相关试卷

1、求圆的面积是历史悠久的数学课题之一，在很多古代数学文献中都有记载，如公元 $3$ 世纪，中国数学家刘徽利用割圆术证明了圆的面积等于半周长与半径之积； $17$ 世纪，德国数学家开普勒也利用无穷分割圆的方法，将圆转化为直角边长分别等于圆周长和半径的直角三角形，如图所示，将 $⊙O$ 的面积转化为 $R t △ O D C$ 的面积，其中 $S_{扇形AOB} = S_{△OMN}$ ．在 $R t △ O D C$ 中， $CD$ 等于 $⊙O$ 周长， $O D$ 等于 $⊙O$ 半径，若 $CD=4π$ ， $MN= \frac{2}{9} π$ ，则扇形 $A O B$ 的圆心角等于度．

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2、如图，矩形纸片 $ABCD$ 的边 $B C$ 上有一点 $E$ ，将纸片沿 $A E$ 折叠，点 $B$ 落在点 $B^{'}$ ．若 $∠CE B^{'} =60°$ ， $AB=3cm$ ，则点 $B^{'}$ 到 $A D$ 的距离等于 $cm$ ．

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3、已知 $m$ 是一元二次方程 $x^{2} + 2 x - 3 = 0$ 的一个根，则代数式 $2 m^{2} +4m$ 的值是．

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4、若代数式 $\frac{\sqrt{x+1}}{x}$ 在实数范围内有意义，则实数 $x$ 的值可以是．（请写出一个符合条件的值即可）

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5、因式分解： $5 a^{2} b+10a b^{2} =$ ．

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6、如图 $1$ ，在菱形 $A B C D$ 中，对角线 $A C$ 与 $BD$ 交于点 $O$ ，动点 $M$ 从点 $O$ 出发，沿 $OC→CD$ 匀速运动至点 $D$ 时停止．设点 $M$ 的运动路程为 $x$ ， $AM$ 的长度为 $y$ ， $y$ 与 $x$ 的函数图象如图 $2$ 所示，在点 $M$ 的运动过程中，当 $AM⊥CD$ 时， $AM$ 的长度是（）

A、 $3 \sqrt{5}$ B、 $6$ C、 $4 \sqrt{2}$ D、 $3 \sqrt{3}$

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7、甘肃省是“一带一路”沿线上重要的节点省份，特色农产品正借势加速走向世界．兰州海关数据显示， $2026$ 年第一季度甘肃省农产品出口呈增长趋势，其中天水花牛苹果汁和陇南黄芪出口总额为 $3.4$ 亿元，苹果汁出口额比黄芪出口额的 $2$ 倍少 $0.4$ 亿元．设苹果汁和黄芪的出口额分别为 $x$ 亿元、 $y$ 亿元，则可列二元一次方程组为（）

A、 $\{\begin{matrix} x + y = 3.4 \\ x = 2 y + 0.4 \end{matrix}$ B、 $\{\begin{matrix} x + y = 3.4 \\ y = 2 x + 0.4 \end{matrix}$ C、 $\{\begin{matrix} x + y = 3.4 \\ y = 2 x − 0.4 \end{matrix}$ D、 $\{\begin{matrix} x + y = 3.4 \\ x = 2 y − 0.4 \end{matrix}$

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8、如图， $△ABC$ 内接于 $⊙O$ ， $CD$ 是 $⊙O$ 的直径， $A B$ 与 $CD$ 交于点 $P$ ．若 $∠ A B C = 60 °$ ， $∠ACB=50°$ ，则 $∠BPC=$ （）

A、 $95 °$ B、 $100°$ C、 $105 °$ D、 $110°$

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9、随着人工智能的快速发展，越来越多的学生使用 $A I$ 辅助学习．小凯记录了自己连续八周每周使用 $A I$ 辅助学习的时间（单位：分钟），并绘制了如图所示的折线统计图．根据统计图，下列关于小凯这八周使用 $A I$ 辅助学习时间的描述，错误的是（）

A、众数是127分钟 B、平均数是133分钟 C、中位数是132分钟 D、总时间是1064分钟

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10、如图，四边形 $A B C D$ 与四边形A^'B^'C^'D^'是以原点 $O$ 为位似中心的位似图形．若B^'（2.0）， B（4，0），A^'B^'= $\sqrt{5}$ ，则AB=（）

A、3 B、 $2 \sqrt{5}$ C、 $4$ D、 $3 \sqrt{5}$

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11、如图，直线 $a$ ， $b$ 及木条 $c$ 在同一平面内，将木条 $c$ 绕点 $O$ 顺时针旋转到与直线 $a$ 垂直时，其旋转角的最小度数是（）

A、 $60 °$ B、 $50°$ C、 $40°$ D、 $30 °$

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12、计算： $\frac{b}{a} － \frac{a+2b}{2a} =$ （）

A、 $\frac{b}{2a}$ B、 $\frac{4b−a}{2a}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、﹣ $\frac{1}{2}$

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13、截至 $2026$ 年初，甘肃省光热发电装机容量已达 $620000$ 千瓦，其规模居全国首位，为推动我国新能源高质量的发展做出了贡献．数据 $620000$ 用科学记数法表示为（）

A、 $0.62 × 10^{6}$ B、 $6.2 × 10^{5}$ C、 $6.2 × 10^{4}$ D、 $62.0 × 10^{4}$

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14、某几何体的三视图如图所示，该几何体为（）

A、 B、 C、 D、

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15、将一个二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 与一个一次函数y=mx-n求和，可以得到一个新的二次函数 $y = a x^{2} + (b + m) x + (c + n),$ 我们将这种得到新二次函数的方法叫做二次函数对一次函数的“吸收”.“吸收”得到的新二次函数叫做“吸收函数”.

