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1、如图， $△ A B C$ 内接于 $⊙ O$ ， $D$ 是 $\overset{⌢}{A C}$ 上一点， $A D ∥ B C$ ，连接 $O A$ 交 $B C$ 于 $E$ ， $O A$ 平分 $∠ B A D$ ， $O E = \frac{13}{4}$ ， $B E = \sqrt{29}$ ，则 $A C =$ ．

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2、如图，菱形 $A B C D$ 中，对角线 $A C$ ， $B D$ 相交于点P， $△ E F D$ 与 $△ A P D$ 关于点D成中心对称．若 $A C = 14$ ， $B D = 16$ ，则 $B E =$ ．

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3、如图，电路图上有4个开关A，B，C，D和1个小灯泡，现随机闭合两个开关，小灯泡发光的概率为．

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4、随着我国电子技术的高速发展，360全景影像应用于汽车中使得驾驶安全上了一个新的台阶，如图是使用了该技术的某品牌汽车，车前可视范围是一个半径为3米，可视角度为 $40 °$ 的扇形，则该可视区域形成的扇形弧长为米．

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5、将抛物线 $y = 5 x^{2}$ 向下平移2个单位长度，所得新抛物线的表达式为．

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6、在“探索一次函数 $y = k x + b$ 中 $k$ ， $b$ 与图象的关系”活动中，已知点 $A (2, 2)$ ，点 $P (m, n)$ 在第一象限内，若一次函数 $y = k x + b$ 图象经过 $A$ ， $P$ ，则下列判断正确的是（）

A、当 $m > n$ 时， $b > 0$ B、当 $m < n$ 时， $b < 0$ C、当 $m + n = 2$ 时， $k > 0$ D、当 $m + n = 2$ 时， $k < 0$

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7、如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = B C$ ， $∠ A B C = 90 °$ ．按以下步骤作图：①分别以点 $A$ ， $B$ 为圆心，以大于 $\frac{1}{2} A B$ 长为半径作弧，两弧交于点 $E ， F$ ；②作直线 $E F$ ；③以点 $B$ 为圆心，以 $B A$ 为半径画弧交直线 $E F$ 于点 $G$ ；④连接 $B G$ 交 $A C$ 于点 $P$ ．则 $∠ A P B =$ （）

A、 $60 °$ B、 $70 °$ C、 $75 °$ D、 $80 °$

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8、《九章算术》“勾股”章有一道题：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈．问户高、广各几何．”大意是说：已知长方形门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长1丈，那么门的高和宽各是多少？（“尺”“寸”“丈”都是我国传统的长度单位，其中1丈 $= 10$ 尺，1尺 $= 10$ 寸）设门高x尺，根据题意可列方程为（）

A、 $x^{2} + {(x - 68)}^{2} = 10^{2}$ B、 $x^{2} + {(x - 6.8)}^{2} = 1^{2}$ C、 $x^{2} + {(x + 68)}^{2} = 100^{2}$ D、 $x^{2} + {(x - 6.8)}^{2} = 10^{2}$

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9、如果点 $(- 2, y_{1})$ 、 $(- 1, y_{2})$ 、 $(2, y_{3})$ 在反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ （ $k > 0$ ）的图象上，那么（）

A、 $y_{1} > y_{2} > y_{3}$ B、 $y_{2} > y_{1} > y_{3}$ C、 $y_{3} > y_{1} > y_{2}$ D、 $y_{3} > y_{2} > y_{1}$

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10、要清晰反映 $DeepSeek$ 、豆包等5款 $AI$ 大模型在连续一周内，每日处理用户问题数量的变化趋势，最合适的统计图是（）

A、折线统计图 B、扇形统计图 C、条形统计图 D、频数分布直方图

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11、 $2025$ 年 $11$ 月 $28$ 日，一列满载 $55$ 个集装箱的中欧班列从成都国际铁路港驶出，标志着中欧班列累计开行量正式突破 $120000$ 列大关．数据 $120000$ 用科学记数法表示为（）

A、 $12 \times 10^{4}$ B、 $1.2 \times 10^{4}$ C、 $1.2 \times 10^{5}$ D、 $0.12 \times 10^{6}$

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12、榫卯是我国传统建筑及家具的基本构件，燕尾榫是“万榫之母”．如图是燕尾榫的带榫头部分，它的主视图是（）

