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1、【问题情境】如图1，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $C D ⊥ A B$ ，垂足为 $D$ ，我们可以得到如下正确结论：① $C D^{2} = A D \cdot B D$ ；② $A C^{2} = A B \cdot A D$ ；③ $B C^{2} = A B \cdot B D$ ，这些结论是由古希腊著名数学家欧几里德在《几何原本》最先提出的，我们称之为“射影定理”，又称“欧几里德定理”．

(1)、请证明“射影定理”中的结论② $A C^{2} = A B \cdot A D$ ．

(2)、【结论运用】
如图2，等腰直角 $△ A B C$ 的腰长为 $12$ ，点 $O$ 是斜边 $A C$ 的中点，点 $E$ 在 $A B$ 上，连接 $C E$ ，过点 $B$ 作 $B F ⊥ C E$ ，垂足为 $F$ ，连接 $O F$ ．
①求证： $△ C O F ∽ △ C E A$ ．
②若 $B E = 4$ ，求 $O F$ 的长．

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2、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ， $A C = 10$ ， $s i n C = \frac{4}{5}$ ．动点P从点C出发，沿 $C A$ 以每秒3个单位长度的速度向终点A匀速运动．过点P作 $C A$ 的垂线交射线 $C B$ 于点M，当点M不和点B重合时，作点M关于 $A B$ 的对称点N．设点P的运动时间为t秒 $(t > 0)$ ．

(1)、 $B C =$ ；

(2)、求 $M N$ 的长；（用含t的代数式表示）

(3)、取 $P C$ 的中点Q，连结 $M Q$ 、 $P N$ ，当点M在边 $B C$ 上，且 $M Q ∥ P N$ 时，求 $M N$ 的长．

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3、日晷是我国古代使用的一种计时仪器，某日晷底座的正面与晷面在同一平面上．如图， $⊙ O$ 表示日晷的晷面圆周，日晷底座的底边 $A B$ 在水平线 $l$ 上， $△ O A B$ 为等边三角形， $O A$ ， $O B$ 与 $⊙ O$ 分别交于 $P$ ， $Q$ 两点，点 $C$ ， $D$ 是 $⊙ O$ 上两点， $C D ∥ A B$ ，过 $O$ 作 $O E ⊥ A B$ 于点 $E$ ，交 $C D$ 于点 $F$ ，交 $⊙ O$ 于点 $M$ ．已知 $C D = 60 \sqrt{3} c m$ ， $O F = 30 c m$ ， $M E = 20 c m$ ．

(1)、求 $⊙ O$ 的半径；

(2)、求图中阴影部分的面积．（结果保留π）

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4、如图，港珠澳大桥是粤港澳大湾区的标志性工程，是世界上最长的跨海大桥．被誉为“当代桥梁建设的巅峰之作”．某初三学生为了测量该主塔的高度，站在 $B$ 处看塔顶 $A$ ，仰角为 $6 0^{∘}$ ，然后向后走160米（ $B C = 160$ 米），到达 $C$ 处，此时看塔顶 $A$ ，仰角为 $3 0^{∘}$ ，求该主塔的高度．

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5、计算： $s i n^{2} 45 ° - \sqrt{27} + \frac{1}{2} {(\sqrt{3} - 2006)}^{0} + 6 t a n 30 °$ ．

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6、如图，四边形 $A B C D$ ， $A B ∥ D C$ ， $C B ⊥ A B$ ， $A B = 8 c m$ ， $B C = 3 c m$ ， $t a n A = \frac{3}{4}$ ，动点 $Q$ 从点 $D$ 开始沿 $D A$ 的方向向点 $A$ 匀速运动，运动速度为 $1 c m / s$ ，动点 $P$ 从点 $A$ 开始沿 $A B$ 的方向向点 $B$ 匀速运动，运动速度为 $2 c m / s$ ．点 $P$ 和点 $Q$ 同时出发．
⑴当 $P Q ∥ B D$ 时， $t$ 的值为；
⑵当 $P Q ⊥ B D$ 时， $t$ 的值为；

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7、如图，四边形 $A B C D$ 是正方形，点O为对角线 $A C$ 的中点，点E为射线 $B C$ 上一点，连接 $O E$ ，将 $O E$ 绕点O顺时针方向旋转 $90 °$ ，得到 $O F$ 交 $B C$ 于点M．若 $A B = 6 \sqrt{5}$ ， $O E = 15$ ，则 $B M$ 的长为．

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8、如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $∠ A = 30 °$ ， $B C = 2$ ，将 $△ A B C$ 绕点C旋转得到 $△ D E C$ ，当点D恰好落在射线 $A B$ 上时， $A D$ 的长为．

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9、如图，菱形 $A B C D$ 的对角线 $A C$ 、 $B D$ 相交于点 $O$ ， $E$ 为 $A D$ 的中点， $A C = 4$ ， $O E = 3$ ，那么 $s i n ∠ E O D =$ .