(1)、若二次函数 $y = x^{2}$ 对一次函数y=mx+n“吸收”，所得“吸收函数”的图像与x轴的交点坐标为(-2，0)，(4，0)，求m，n的值；

(2)、已知二次函数 $y = x^{2} + 2 x - 3$ 对一次函数y=mx+n“吸收”.
①若所得“吸收函数”的最小值与 $y = x^{2} + 2 x - 3$ 的最小值相等，求 n 的取值范围；
②若所得“吸收函数”的图像顶点为M，且与一次函数y=mx+n的图像交于A，B两点.当△ABM 的面积为4时，求m的值.

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16、如图①，对某条笔直道路的三个路口的红绿灯情况进行观测发现：路口 A，C的绿灯持续时间为40秒，红灯持续时间为40秒；路口B的绿灯持续时间为30秒，红灯持续时间为30秒.各路口红绿灯随时间t(秒)的变化情况如图②所示，例如当t=10时，路口A为绿灯，路口B为红灯，路口C为绿灯.已知路口A到路口B，C的距离分别为600米和1000米.(为了研究方便，黄灯时间和路口宽度忽略不计)
请根据上述信息，解决下列问题：

(1)、甲驾驶汽车在道路上以15米/秒的速度匀速行驶，且恰好在绿灯刚亮起时(即t=0)通过A路口，请判断其是否能不停车通过B路口，并说明理由；

(2)、乙驾驶汽车在道路上以速度v(米/秒)匀速行驶，且恰好在绿灯亮起10秒时(即t=10)通过A路口，若其能在100秒前(含100秒，即t≤100)不停车连续通过B，C两个路口，求其行驶速度 v的取值范围；

(3)、对于匀速行驶的汽车，是否存在速度v(米/秒)，使得该车在0…20秒内(含0秒和20秒)任意时刻通过A路口后，都能在180秒前(含180秒，即 $t \leq 180)$ 不停车连续通过B，C两个路口.若存在，请直接写出v的取值范围；若不存在，请说明理由.
(说明：不停车通过路口是指到达路口时，路口为绿灯状态.)

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17、如图，P是以AB为直径的⊙O外一点，C为⊙O上的一点，PA是⊙O的切线，BC∥OP，D为OB 的中点，连接DP交OC于E.

(1)、求证：PC是⊙O的切线；

(2)、若OA=2，PA=4.
①求BC的长；
②求tan∠PEC的值.

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18、如图①，点O位于竖直墙面l上，平面镜AB与墙面l平行，从点O射出一束激光，经过平面镜AB的反射，在墙面l上形成一个光点C，OC所在直线垂直于水平面.入射光线OP与平面镜AB的夹角. $∠ O P A = 6 0^{\circ} .$ (根据光的反射定律可知：反射光线与镜面的夹角等于入射光线与镜面的夹角)

(1)、求证：△OPC是等边三角形；

(2)、如图②，将图①中的平面镜AB绕点P顺时针旋转 $7 . 5^{\circ}$ 到A'B'位置，入射光线OP 经过平面镜的反射后，在墙面l上形成光点E，点E在直线OC上.
①∠OPE= ▲ °；
②若OC=60厘米，求光点向下移动的距离CE的长.(结果保留根号)

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19、如图，一次函数y= ax+b的图像经过点A(-4，0)，B(0，2)，点P在一次函数的图象上，过点 P 分别作x轴和y 轴的平行线交反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k > 0, x > 0)$ 的图像于 M，N两点，连接MN.

(1)、求a，b的值；

(2)、若△PMN是腰长为3的等腰直角三角形，求点P的坐标和k的值.

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20、某校为了解八年级学生的课外阅读一周累计时长，随机抽取了该校八年级部分学生进行问卷调查，对调查所得到的数据进行整理、描述和分析，部分信息如下：
课外阅读一周累计时长统计表
组别
累计时长(单位：分)
人数
A
0<t≤60
8
B
60<t≤120
12
C
120<t≤180
25
D
180<t≤240
m
E
t>240
6
课外阅读一周累计时长扇形统计图
请根据以上信息，完成下列问题：

(1)、上述图表中，m= ， n=；

(2)、在扇形统计图中，“C组”所对应的扇形的圆心角为°；

(3)、若该校八年级学生一共有1020人，请估计该校八年级课外阅读一周累计时长超过120分钟的学生人数.

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组别	累计时长(单位：分)	人数
A	0<t≤60	8
B	60<t≤120	12
C	120<t≤180	25
D	180<t≤240	m
E	t>240	6