相关试卷

1、某班级为了庆祝“五四青年节”，计划投入一笔资金购买甲、乙两种奖品，已知1件甲种奖品比1件乙种奖品多15元，用175元购买甲种奖品的数量和用100元购买乙种奖品的数量相同．

(1)、求购买1件甲种奖品和1件乙种奖品各需多少元？

(2)、若该班级计划购买甲、乙两种奖品共60件，且购买的总费用不超过1440元，则甲种奖品最多能购买多少件？

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2、某校在开展“网络安全知识教育周”期间，在九年级随机抽取了 $20$ 名学生分成甲、乙两组，每组各 $10$ 人，进行“网络安全”现场知识竞赛，把甲、乙两组的成绩进行整理分析（满分 $100$ 分，竞赛得分用x表示： $90 \leq x \leq 100$ 为网络安全意识非常强， $80 \leq x < 90$ 为网络安全意识强， $x < 80$ 为网络安全意识一般），收集整理的数据制成如下两幅统计图：
分析数据：

平均数
中位数
众数
甲组
83
80
c
乙组
a
b
90
根据以上信息回答下列问题：

(1)、 $a =$ ______， $b =$ ______， $c =$ ______；

(2)、你认为哪组的成绩更好？说明理由．

(3)、现在准备从甲乙两组满分的同学中抽取两名同学参加校级比赛，用列表或树形图求抽取的两名同学恰好一人来自甲组，另一人来自己组的概率．

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3、（1）计算： ${(π - 2023)}^{0} - \sqrt{8} + |- \frac{1}{2}| + 2 \cos 45 °$ ；
（2）解不等式组 $\{\begin{matrix} 3 x + 4 > x \\ \frac{4}{3} x \leq x + \frac{2}{3} \end{matrix}$ 并在数轴上表示出解集．

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4、如图，在矩形 $A B C D$ 中，点 $E$ 在 $B C$ 上，连接 $A E$ ， $D E$ ，并延长 $A E$ 至点 $F$ ，使得 $E F = A E$ ，连接 $D F$ 交 $B C$ 于点 $G$ ，若 $A E ⊥ D E$ ， $A B = 2 B E = 2$ ，则 $△ D G E$ 的面积为．

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5、今年假期，小星一家驾车前往西柏坡旅游，在行驶过程中，汽车离西柏坡景点的路程 $y (km)$ 与所用时间 $x (h)$ 之间的函数关系的图象如图所示，下列说法正确的是（）

A、小星家离西柏坡景点的路程为 $50km$ B、小星从家出发第1小时的平均速度为 $25 km / h$ C、小星从家出发2小时离景点的路程为 $125km$ D、小星从家到西柏坡景点的时间共用了 $3h$

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6、如图，若 $⊙ O$ 的半径是 $1$ ， $A$ 、 $B$ 两点在 $⊙ O$ 上，且 $∠ A O B = 90 °$ ，则 $\overset{⌢}{A B}$ 的长度是（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\frac{π}{2}$ C、 $2$ D、 $π$

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7、如图，已知 $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径， $A B = 2$ ， $C$ ， $D$ 是圆上的点，且 $∠ C D B = 30 °$ ，则 $B C$ 的长为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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8、某种生物细胞的直径约为 $0.00056 m$ ，将 $0.00056$ 用科学记数法表示为（　　）

A、 $0.56 \times 10^{- 3}$ B、 $5.6 \times 10^{- 4}$ C、 $5.6 \times 10^{- 5}$ D、 $56 \times 10^{- 5}$

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9、光线在不同介质中的传播速度不同，当光线从空气射向水中时会发生折射．如图，在空气中平行的两条入射光线在水中的折射光线也是平行的．已知水面和杯底互相平行，若 $∠ 1 = 125 °$ ，则 $∠ 2$ 等于（）

