)、估计转动该转盘一次，获得钢笔的概率．（结果保留一位小数）

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5、计算： ${(- 1)}^{2026} + {(\frac{1}{3})}^{- 2} - {(π - 1)}^{0} + |- 2|$ ．

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6、已知 $a - b = 6$ ， $a b = - 4$ ，则 $(2 + a) (2 - b) =$ ．

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7、若 $∠ 1 = 37 ° 1 8^{'}$ ，则 $∠ 1$ 的补角度数为．

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8、如图所示，两个正方形的泳池，面积分别是 $S_{1}$ 和 $S_{2}$ ，两个泳池的面积之和 $S_{1} + S_{2} = 36$ ，点 $B$ 是线段 $C G$ 上一点，设 $C G = 8$ ，在阴影部分铺上防滑瓷砖，则所需防滑瓷砖的面积为（）

A、6 B、7 C、8 D、9

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9、甲、乙两位同学在一次试验中统计了某一结果出现的频率，给出的统计图如图所示，则符合这一结果的试验可能是（　　）

A、掷一枚正六面体的骰子，出现6点的概率 B、掷一枚硬币，出现正面朝上的概率 C、任意写出一个整数，能被2整除的概率 D、一个袋子中装着只有颜色不同其他都相同的2个红球和1个黄球，从中任意取出一个球是黄球的概率

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10、已知 $a = 2^{- 2}, b = {(- \frac{1}{2})}^{0}, c = 2^{2}$ ，则下列关于 $a, b, c$ 的大小关系中正确的是（）

A、 $c > a > b$ B、 $a > b > c$ C、 $c > b > a$ D、 $b > a > c$

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11、有八张完全相同的直角三角形纸片，如图1所示，其边长分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $a < b < c$ ．现将其中四张纸片拼得如图2所示的正方形 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 和正方形 $A_{2} B_{2} C_{2} D_{2}$ ．

(1)、正方形 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的边长为_________．

(2)、请你用两种不同的方法表示正方形 $A_{2} B_{2} C_{2} D_{2}$ 面积，并写出 $a^{2}$ ， $b^{2}$ ， $c^{2}$ 之间的数量关系．

(3)、若将剩余的四张纸片按图3的方式拼在图2外围，可得正方形 $A_{3} B_{3} C_{3} D_{3}$ ．若正方形 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的面积为49，正方形 $A_{3} B_{3} C_{3} D_{3}$ 的面积为289，求正方形 $A_{2} B_{2} C_{2} D_{2}$ 的面积．

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12、若一个两位数 $t$ 满足其十位数字小于个位数字，则称这个两位数为“逐增数”，将“逐增数” $t$ 的个位数字与十位数字的差放在 $t$ 的前面得到的三位数记为 $t_{1}$ ，将 $t$ 的个位数字与十位数字的差放在 $t$ 的后面得到的三位数记为 $t_{2}$ ， $F (t) = \frac{t_{1} - t_{2}}{9}$ ，如：当 $t = 25$ 时， $t_{1} = 325$ ， $t_{2} = 253$ ， $F (t) = \frac{325 - 253}{9} = 8$ ，若m为最大的“逐增数”，则 $F (m) =$ ，已知 $x = 10 a + b$ ， $y = 10 b + c$ ( $a$ ， $b$ ， $c$ 为整数且 $1 \leq a$ ， $b$ ， $c \leq 9$ )， $x$ ， $y$ 均为“逐增数”且满足 $\frac{F (x) + F (y) + x + y}{11}$ 为完全平方数，则 $x + y$ 的最大值与最小值之差为．

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13、已知 $x^{m} = 2$ ， $x^{n} = 5$ ，则 $x^{3 m - n}$ 的值为．

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14、如图，一艘船从点 $A$ 出发，沿东北方向航行至点 $B$ ，再从点 $B$ 出发沿南偏东 $15 °$ 方向航行至点 $C$ ，则 $∠ A B C =$ $°$ ．

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15、已知：如图，点 $A$ ， $D$ ， $C$ 在同一条直线上， $A B ∥ D E$ ， $A B = A D$ ， $A C = D E$ ，

(1)、求证： $∠ C = ∠ E$ ；

(2)、若 $A B = 3$ ， $D E = 5$ ，求 $C D$ 的长．

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16、填空：（请补全下列证明过程及括号内的推理依据）
已知：如图， $∠ A = ∠ D$ ， $∠ B = ∠ C$ ．求证： $∠ 1 = ∠ 2$ ．
证明：∵ $∠ B = ∠ C$ （已知），
∴ $A B ∥ C D$ （______）．
∴ $∠ D = ∠$ ______（______）．
∵ $∠ A = ∠ D$ （已知），
∴ $∠ A = ∠ 4$ （等量代换）
$∴ A H ∥$ ______（______）．
∴ $∠ 1 = ∠$ ______（______）．
∵ $∠ 2 = ∠ 3$ （______），
∴ $∠ 1 = ∠ 2$ （等量代换）．

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17、先化简，再求值： $[{(2 x - y)}^{2} + (2 x - y) (y + 2 x) - 2 x (x - 3 y)] \div 2 x$ ，其中 $x = 2 ， y = - 1$ ．

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18、计算：

(1)、 $- 1^{2024} - |- 3| + {(\frac{1}{3})}^{- 2} + {(π - 3.14)}^{0}$ ；

(2)、 $a^{3} \cdot a^{5} + {(a^{2})}^{4} + {(- 2 a^{4})}^{2}$

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19、如图，点D在 $△ A B C$ 边 $A B$ 的延长线上，且 $A B = B D$ ．以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交 $△ A B C$ 边 $A C$ ， $A B$ 于点M，N；再以点D为圆心，以 $A N$ 长为半径画弧，交 $A D$ 于点 $N^{'}$ ；再以点 $N^{'}$ 为圆心，以 $M N$ 长为半径画弧交前弧于点 $M^{'}$ ，作射线 $D M^{'}$ ．已知点E为射线 $D M^{'}$ 上一点，连接 $B E$ ，请你添加一个条件，使 $△ A B C ≌ △ D B E$ ．（写出一个条件即可）

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20、若代数式x²+3x+5可以表示为（x+1）²+a（x+1）+3的形式，则a＝．

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转动转盘的次数n	100	200	300	400	500	600
落在“矿泉水”的次数m	68	144	207			414
落在“矿泉水”的频率 $\frac{m}{n}$	$0.68$	$0.72$		$0.71$	$0.70$