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1、定义：如图1，在平面直角坐标系中，点P是平面内任意一点（坐标轴上的点除外），过点P分别作x轴、y轴的垂线，若由点P、原点O、两个垂足A、B为顶点的矩形OAPB的周长与面积的数值相等时，则称点P是平面直角坐标系中的“美好点”．
【尝试初探】（1）点 $C (2, 3)$ ______“美好点”（填“是”或“不是”）；若点 $D (4, b)$ 是第一象限内的一个“美好点”，则 $b =$ ______；
【深入探究】（2）若“美好点” $E (m, 6) (m > 0)$ 在双曲线 $y = \frac{k}{x}$ （ $k \neq 0$ ，且k为常数）上，则 $k =$ ______；
【拓展延伸】（3）我们可以从函数的角度研究“美好点”，已知点 $P (x, y)$ 是第一象限内的“美好点”．若y关于x的函数表达式为 $y = \frac{4}{x - 2} + 2 (x > 2)$ ，回答下列问题：
①在图2的平面直角坐标系中画出函数图象；
列表：下表是x与y的几组对应值，请将下表填写完整．
x
…
3
4
5
6
7
8
…
y
…
6
4
$\frac{14}{5}$
$\frac{8}{3}$
…
描点：根据表中各组对应值 $(x, y)$ ，在图2的平面直角坐标系中描出各点；
连线：用平滑的曲线顺次连接各点，画出函数图象；
②观察图象可知该图象可由函数______的图象向上平移______单位长度，再向______平移2个单位长度得到；
③对于图象上任意一点 $(x, y)$ ，代数式 $(2 - x) \cdot (y - 2)$ 是否为定值？如果是，请求出这个定值，如果不是，请说明理由．

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2、在九年级学生即将毕业之际，某商店购进了一批成本为4元/本的毕业纪念册，当每本纪念册售价为10元时，平均每周能售出40本，为了扩大销售量，减少库存，商店决定降价促销，调查发现，如果每本纪念册每降价1元，那么该商店平均每周可多售出20本．

(1)、商家要想平均每周盈利300元，每本纪念册应该降价多少元；

(2)、商家要想获得最大收益，每本纪念册应该降价多少元？最大收益是多少元？

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3、已知，如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ， $B D$ 是 $△ A B C$ 的中线， $F$ 是 $B D$ 的中点，连接 $C F$ 并延长到 $E$ ，使 $F E = C F$ ，连接 $B E$ 、 $A E$ ．

(1)、求证：四边形 $A E B D$ 是菱形；

(2)、若 $B C = 8$ ， $B E = 5$ ，求 $△ A E C$ 的面积．

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4、如图，在平面直角坐标系中， $△ A B C$ 的三个顶点分别为 $A (- 2, - 2)$ ， $B (- 5, - 4)$ ， $C (- 1, - 5)$ ．

(1)、请在平面直角坐标系中画出 $△ A B C$ 关于 $x$ 轴对称的 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ；

(2)、以点 $O$ 为位似中心，将 $△ A B C$ 放大为原来的2倍，得到 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ ，请在平面直角坐标系中画出 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ ；

(3)、 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ 的面积为______．

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5、计算：

(1)、 $\sqrt{16} + 2 \sin 60 ° - {(π - 2024)}^{0} + |\sqrt{3} - 2|$ ．

(2)、用公式法解方程： $4 x^{2} + 12 x + 3 = 0$ ．

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6、如图，在 $8 \times 5$ 的网格中，每个小正方形的边长均为1，若点A，B，C都在格点上，则 $cos B$ 的值为．

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7、某通信公司准备逐步在歌乐山上建设5G基站．如图，某处斜坡CB的坡度（或坡比）为i＝1∶2.4，通讯塔AB垂直于水平地面，在C处测得塔顶A的仰角为45°，在D处测得塔顶A的仰角为53°，斜坡路段CD长26米，则通讯塔AB的高度为（）（参考数据： $sin 53 ° \approx \frac{4}{5}$ ， $cos 53 ° \approx \frac{3}{5}$ ， $tan 53 ° \approx \frac{4}{3}$ ）

A、 $\frac{77}{4}$ 米 B、 $\frac{77}{2}$ 米 C、56米 D、66米

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8、如图， $△ A B C$ 与 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ 是位似图形，点 $O$ 是位似中心，相似比为 $3 : 1$ ．若 $O A = 6$ ，则 $O A^{'}$ 的长为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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9、福建博物院收藏着一件“镇馆之宝”——云纹青铜大铙，如图1．云纹青铜大绕是西周乐器，鼓饰变形兽面纹，两侧饰云雷纹，浑大厚重，作风稳重古朴，代表了福建古代青铜文化曾经的历史和辉煌．图2为其示意图，它的主视图是（）

A、 B、 C、 D、

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10、解方程： $2 - \frac{2 x - 1}{3} = \frac{x + 8}{4}$

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11、已知 $a$ 和 $b$ 互为相反数， $c$ 为最小正整数， $x$ 的绝对值等于 $2$ ，求式子： $x - (a + b + c) + \frac{a + b}{c}$ 的值．

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12、化简： $3 (2 x - 3 y) - 5 (3 x + 4 y)$

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13、计算： $- 1^{4} \times (- 3) - [4 - {(- 2)}^{3}] \div 6$

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14、点 $C$ 在线段 $A B$ 上，点 $D$ 为线段 $B C$ 的中点，若 $A B = 14 cm, B D = 3 cm$ ，则线段 $A C$ 的长为 $cm$ ．

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15、古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1，3，6，10…这样的数称为“三角形数”；而把1，4，9，16…这样的数称为“正方形数”．该学派研究发现：任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和，如图所示
数学兴趣小组在研究中给出如下四个说法：①有理数36是“正方形数”；②有理数20是“三角形数”；③ $\frac{n (n + 1)}{2}$ 是“三角形数”（n为大于1的整数）；④“正方形数”121是“三角形数”55和66的和．其中正确的个数为（）

A、0个 B、1个 C、2个 D、3个

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16、下列各选项中的两个量，成反比例关系的是（）

A、班级队列操表演，每排站8人，全班的总人数与排数 B、购买铅笔和钢笔一共花了20元，铅笔的费用与钢笔的费用 C、张华制作小红花的效率一定，她制作的小红花总朵数与制作时间 D、三角形的面积是 $6 {cm}^{2}$ ，三角形的一条边长与这条边上的高

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17、在 $\frac{1}{x}$ ， $2 x + y$ ， $\frac{1}{3} a^{2}$ ， $\frac{x - y}{π}$ ， $\frac{5 y}{4 x}$ ， $0$ ， $- 2.3$ 中，整式的个数有（）

A、2个 B、3个 C、4个 D、5个

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18、对于近似数 $4.28$ ，下列说法正确的是（　　）

A、精确到 $0.001$ B、精确到百位 C、精确到万位 D、精确到百分位

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19、用如图所示的两个转盘进行“配紫色”（红色与蓝色能配成紫色）游戏，配得紫色的概率是（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{1}{6}$

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20、已知平面直角坐标系中有一点 $N (n + 1, 2 n - 4)$ ．

(1)、若点 $N$ 在 $x$ 轴上，求此时点 $N$ 的坐标；

(2)、若点 $N$ 在过点 $A (2, 8)$ 且与 $y$ 轴平行的直线上，求此时 $n$ 的值；

(3)、若点 $N$ 到 $x$ 轴的距离与到 $y$ 轴的距离相等，求点 $N$ 的坐标．

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