相关试卷

1、对于正数x，规定 $f (x) = \frac{x}{1 + x} . 例如， f (2) = \frac{2}{1 + 2} = \frac{2}{3}, f (3) = \frac{3}{1 + 3} = \frac{3}{4}, f (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{1}{2}}{1 + \frac{1}{2}} = \frac{1}{3}, f (\frac{1}{3}) = \frac{\frac{1}{3}}{1 + \frac{1}{3}} = \frac{1}{4}, \dots,$ 利用以上的规律计算： $f (\frac{1}{2024}) + f (\frac{1}{2023}) + f (\frac{1}{2022}) + f (\frac{1}{2021}) + \dots + f (\frac{1}{2}) + f (1) + f (2) + \dots + f (2021) + f (2022) + f (2023) + f (2024) =$ .

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2、已知： $C_{3}^{2} = \frac{3 \times 2}{1 \times 2} = 3 ， C_{5}^{3} = \frac{5 \times 4 \times 3}{1 \times 2 \times 3} = 10$ ， $C_{6}^{4} = \frac{6 \times 5 \times 4 \times 3}{1 \times 2 \times 3 \times 4} = 15$ $, \dots ，$ 观察上面的计算过程，利用规律计算 $C_{10}^{6}$ 的值为( )

A、42 B、210 C、840 D、2520

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3、对于正整数n，定义 $F (n) = {\begin{matrix} n^{2} (n < 10), \\ f (n) (n \geq 10), \end{matrix}$ 其中f（n）表示N的首位数字与末位数字的平方和，例如， $F (6) = 6^{2} = 36, F (123) = 1^{2} + 3^{2} = 10 .$ 规定 $F_{1} (n) = F (n), F_{k + 1} (n) = F (F_{k} (n))$ （k为正整数），例如， $F_{2} (123) = F (F_{1} (123)) = F (1^{2} + 3^{2}) = F (10) = 1^{2} + 0^{2} = 1$ ，按此定义， $F_{2} (4) =$ ， $F_{2024} (4) =$ .

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4、有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示.

(1)、用“<”连接0，-a，-b，-1；

(2)、化简： $∣ a ∣ - 2 ∣ a + b - 1 ∣ - \frac{1}{3} ∣ b - a - 1 ∣;$

(3)、若 $a^{2} c + c < 0,$ 且c+b>0，求· $\frac{∣ c + 1 ∣}{c + 1} + \frac{∣ c - 1 ∣}{c - 1} - \frac{∣ a - b + c ∣}{a - b + c}$ 的值.

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5、已知有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简：|a+c|-|b-a|-2|a-c|+3|b-c|=.

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6、有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，其中b，c到原点的距离相等，下列式子正确的是( )

A、a+c>0 B、a+b>0 C、|a-c|-|b-c|>0 D、a-b<0

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7、如图，用点A，B，C分别表示有理数a，b，c.

(1)、判断下列各式的符号：a+b0；c-b0；c-a0.(填“>”或“<”)

(2)、化简：|a+b|-|c-b|-|c-a|.

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8、若正整数a，b分别满足 $\sqrt[3]{53} < a < \sqrt[3]{98}, \sqrt{2} < b < \sqrt{7},$ ，则b^a= ( )

A、4 B、8 C、9 D、16

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9、【阅读理解】
$∵ \sqrt{4} < \sqrt{5} < \sqrt{9},$ 即 $2 < \sqrt{5} < 3, ∴ 1 < \sqrt{5} - 1 < 2,$
$∴ \sqrt{5} - 1$ 的整数部分是1，小数部分是 $\sqrt{5} - 2 .$
【解决问题】
已知a是 $\sqrt{17} - 3$ 的整数部分，b是 $\sqrt{17} - 3$ 的小数部分，求( ${(- a)}^{3} + {(b + 4)}^{2}$ 的平方根.

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10、比较大小：

(1)、 $3 \frac{1}{3}$ 和 $\sqrt{11};$

(2)、 $\frac{\sqrt{6} + 2}{6}$ 和123；

(3)、 $\frac{\sqrt[3]{17} - 1}{10}$ 和0.6.