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10、如图，在平面直角坐标系中，O为原点， $△ O A B$ 是直角三角形， $A (4, 0)$ ， $∠ A O B = 90 °$ ， $∠ A B O = 30 °$ ，点B在y轴正半轴，等边 $△ O C D$ 的顶点 $D (- 4, 0)$ ，点C在第二象限，将 $△ O C D$ 沿x轴向右平移，得到 $△ O^{^{'}} C^{^{'}} D^{^{'}}$ ，点O，C，D的对应点分别为 $O^{'}$ ， $C^{'}$ ， $D^{'}$ ．设 $O O^{'} = x$ ， $△ O^{^{'}} C^{^{'}} D^{^{'}}$ 与 $△ O A B$ 重叠部分的面积为S，当点 $D^{'}$ 与点A重合时停止运动．则表示S与x的函数图象正确的是（）

A、 B、 C、 D、

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11、如图，正方形 $A B C D$ 的边长为2， $E$ 是 $C D$ 边的中点，把 $△ A D E$ 沿 $A E$ 折叠得到 $△ A F E$ （点 $D$ 的对应点为点 $F$ ），则 $s i n ∠ C E F$ 的值为（）

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、 $\frac{4}{5}$ D、 $\frac{1}{2}$

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12、如图，24个形状大小完全相同的菱形组成的网格，菱形的顶点称为格点，已知菱形的一个内角为 $60 °$ ，点A、B、C、D都在格点上，且线段 $A B$ 、 $C D$ 相交于点 $P$ ，则 $t a n ∠ A P C$ 为（）

A、 $3 \sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{6}$ D、 $2 \sqrt{3}$

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13、如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = 8 \sqrt{2}, B C = 14, ∠ B = 45 °$ ， $D$ 是线段 $B C$ 上的动点（不含端点 $B$ 、 $C$ ）．若线段 $A D$ 长为正整数，则点 $D$ 的个数共有（）

A、3个 B、4个 C、5个 D、6个

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14、如图， $⊙ O$ 是等边 $△ A B C$ 的外接圆，圆心为 $O$ ，半径为3．点 $I 、 D 、 E 、 F 、 G 、 H$ ，分别是边 $A B, B C, A C$ 的三等分点，连接 $H I, D E, F G$ 得到一六边形 $D E F G H I$ ，则该六边形边长为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $2 \sqrt{3}$ D、 $3 \sqrt{3}$

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15、一艘货轮从小岛A正南方向的点B处向西航行 $15 k m$ 到达点C处，然后沿北偏西 $60 °$ 方向航行 $10 k m$ 到达点D处，此时观测到小岛A在北偏东 $60 °$ 方向，则小岛A与出发点B之间的距离为（）

A、 $20 \sqrt{3} k m$ B、 $(10 \sqrt{3} + 20) k m$ C、 $(10 + 5 \sqrt{3}) k m$ D、 $(20 \sqrt{3} + 10) k m$

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16、如果把锐角 $△ A B C$ 的各边长都扩大到原来的4倍，那么锐角A的正切值（）

A、扩大到原来的4倍 B、缩小到原来的 $\frac{1}{4}$ C、没有改变 D、无法判断是否发生改变

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17、已知α是锐角， $c o s α = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ，那么锐角α的度数是（）

A、 $30 °$ B、 $45 °$ C、 $60 °$ D、 $75 °$

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18、 $s i n 60 °$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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19、如图所示是长方体的表面展开图，折叠成一个长方体．

(1)、与字母F重合的点有哪几个？

(2)、若AD=4AB，AN=3AB，长方形DEFG的周长比长方形ABMN的周长少8，求原长方体的容积．

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20、圆锥在生活中随处可见，例如：陀螺、漏斗、屋顶、生日帽等．如图是一个半径为2，圆心角为90°的扇形AOB，要围成一个圆锥，则这个圆锥的底面半径为．

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