相关试卷

1、如图，在 $▱ A B C D$ 中， $A B = 2, ∠ D = 45 °, ∠ A C D = 90 °$ ， M是 $A D$ 的中点，E是 $A B$ 延长线上的动点，作 $∠ E M F = 90 °$ 交 $A C$ 的延长线于点F．记 $B E = x, C F = y$ ，当x，y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（）

A、 $x + y$ B、 $x - y$ C、xy D、 $\frac{x}{y}$

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2、如图，一束光线照射到平面镜 $C D$ 上，然后在平面镜 $A B$ 和 $C D$ 之间来回反射，光线的反射角等于入射角．若 $∠ 1 = 50^{\circ} ， ∠ 3 = 76^{\circ}$ ，则 $∠ 2$ 的度数为（　　）

A、50° B、55° C、63° D、65°

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3、如图，在 $△ A B C$ 中，D在边AC上，圆O为锐角 $△ B C D$ 的外接圆，连接CO并延长交AB于点E.

(1)、若 $∠ D B C = α$ ，请用含 $α$ 的代数式表示 $∠ D C E =$ ；

(2)、如图2，作 $B F ⊥ A C$ ，垂足为F，BF与CE交于点G，已知 $∠ A B D = ∠ C B F$ .
① 求证： $E B = E G$ ；
② 若 $C E = 5$ ， $A C = 8$ ，求 $F G + F B$ 的值.

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4、在平面直角坐标系中，设二次函数 $y = a x^{2} + b x - 3 a$ (a，b 是实数， $a \neq 0$ ).

(1)、判断该函数图象与 x 轴的交点个数，并说明理由；

(2)、若该函数图象的对称轴为直线 $x = 1$ ， $A (x_{1} ， y_{1}) ， B (x_{2} ， y_{2})$ 为函数 y 图象上的任意两点，其中 $x_{1} < x_{2}$ ，求当 $x_{1} ， x_{2}$ 为何值时， $y_{1} = y_{2} = 5 a$ ；

(3)、若该函数图象的顶点在第二象限，且过点 (1，1)，当 $a < b$ 时，求 $2 a + b$ 的取值范围.

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5、如图，AB 是 $⊙ O$ 的直径，点 $C$ 、 $D$ 是 $⊙ O$ 上的点，且 $O D ∥ B C$ ， AC 分别与 BD、OD 相交于点 $E$ 、 $F$ .

(1)、  证明：点 $D$ 为 $\overset{⌢}{A C}$ 的中点；

(2)、  若 $C B = 6$ ， $A B = 10$ ，求 DF的长；

(3)、  若 $⊙ O$ 的半径为 5， $∠ D O A = 8 0^{°}$ ，点 $P$ 是线段 AB 上任意一点，试求出 $P C + P D$ 的最小值.

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6、如图是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为O，直径AB是河底线，弦CD是水位线， $C D ∥ A B$ ，且 $A B = 26 m$ ， $O E ⊥ C D$ 于点E. 水位正常时测得 $O E : C D = 5 : 24$ .

(1)、求CD的长；

(2)、现汛期来临，水面要以每小时4m的速度上升，则经过多长时间桥洞会刚刚被灌满？

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7、如图，在平面直角坐标系中， $△ A B C$ 的顶点坐标分别为A(-3，1)，B(-2，3)，C(-1，2).

(1)、将 $△ A B C$ 绕原点O旋转180°，画出旋转后的 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ；

(2)、在(1)中， $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ 的顶点 $A_{1}$ 的坐标是， $C_{1}$ 的坐标是；

(3)、在(1)中，若 $△ A B C$ 内部一点P的坐标为(a，b)，则点P的对应点 $P_{1}$ 的坐标是.

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8、设二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ (a，b，c 是常数， $a \neq 0$ )，如表列出了 x、y的部分对应值.
x
…
-5
-3
1
2
3
…
y
…
-2.79
m
-2.79
0
n
…
则不等式 $a x^{2} + b x + c < 0$ 的解集是，方程 $a x^{2} + b x + c = m$ 的解是.