A、 $65 °$ B、 $55 °$ C、 $45 °$ D、 $75 °$

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10、 $- 10$ 的绝对值是（）

A、 $- 10$ B、 $\frac{1}{10}$ C、 $- \frac{1}{10}$ D、 $10$

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11、综合与探究
【定义】三角形一边上的点将该边分为两条线段，若这两条线段长度的乘积等于这个点与该边所对顶点距离的平方，则称这个点为三角形中该边上的“亮点”．
如图（a），在 $△ A B C$ 中， $D$ 是BC边上一点，连接AD ，若 $A D^{2} = B D \cdot C D$ ，则称点 $D$ 是 $△ A B C$ 中BC边上的“亮点”．

(1)、【概念理解】
如图（b），在Rt△ABC中， $∠ B A C = 9 0^{°}, A D, A E, A F$ 分别是 $△ A B C$ 的高线，角平分线，中线．请判断 $D, E, F$ 三点中哪些是 $△ A B C$ 中BC边上的“亮点”，并说明理由．

(2)、【性质应用】
如图（c），在 $△ A B C$ 中， $∠ B = 4 5^{°}, t a n C = \frac{3}{4}, A C = 10$ ．若 $D$ 是BC边上的“亮点”，求BD的长．

(3)、【拓展提升】
如图（d）， $△ A B C$ 内接于 $⊙ O, D$ 是 $△ A B C$ 中BC边上的“亮点”且 $A D ⊥ A C$ ．若 $s i n B = \frac{1}{3}$ ，求 $\frac{C D}{B D}$ 的值．

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12、综合与探究
【定义】对于y关于 $x$ 的函数，函数在 $x_{1} ⩽ x ⩽ x_{2} (x_{1} < x_{2})$ 范围内有最大值 $m$ 和最小值 $n$ ，则 $m - n$ 称为极差值，记作 $R [x_{1}, x_{2}] = m - n$ ．
【示例】如图（a），根据函数 $y = 2 x$ 的图象可知，在 $- 1 ⩽ x ⩽ 2$ 范围内，该函数的最大值是4，最小值为-2，即 $R [- 1, 2] = 4 - (- 2) = 6$ ．
请根据以上信息，完成下列问题：

(1)、直接写出反比例函数 $y = \frac{6}{x}$ 的R[1，3]的值为 ▲ ；

(2)、已知二次函数 $y = x^{2} + b x + 5$ 的图象经过点 $(2, - 3)$ ．
①求该函数的表达式；
②在图（b）的平面直角坐标系中，画出此二次函数的图象；
③求该函数的 $R [- 1, 4]$ 的值．

(3)、已知函数 $y_{1} = k x (k > 0)$ ，函数 $y_{2} = (a - 1) x^{2} - 4 a x + a^{2} - 1$ 的图象经过点 $(0, 0)$ ，且两个函数的 $R [0, \frac{3}{2 k}]$ 相等，求 $k$ 的值．

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13、综合与实践

背景	随着新能源汽车的快速发展，数学小组选择价格相近的两款国产汽车进行使用费用的对比，其中一款是燃油车，另一款是新能源车．
素材1	燃油车油箱容积：50升，油价：8元／升，续航里程：a千米，每千米行驶费用： $\frac{50 \times 8}{a}$ 元；新能源车电池电量：100千瓦时，综合电价：1元／千瓦时，续航里程： $a$ 千米，每千米行驶费用： ▲ 元．
素材2	燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.6元.
素材3	燃油车和新能源车每年的其它费用分别为4800元和7500元．
问题解决
任务1	用含 $a$ 的代数式表示新能源车的每千米行驶费用.
任务2	分别求出这两款车的每千米行驶费用．
任务3	每年行驶里程为多少千米时，买新能源车的年费用更低？（年费用=年行驶费用+年其它费用）

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14、如图（a），在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ．

(1)、【实践与操作】在图（a）的基础上，请利用尺规，用2种方法作四边形ABDC是菱形．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）

