相关试卷

1、如图，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $B D$ 平分 $∠ A B C$ ，交 $A C$ 于点 $D, O$ 是斜边 $A B$ 上一点，以点 $O$ 为圆心， $O B$ 的长为半径的 $⊙ O$ 恰好经过点 $D$ ．

(1)、求证： $A C$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若 $B C = 3, C D = \frac{3}{2}$ ，求 $⊙ O$ 的半径．

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2、第十九届亚运会于2023年9月23日至10月8日在杭州举行．某网络经销商购进了一批以杭州亚运会为主题的文化衫进行销售，文化衫的进价每件30元．根据市场调查：在一段时间内，销售单价是45元时，每日销售量是550件；销售单价每涨1元，每日文化衫就会少售出10件．设该批文化衫的销售单价为 $x$ 元 $(x > 45)$ ．

(1)、请你写出销售量 $y$ （件）与销售单价 $x$ （元）的函数关系式．

(2)、若经销商获得了10000元销售利润，则该文化衫单价 $x$ 应为多少元？

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3、如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的弦，C是 $⊙ O$ 外一点， $B C$ 是 $⊙ O$ 的切线， $A B$ 交过C点的直径于点D， $O A ⊥ C D$ ，试判断 $△ B C D$ 的形状，并说明你的理由．

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4、解下列方程：

(1)、 ${(x + 1)}^{2} - 81 = 0$ ．

(2)、 $x^{2} + 4 x - 5 = 0$ ．

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5、如图，扇形 $A O B$ 的圆心角为直角，边长为2的正方形 $O C D E$ 的顶点分别在半径 $O A$ 、 $O B$ 和弧 $A B$ 上．则阴影部分的面积为．

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6、如图， $A B$ 为 $⊙ O$ 的直径，弦 $C D ⊥ A B$ 于点E，若 $C D = 8$ ， $O E = 3$ ，则 $⊙ O$ 的半径为．

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7、将抛物线 $y = 3 x^{2}$ ，先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度后所得抛物线解析式是．

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8、若 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 是一元二次方程 $x^{2} + x - 2 = 0$ 的两个实数根，则 $x_{1} + x_{2} - x_{1} x_{2}$ 的值为．

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9、如图，二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的图象与x轴交于点 $A (6, 0)$ ，顶点坐标为 $(2, - 4)$ ，结合图象分析如下结论： $①$ $a b c > 0$ ； $②$ 当 $0 < x < 3$ 时，y随x的增大而增大； $③$ ${(a + c)}^{2} - b^{2} > 0$ ； $④$ $b^{2} - 16 a > 4 a c$ ．其中正确的有（）

A、 $①$ $②$ B、 $①$ $③$ C、 $②$ $③$ D、 $②$ $④$

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10、如图是二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 图象的一部分，它的对称轴是直线 $x = - 1$ ，与x轴的一个交点为 $(2, 0)$ ，则与x轴的另一个交点为（）

A、 $(- 2, 0)$ B、 $(- 3, 0)$ C、 $(- 3.5, 0)$ D、 $(- 4 ， 0)$

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11、下列图形中，是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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12、在 $△ A B C$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ， $t a n ∠ B A C = \frac{1}{2}$ ．
【知识学习】
三个等角的顶点在同一条直线上，称一线三等角模型（角度有锐角、直角、钝角，若为直角，则又称一线三垂直模型）．解决此模型问题的一般方法是利用三等角关系找全等或相似三角形所需角的相等条件，利用全等或相似三角形解决问题．

(1)、【探索发现】
如图1，分别过 $A$ 、 $C$ 两点作经过点B的直线的垂线，垂足分别为 $M$ 、 $N$ ，若点 $B$ 恰好是线段 $M N$ 的中点，求 $t a n ∠ B A M$ 的值；

(2)、【类比迁移】
如图2， $P$ 是边 $B C$ 延长线上一点， $∠ A P B = ∠ B A C$ ，请依据所学模型，求 $t a n ∠ P A C$ 的值．

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13、如图，一辆汽车在路口停车等红灯，驾驶员的眼睛点 $P$ 到地面距离 $P C = 2$ 米，看前方一栋建筑物顶部点 $M$ 的仰角为 $53 °$ ，且点 $P$ 与建筑物的水平距离为 $20$ 米．