A、 B、 C、 D、

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13、如图，已知抛物线 $C_{1}$ ： $y = - x^{2} + b x + c$ 与y轴相交于点C（0，1），对称轴为直线x=2．坐标原点为O点，抛物线 $C_{1}$ 的对称轴交x轴于A点．

(1)、抛物线的关系表达式；

(2)、若点P为抛物线上的一动点，连接PO交线段AC于点B，当PB=2BO时，求点P的坐标；

(3)、将抛物线 $C_{1}$ 向左平移2个单位长度得到抛物线 $C_{2}$ ， $C_{2}$ 与 $C_{1}$ 相交于点E，点F为抛物线 $C_{1}$ 对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点H，使以点C，E，F，H为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点H的坐标：若不存在，请说明理由．

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14、如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为H，连结AC，过 $\overset{⌢}{B D}$ 上一点E作EG//AC交CD的延长线于点G，连结AE交CD于点F，且EG＝FG，连结CE．

(1)、求证：△ECF∽△GCE；

(2)、求证：EG是⊙O的切线；

(3)、延长AB交GE的延长线于点M，若tan∠G＝ $\frac{3}{4}$ ， AH＝3，求EM的值．

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15、如图，已知轮船甲位于港口A西南方向的点B处，轮船乙位于港口A正南方向的点C处，点C位于点B南偏东51°方向．轮船甲向正东航行10 nmile到点D，轮船乙向正北航20 nmile到点E，测得点D位于点E北偏西74°方向．

(1)、求此时轮船甲乙之间的距离．

(2)、求此时轮船乙到港口A的距离．（结果精确到1 nmile，参考数据： $s i n 3 9^{∘} \approx 0.6$ ， $c o s 3 9^{∘} \approx 0.8$ ， $t a n 3 9^{∘} \approx 0.8$ ， $s i n 7 4^{∘} \approx 0.9$ ， $c o s 7 4^{∘} \approx 0.3$ ， $t a n 7 4^{∘} \approx 3.5$ ）

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16、如图，在平面直角坐标系中，在反比例函数 $y_{1} = \frac{k}{x}$ 的图象上有一点A的坐标为 $(1, m)$ ，点 $C (0, 2)$ ，反比例函数与一次函数 $y_{2} = a x + b$ 交于A、B两点，连接OA，且 $t a n ∠ A O C = \frac{1}{3}$ ．

(1)、求反比例函数和一次函数的解析式；

(2)、请直接写出 $y_{1} ≺ y_{2}$ 时，x的取值范围；

(3)、点P从点A出发沿射线AB移动，点Q为第三象限双曲线上一点，当点A，O，P，Q为顶点的四边形为平行四边形时，请直接写出点Q的坐标．

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17、为了加强未成年人思想道德建设，某校开展了“为家献爱心”活动．活动设置了四个项目供学生选择：A．为家人过生日，B．为家人做早餐，C．当一天小管家，D．与父母谈心．要求每个学生必须且只能选择一项参加，为了解全校选择各项目的学生人数，随机抽取了部分学生进行调查，根据调查结果，绘制了两幅不完整的统计图（如图所示）．
根据以上信息，解答下列问题：

(1)、这次抽样调查的样本容量是，并将条形统计图补充完整；

(2)、扇形统计图中，项目B所占的百分比为m%，则m= ，项目C所在扇形的圆心角α的度数为°；

(3)、该校参加活动的学生共2400人，请你估计选择项目D的学生有多少人？

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18、先化简，再求值： $\frac{x^{2} - 4 x + 4}{x^{2} - x} \div (x + 1 - \frac{3}{x - 1})$ ，其中 $x = 5$ ．

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19、计算： $\sqrt[3]{- 27} + \sqrt{18} - 4 c o s 4 5^{∘} + | \sqrt{2} - 2 |$ .

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20、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是斜边AB的中点，连结CD，过D作DH⊥BC于点H；D₁是BD的中点，连结HD₁ ，过D₁作D₁H₁⊥BC于点H₁；D₂是BD₁的中点，连结H₁D₂ ，过D₂作D₂H₂⊥BC于点H₂；…………如此继续下去，分别记四边形CDD₁H、四边形HD₁D₂H₁、四边形H₁D₂D₃H₂…………四边形H_n-2D_n-1D_nH_n-1的面积为S₁ ， S₂ ， S₃ ， ……，S_n ．若S_△ABC=2，则S₂₀₂₂ ．

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