(2)、【推理与计算】在（1）的条件下，若 $A B = 13, B C = 10$ ，求菱形ABDC的面积．

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15、某教育平台推出 $A, B$ 两款人工智能学习辅导软件，相关人员开展了 $A, B$ 两款人工智能学习辅导软件使用满意度评分测验，并从中各抽取20份，对数据进行整理，描述和分析（评分分数用 $x$ 表示，分为以下四个等级：不满意 $(60 < x ⩽ 70)$ ，比较满意 $(70 < x ⩽ 80)$ ，满意 $(80 < x ⩽ 90)$ ，非常满意 $(90 < x ⩽ 100)$ ），下面给出了部分信息：
抽取的对A款人工智能学习辅导软件的所有评分数据：64，70，75，76，78，78，85，85，85，85，86，89，90，90，94，95，98，98，99，100.
抽取的对B款人工智能学习辅导软件的评分数据中“满意”的数据：86，86，87，88，88，88，89，90.
A，B两款人工智能学习辅导软件的评分统计表
软件
平均数
中位数
众数
方差
A
86
85.5
a
96.6
B
86
86.5
88
69.8
B款人工智能学习辅导软件评分的扇形统计图
根据以上信息，解答下列问题：

(1)、填空： $a =$ ▲ ， $m =$ ▲ ；

(2)、根据以上数据，你认为哪款人工智能学习辅导软件更受用户欢迎？请说明理由（写出一条理由即可）；

(3)、本次调查中，若有800名用户对A款人工智能学习辅导软件进行了评分，有1000名用户对B款人工智能学习辅导软件进行了评分，估计其中对A，B两款人工智能学习辅导软件非常满意的用户总人数.

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16、下面是小星同学进行分式化简的过程：

化简 $(\frac{2 x - 1}{x - 1} - 1) \div \frac{x}{x^{2} - 1}$

解：原式 $= (\frac{2 x - 1}{x - 1} - \frac{x - 1}{x - 1}) \div \frac{x}{(x + 1) (x - 1)}$ 第一步

$= \frac{2 x - 1 - x - 1}{x - 1} \cdot \frac{(x + 1) (x - 1)}{x}$ 第二步

$= \frac{(x - 2) (x + 1)}{x}$ 第三步

(1)、小星同学的化简过程从第 ▲ 步开始出现错误，错误原因是 ▲ ．

(2)、请写出正确的化简过程，并从

- 1, 0, 1, 2

中选择合适的数代入求值．

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17、计算： $(π - 3.414)^{0} - 3^{- 1} - (\sqrt{2})^{2} + \sqrt[3]{- \frac{8}{27}}$ ．

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18、如图，在矩形ABCD中， $A D = 2, A B = 4, E$ 是AB边上一点，过点 $D$ 作 $D F ⊥ D E$ 交BC的延长线于点 $F$ ，连接EF ，分别交AC ， CD于点 $G, M$ ，若 $A G = 2 C G$ ，则AE的值为．

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19、科学课上，同学们用自制密度计测量液体的密度．密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度 $h$ （单位：cm）是液体的密度 $ρ$ （单位： $g / c m^{3}$ ）的反比例函数．当密度计悬浮在密度为 $1 g / c m^{3}$ 的水中时， $h = 20 c m$ ．当密度计悬浮在另一种液体中时， $h = 25 c m$ ，该液体的密度 $ρ$ 为 $g / c m^{3}$ ．

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20、我国古代数学有着辉煌的成就，《周髀算经》、《算学启蒙》、《测圆海镜》、《四元玉鉴》是我国古代数学的重要文献.某中学拟从这4部数学名著中选择2部作为校本课程“数学文化”的学习内容，恰好选中《周髀算经》和《算学启蒙》的概率为．

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软件	平均数	中位数	众数	方差
A	86	85.5	a	96.6
B	86	86.5	88	69.8