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11、已知a是 $\sqrt{10}$ 的整数部分，b是它的小数部分，求( ${(- a)}^{3} + {(b + 3)}^{2}$ 的值.

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12、在平面直角坐标系中，点 $P (- 1, m^{2} + 1)$ 位于( )

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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13、在平面直角坐标系中，点P(m(m+1)，m-1)(m为实数)不可能在第象限

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14、若a-b=1，则在平面直角坐标系中，点P(b，a)不可能在第象限.

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15、在平面直角坐标系中，若点 P(1-m，3-m)在第二象限，则整数m的值为.

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16、已知点 M(3-m，-2-m)在象限内.

(1)、点M 不可能在第象限；

(2)、若点M在第三象限，且到两坐标轴的距离之和为7，请确定点M的坐标.

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17、先观察等式，再回答问题：
$① \sqrt{1 + \frac{1}{1^{2}} + \frac{1}{2^{2}}} = 1 + \frac{1}{1} - \frac{1}{1 + 1} = 1 \frac{1}{2};$
$② \sqrt{1 + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}}} = 1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{2 + 1} = 1 \frac{1}{6};$
$③ \sqrt{1 + \frac{1}{3^{2}} + \frac{1}{4^{2}}} = 1 + \frac{1}{3} - \frac{1}{3 + 1} = 1 \frac{1}{12} .$

(1)、请你根据上面三个等式提供的信息，猜想 $\sqrt{1 + \frac{1}{4^{2}} + \frac{1}{5^{2}}}$ 的结果，并验证.

(2)、请你按照上面各等式反映的规律，试写出用含 n的式子表示的等式(n为正整数).

(3)、设 $S_{1} = 1 + \frac{1}{1^{2}} + \frac{1}{2^{2}}, S_{2} = 1 + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}}, S_{3} = 1 + \frac{1}{3^{2}} + \frac{1}{4^{2}}, \dots, S_{n} = 1 + \frac{1}{n^{2}} + \frac{1}{{(n + 1)}^{2}} .$ 若S= $\sqrt{S_{1}} + \sqrt{S_{2}} + \dots + \sqrt{S_{n}},$ 求S(用含n的式子表示，其中n为正整数).

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18、观察下列等式： $\sqrt{1 + \frac{1}{3}} = 2 \sqrt{\frac{1}{3}}, \sqrt{2 + \frac{1}{4}} = 3 \sqrt{\frac{1}{4}}, \sqrt{3 + \frac{1}{5}} = 4 \sqrt{\frac{1}{5}}, \dots .$

(1)、你能发现上述式子有什么规律吗?请你将猜想到的规律用含n(n为正整数)的式子表示出来，并运用你所发现的规律写出第10个式子.

(2)、若式子 $\sqrt{a + \frac{1}{b}} = 8 \sqrt{\frac{1}{b}}$ (a，b为正整数)符合以上规律，求 $\sqrt{a + b}$ 的值.

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19、观察下列算式：
① $\sqrt{1 \times 3 + 1} = 2$ ；② $\sqrt{2 \times 4 + 1} = 3$ ；③ $\sqrt{3 \times 5 + 1} = 4$ ；④ $\sqrt{4 \times 6 + 1} = 5$ ；···.

(1)、写出第⑥个等式：；

(2)、猜想第⑧个等式：(用含n的式子表示)；

(3)、计算： $\sqrt{1 \times 3 + 1} + \sqrt{2 \times 4 + 1} + \sqrt{3 \times 5 + 1} + \dots + \sqrt{200 \times 202 + 1} .$

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20、已知点C在线段AB上，AC=2BC，线段DE在线段AB上移动，AB=15，DE=6.

(1)、如图，当E为BC 的中点时，求AD 的长；

(2)、若点 F(异于点 A，B，C)在线段 AB 上，AF=3AD，CF=3，求AD的长.

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