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9、如图，一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为5cm，瓶内原有液体的最大深度 $C D = 4 c m$ . 部分液体蒸发后，瓶内液体的最大深度下降为2cm，则截面圆中弦AB的长减少了 cm（结果保留根号）.

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10、如图，折扇的骨柄长为30cm，扇面宽度为18cm，折扇张开的角度为 $12 0^{°}$ ，折扇扇面的面积为 $c m^{2}$ .（结果保留 $π$ ）

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11、在同样条件下对某种小麦种子进行发芽试验，统计发芽种子数，获得如下频数表：
试验种子数n（粒）
1
5
50
100
200
500
1000
2000
3000
发芽数m
1
4
45
92
188
476
952
1900
2850
发芽频率 $\frac{m}{n}$
1
0.8
0.9
0.92
0.94
0.952
0.952
0.95
0.95
估计该麦种的发芽概率约为.

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12、如图，半圆O的直径 $A B = 2$ ，若点C，D在半圆上运动，且保持弦 $C D = 1$ ，延长AD、BC相交于点E. 记 $∠ E$ 的度数为 $x^{°}$ ， $Δ E D C$ 的面积为y. 则以下结论正确的是（）

A、x随C，D运动而变化，y随C，D运动而变化 B、x不随C，D运动而变化，y不随C，D运动而变化 C、x随C，D运动而变化，y不随C，D运动而变化 D、x不随C，D运动而变化，y随C，D运动而变化

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13、计算机处理任务时，经常会以圆形进度条的形式显示任务完成的百分比. 下面是同一个任务进行到不同阶段时进度条的示意图：当任务完成的百分比为 $x$ 时，线段MN的长度记为 $d (x)$ . 下列描述正确的是（）

A、当 $x_{1} > x_{2}$ 时， $d (x_{1}) > d (x_{2})$ B、当 $d (x_{1}) > d (x_{2})$ 时， $x_{1} > x_{2}$ C、当 $x_{1} + x_{2} = 1$ 时， $d (x_{1}) = d (x_{2})$ D、当 $x_{1} = 2 x_{2}$ 时， $d (x_{1}) = 2 d (x_{2})$

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14、已知二次函数 $y = (m - 2) x^{2}$ (m为实数，且 $m \neq 2$ )，当 $x \leq 0$ 时，y随x增大而减小，则实数m的取值范围是（）

A、 $m < 0$ B、 $m > 2$ C、 $m > 0$ D、 $m < 2$

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15、如图，在 $⊙ O$ 中，弦 AC与半径 OB 交于点 D，连接 OA，BC，若 $∠ B = 6 0^{°}$ ， $∠ A D B = 11 6^{°}$ ，则 $∠ A O B$ 的度数为（）

A、 $13 2^{°}$ B、 $12 0^{°}$ C、 $11 2^{°}$ D、 $11 0^{°}$

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16、在平面直角坐标系中，过点 $T (0, t)$ 作 $y$ 轴的垂线与二次函数 $y = \frac{1}{2} {(x - h)}^{2} + k$ （ $h$ 、 $k$ 为常数）的图像交于点 $E$ 、 $F$ （点 $E$ 在点 $F$ 的左侧），点 $P$ 在直线 $E F$ 上，当点 $P$ 满足 $P E + P F = 6$ 时，我们称点 $P$ 是该二次函数图象的 $T \sim 6$ 生长点．

(1)、二次函数 $y = \frac{1}{2} x^{2}$ 的图像如图所示．
①在 $t$ 的不同取值2、 $\frac{9}{2}$ 、5中，使该函数图象有 $T \sim 6$ 生长点的 $t$ 的值是；
②已知 $P (m, n)$ 是该函数图象的 $T \sim 6$ 生长点，猜想 $n$ 的取值范围，并说明理由．

(2)、二次函数 $y = \frac{1}{2} {(x - h)}^{2} + k$ （h、k为常数）的图像经过点（6，1），若 $P (3, 5)$ 是该函数图象的 $T \sim 6$ 生长点，求该函数的表达式．

