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1、对于平面直角坐标系 xOy 中的图形 M，N，给出如下定义：P 为图形 M 上任意一点，Q为图形 N 上任意一点，如果 P，Q 两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形 M， N 间的“距离”，记作 d（M，N）．特别地，当图形 M，N 有公共点时，记做 d（M，N）＝0．一次函数 y＝kx+2 的图象为 L，L 与 y 轴的交点为 D，在△ABC 中，A（0，1），B（-1，0），C（1，0）．

(1)、d（D，△ABC）＝，

(2)、将函数 y＝x+b 的图象记为 W，若 d（W，△ABC）≤1，则 b 的取值范围为．

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2、如图， $A_{1}$ ， $B_{1}$ ， $C_{1}$ ， $D_{1}$ 分别是四边形 ABCD 各边的中点，且 $A C ⊥ B D$ ， $A C = 6$ ， $B D = 10$ . 依次取 $A_{1} B_{1}$ ， $B_{1} C_{1}$ ， $C_{1} D_{1}$ ， $D_{1} A_{1}$ 的中点 $A_{2}$ ， $B_{2}$ ， $C_{2}$ ， $D_{2}$ ，再依次取 $A_{2} B_{2}$ ， $B_{2} C_{2}$ ， $C_{2} D_{2}$ ， $D_{2} A_{2}$ 的中点 $A_{3}$ ， $B_{3}$ ， $C_{3}$ ， $D_{3}$ ...以此类推取 $A_{n - 1} B_{n - 1}$ ， $B_{n - 1} C_{n - 1}$ ， $C_{n - 1} D_{n - 1}$ ， $D_{n - 1} A_{n - 1}$ 的中点 $A_{n}$ ， $B_{n}$ ， $C_{n}$ ， $D_{n}$ ，若四边形 $A_{n} B_{n} C_{n} D_{n}$ 的面积为 $\frac{15}{32}$ ，则 n 的值为.

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3、如图，在四边形 ABCD 中，BC＝20cm，AD＝12cm，AD∥BC．点 P，Q 分别从 A，C 同时出发，点 P 以 2cm/s 的速度沿射线 AD 运动，点 Q 以 1cm/s 的速度由点 C 向点 B 运动，当点 Q 运动到点 B 时，两点均停止运动，设运动时间为 t，当 t＝时，以 P、 Q、C、D 为顶点的四边形是平行四边形．

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4、某函数的图象如图所示，要使函数值 y＜0，则自变量 x 的取值范围是．

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5、如图是跷跷板示意图，支柱 OM 经过 AB 的中点 O，OM 与地面 CD 垂直于点 M，OM＝30cm，当跷跷板的一端 A 着地时，另一端 B 离地面的高度为cm．

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6、 2026年总台马年春晚吉祥物为“骐骐”“骥骥”“驰驰”“骋骋”四匹骏马．如图是马的小篆字体，将其放在平面直角坐标系中， A，B 两点的坐标分别为（2，1），（-1，2），则点 C 的坐标为．

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7、已知一组数据的方差 $s^{2} = \frac{1}{6} [(x_{1} - \bar{x})^{2} + (x_{2} - \bar{x})^{2} + ⋯ + (x_{6} - \bar{x})^{2}] = 20$ ，则这组数据的离差平方和 $S^{2}$ 的值是 .

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8、正比例函数 y＝ax 与一次函数 y＝ax+2a 在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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9、检查一个门框（已知两组对边分别相等）是不是矩形，可用的方法是（）

A、测量两条对角线是否相等 B、测量门框的一组邻边是否相等 C、测量两条对角线是否互相平分 D、用曲尺测量两条对角线是否互相垂直

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10、如图，在正方形 ABCD 外侧作等边△CDE，则∠DAE 的度数为（）

A、5° B、20° C、25° D、30°

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11、九年级某小组的 8 名同学每分钟跳绳的个数分别为 165，182，136，112，145，171，155，93．这组数据的第一四分位数是（）