(1)、求建筑物 $M N$ 的高度；

(2)、驾驶员从点 $P$ 看地面的斑马线两端 $A$ ， $B$ 的俯角分别是 $20 °$ 和 $76 °$ ，若每个人所占斑马线的宽度按 $0.5$ 米计算．
$①$ 求出斑马线的宽度 $A B$ ．
$②$ 求行人在斑马线上一横排并排行走时的最多人数．
（参考数据： $t a n 53 °$ 取 $\frac{4}{3}$ ， $t a n 20 °$ 取 $0.36$ ， $t a n 76 °$ 取 $4$ ）．

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14、如图1、图2均为 $8 \times 6$ 的方格纸（每个小正方形的边长均为 $1$ ），在方格纸中各有一条线段 $A B$ ，其中点 $A$ 、 $B$ 均在小正方形的顶点上，请按要求画图；

(1)、在图1中画一个直角 $△ A B C$ ，使得 $t a n ∠ B A C = \frac{1}{2}$ ，点 $C$ 在小正方形的顶点上；

(2)、如图2中画一个平行四边形 $A B E F$ ，使得平行四边形 $A B E F$ 的面积为图1中 $△ A B C$ 面积的 $4$ 倍，点 $E$ 、 $F$ 在小正方形的顶点上；

(3)、图2中连接 $A E$ ，直接写出 $A E$ 的长度．

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15、图（1）是高铁座椅靠背及小桌板打开时的实物图，其侧面可抽象成图（ $2$ ），支架 $B C$ 连接靠背 $A B$ 和小桌板 $C D$ ，点 $E$ 是杯托处，此时靠背 $A B$ 垂直于地面，小桌板 $C D$ 平行于地面，测得 $C E = 10 c m$ ， $∠ A B C = 35 °$ ． (参考数据： $t a n 35 ° \approx 0.70$ ， $t a n 55 ° \approx 1.43$ ， $s i n 35 ° \approx 0.57$ ， $s i n 55 ° = 0.82$ )

(1)、图（2）中， $∠ B C D =$ °；

(2)、靠背 $A B$ 可以绕点 $B$ 旋转至与小桌板支架 $C B$ 重合的位置，如图（ $3$ ），杯托 $E$ 处凹陷深度为 $0.7 c m$ ，若此时乘客的水杯能竖直放在杯托处（点 $E$ ）．
① $∠ A C D =$ $___________°$ ；
②求乘客水杯的最大高度．

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16、汾河是黄河的第二大支流，自北向南，纵贯山西，被山西人称为母亲河，对山西省的历史文化有着深远的影响．某项目学习小组的同学想要测量某段汾河的宽度，他们设计了如下测量方案：如图，在该段汾河的对岸岸边任取一点 $A$ ，再在河的这边取两点 $B, C$ ，在点 $B$ 处测得 $A B$ 与河岸的夹角 $α$ 为 $2 0^{∘}$ ，在点 $C$ 处测得 $A C$ 与河岸的夹角 $β$ 为 $4 5^{∘}, B, C$ 两点间的距离为 $300 m$ ．

(1)、求该段汾河的宽度（即 $△ A B C$ 中 $B C$ 边上的高）；（结果精确到 $0.1 m$ ；参考数据： $s i n 2 0^{∘} \approx 0.34, c o s 2 0^{∘} \approx 0.94, t a n 2 0^{∘} \approx 0.36$ ）

(2)、请再设计一种测量该段汾河宽度的方案．（要求：画出测量示意图，并简要说明测量方案及测量数据）

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17、如图，在 $△ A B C$ 中， $C D ⊥ A B$ 于 $D$ 点， $A B = 11$ ， $C D = 6$ ， $t a n A = 2$ ，求：

(1)、 $B D$ 的长；

(2)、 $s i n B$ 的值．

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18、图1是一盏台灯的照片，图2是其示意图．台灯底部立柱 $C D$ （与桌面 $M N$ 垂直）的高为 $6 c m$ ，支架 $B C$ 长为 $20 c m$ ，支架 $A B$ 长为 $25 c m$ ．若支架 $A B$ ， $B C$ 的夹角为 $106 °$ ，支架 $B C$ 与底部立柱 $C D$ 的夹角为 $150 °$ ，求台灯的旋钮A到桌面 $M N$ 的距离（精确到 $1 c m$ ）．（参考数据： $s i n 46 ° ＝ c o s 44 ° \approx 0.72$ ， $\sqrt{3} \approx 1.73$ ）

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19、计算： ${(\frac{1}{2})}^{- 2} - \sqrt{27} + 2 c o s 30 ° - {(π - 2025)}^{0}$ ；

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20、在 $△ A B C$ 中，若 $| t a n A - \sqrt{3} | + (c o s B - \frac{\sqrt{2}}{2})^{2} = 0$ ，则 $∠ C =$ ．

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