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17、为什么变速自行车会“变速”？
变速自行车是常用的交通工具，图（1）所示的是某型号变速自行车的基本结构，图中 $A 、 B$ 处分别有几个大小不同的齿轮，链条连接的两个齿轮称为主动链轮、从动链轮．
［探究]为了便于研究主动链轮与从动链轮的关系，我们先探究一组相互啮合的两个齿轮（如图（2）），通过操作发现：两个齿轮如果可以实现传动，那么两个齿轮的齿距（相邻两齿在圆上的弧长）相等，相同时间内啮合的齿数相等．

(1)、已知主动轮、从动轮的齿数分别为 $n_{1}$ 、 $n_{2}$ ，主动轮每分钟转 $ω_{1}$ 圈，则每分钟啮合的齿数有个，从动轮每分钟转 $ω_{2}$ 圈，则每分钟啮合的齿数有个，由于相同时间内啮合的齿数相等，从而可推出 $ω_{1}$ 与 $ω_{2}$ 的关系是 $\frac{ω_{1}}{ω_{2}} =$ ．

(2)、如图（3），在主动轮与从动轮之间加入一个“惰轮”形成新的齿轮组合，已知主动轮、从动轮的齿数分别为32齿和14齿．
若主动轮的转速为每分钟70圈，求从动轮的转速，并说一说图（3）的齿轮组合在实现传动时，“惰轮”的作用是什么？
［发现]不难发现，变速自行车中的链条作用如同“惰轮”．若骑行者每分钟蹬的圈数不变，实现自行车“变速”的方法可以是（写出一种即可）．

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18、如图（1），过 $⊙ O$ 外一点 $M$ 引 $⊙ O$ 的两条切线 $M A$ 、 $M B$ ，切点是 $A$ 、 $B$ ， $∠ A M B$ 为锐角，连接 $M O$ 并延长与 $⊙ O$ 交于点 $N$ ，点 $P$ 在 $M N$ 的延长线上，过点 $P$ 作 $M A$ 的垂线，与 $B O$ 的延长线相交于点 $E$ 、垂足为 $F$ ．

(1)、求证： $△ E O P$ 是等腰三角形；

(2)、在图（2）中作 $△ E O P$ ，满足 $O P = O F$ （尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；

(3)、已知 $s i n ∠ A M B = \frac{\sqrt{5}}{3}$ ，在你所作的 $△ E O P$ 中，若 $P F = 2$ ，求 $O E$ 的长．

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19、如图，在平面直角坐标系中，点 $A 、 B$ 分别在反比例函数 $y = - \frac{2}{x}$ 和 $y = \frac{k}{x} (k > 0)$ 的图像上，点 $A$ 的横坐标为 $- 1$ ，点 $B$ 的横坐标为 $n (n > 3)$ ，点 $C$ 的坐标为 $(3, 0)$ ， $A C ⊥ B C$ ， $A C = 2 B C$ ．

(1)、求点 $A$ 、 $B$ 的坐标和反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k > 0)$ 的表达式；

(2)、点 $D$ 、 $E$ 分别在反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k > 0)$ 和 $y = - \frac{2}{x}$ 的图像上，与点 $A$ 、 $B$ 构成以 $A B$ 为边的平行四边形，则点 $D$ 、 $E$ 的坐标分别为、．

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20、新一轮科技革命和产业变革深入发展，科技创新是建成科技强国的重要保障．学校兴趣小组成员收集了我国2018—2024年发明专利申请授权数，整理数据如下表（单位：万个，精确到0.1）：
$x$ （年份）
2018
2019
2020
2021
2022
2023
2024
$y /$ 万个
43.2
45.3
53.0
69.6
79.8
92.1
104.5

(1)、计算2020到2021年我国发明专利申请授权数的增长率（精确到1%）；

(2)、小组成员建立平面直角坐标系，并根据表中数据画出相对应的点（如图），从图中可以看出，这些点大致分布在一条直线附近，他们选择了两个点 $A (2019, 45.3)$ 、 $B (2024, 104.5)$ 作一条直线来近似地表示 $y$ 的值随年份 $x$ 不断增长的变化趋势．设直线 $A B$ 上点的坐标满足函数表达式 $y = k x + b$ ．试求出 $k$ 的值，并写出 $k$ 的实际意义，再预测我国2025年发明专利申请授权数．

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