A、102.5 B、168 C、124 D、150

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12、已知 A（-5，3），B（-5，-3），则（）

A、AB∥x 轴 B、AB∥y 轴 C、AB经过原点 D、AB⊥y轴

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13、龟背纹是中国传统经典的几何装饰纹样．如图是丝绸上设计的正六边形龟背纹图案，则它的一个内角的度数为（）

A、0° B、150° C、30° D、120°

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14、如图，“云形”盖住的点的坐标可以是（）

A、（6，6） B、（-6，6） C、（-6，-6） D、（6，-6）

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15、数学符号能使数学语言在形式上一目了然、简明准确，它为表述和论证数学理论带来了极大的便利．下列数学符号是中心对称图形的是（）

A、∵ B、⊥ C、∽ D、＞

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16、如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知平行四边形 $O A B C$ 的顶点 $O$ 为坐标原点，顶点 $A$ 在 $x$ 轴的正半轴上， $B$ ， $C$ 在第一象限内， $P (0, - 2)$ ，且 $O A = 8$ ， $O C = 4 \sqrt{2}$ ， $∠ A O C = 45 °$ ．

(1)、顶点 $C$ 的坐标为，顶点 $B$ 的坐标为；

(2)、如图2，若直线 $l : y = k x + b$ 过点 $P$ ，且把平行四边形 $O A B C$ 的面积分成 $1 : 3$ 两部分，求直线 $l$ 的函数表达式；

(3)、如图3，设对角线 $A C$ ， $O B$ 交于点 $E$ ，在 $x$ 轴上，有一个长为 $2$ 个单位长度的可以左右平移的线段 $M N$ ，点 $M$ 在点 $N$ 的左侧，连接 $P M$ ， $E N$ ，则 $P M + E N$ 的最小值为．

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17、综合与实践：设计商品最优定价方案
【素材】某经销商计划销售一款新的枕头，根据试售统计，若每个枕头的售价定为50元时，每月可销售100个；若每个枕头的售价每降价1元，则每月可多销售10个，每个枕头的进价为20元，假设枕头全部售完（销售量 $=$ 进货量），设每个枕头降价 $x$ 元（ $x$ 为整数），回答下列问题：
【问题】

(1)、任务1：一个枕头的实际售价为（用含 $x$ 的代数式表示）元，枕头的销售量为（用含 $x$ 的代数式表示）个；

(2)、任务2：若经销商计划进货不超过200个，能否让每月利润达到3750元？若能，请求出此时枕头的售价；反之，请说明理由．

(3)、任务3：根据试售数据，若该经销商想让每月利润达到最大值，求此时枕头的售价．

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18、已知 $△ A B C$ 的一条边 $B C$ 的长为5，另两边 $A B$ 、 $A C$ 的长是关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - (2 k + 3) x + k^{2} + 3 k + 2 = 0$ 的两个实数根．

(1)、求证：无论 $k$ 为何值，方程总有两个不相等的实数根；

(2)、当 $k$ 为何值时， $△ A B C$ 为直角三角形，并求出 $△ A B C$ 的面积．

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19、如图，在 $▱ A B C D$ 中， $B D$ 是对角线，作 $A E ⊥ B D$ 于点E， $C F ⊥ B D$ 于点F．

(1)、求证： $△ A D E ≌ △ C B F$ ；

(2)、若 $C F = E D$ ， $C F = 6$ ， $D F = 2$ 时，求 $▱ A B C D$ 的周长．

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20、我市某中学举办“网络安全知识答题竞赛”，初、高中部根据初赛成绩各选出5名选手组成初中代表队和高中代表队参加学校决赛，两个队各选出的5名选手的决赛成绩如图所示．

平均数（分）
中位数（分）
众数（分）
方差（分2）
初中部
c
8.5
b
$S_{初中}^{2}$
高中部
8.5
a
8.5
1.6

(1)、根据图示计算出 $a =$ ， $b =$ ， $c =$ ；

(2)、计算初中代表队决赛成绩的方差 $S_{初中}^{2}$ 并判断哪一个代表队成绩较为稳定．

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	平均数（分）	中位数（分）	众数（分）	方差（分2）
初中部	c	8.5	b	$S_{初中}^{2}$
高中部	8.5	a	8.5	1.6