相关试卷

1、对于任意实数 $m$ ， $n$ ，定义一种新运算 $m ※ n = m n - m - n + 2$ ．例如： $2 ※ 6 = 2 \times 6 - 2 - 6 + 2 = 6$ ．请根据上述定义解决以下问题：

(1)、若 $2 ※ x < 4$ ，求实数 $x$ 的取值范围．

(2)、若 $a < 4 ※ x < 7$ ，且 $x$ 的解集中有3个整数解，求实数 $a$ 的取值范围．

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2、如图， $A B ∥ C D$ ， $B P$ 和 $C P$ 分别平分 $∠ A B C$ 和 $∠ D C B$ ， $A D$ 过点 $P$ ，且与 $A B$ 垂直．

(1)、若 $A D = 8$ ，求点 $P$ 到 $B C$ 的距离；

(2)、直接写出线段 $A B$ 、 $B C$ 、 $C D$ 存在的数量关系．

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3、如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ．

(1)、尺规作图：作 $∠ B A C$ 的平分线 $A D$ ；（不写作法，保留作图痕迹）

(2)、若 $A B = 10$ ， $B C = 12$ ，求角平分线 $A D$ 的长．

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4、如图，已知： $A B = A C$ ， $A D = A E$ ．

(1)、求证： $∠ B = ∠ C$ ；

(2)、若 $∠ B = 25 °$ ， $∠ B O C = 105 °$ ，求 $∠ A$ 的度数．

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5、解不等式组 $\{\begin{array}{l} 3 x - 2 > 1 \\ \frac{2 x - 1}{3} > x - 2 \end{array}$ ，并把解集在数轴上表示出来．

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6、如图，在四边形 $A B C D$ 中， $∠ A B C = 60 °$ ， $C D = 3$ ， $A D = B D = 8$ ，点 $E$ 在边 $A B$ 上，连接 $C E$ ．若 $∠ A D E = 2 ∠ C B D$ ，且 $B D$ 平分 $∠ C D E$ ，则 $C E$ 的长为．

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7、如图， $A B$ 是 $Rt △ A B C$ 与 $Rt △ A B D$ 的斜边， $∠ A D B = ∠ A C B = 90^{\circ}$ ， $C$ ， $D$ 位于 $A B$ 的异侧， $E$ 是 $A B$ 的中点，连接 $D E$ ， $E C$ ， $D C$ ，若 $A C = B C$ ， $∠ D B A = 20 °$ ，则 $∠ D E C$ 的大小是．

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8、如图，在 $△ A B C$ 中， $A C$ 的垂直平分线分别交 $A C$ ， $B C$ 于点 $D$ 、 $E$ ，连接 $A E$ ．若 $A E = 3$ ， $B E = 2$ ，则 $B C$ 的长为．

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9、如图，等边 $△ A B C$ 中，点 $D$ ， $E$ 分别在边 $B C$ ， $A C$ 上， $B D = C E = \frac{1}{3} A B$ ， $A D$ ， $B E$ 交于点 $F$ ．若 $A B = 6$ ， $D F = \frac{1}{7} A D$ ．则 $E F$ 的长为（）

A、 $\frac{8 \sqrt{7}}{7}$ B、 $\frac{5 \sqrt{7}}{4}$ C、 $\frac{4 \sqrt{7}}{3}$ D、 $2 \sqrt{7}$

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10、【情景创设】
$\frac{1}{2}, \frac{1}{6}, \frac{1}{12}, \frac{1}{20}, \frac{1}{30}, \dots \dots$ 是一组有规律的数，我们如何求这些连续数的和呢?
【探索活动】
（1）根据规律第6个数是_____， $\frac{1}{132}$ 是第_____个数；
（2）我们知道： $\frac{1}{1 \times 2} = 1 - \frac{1}{2}$ ， $\frac{1}{2 \times 3} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3}$ ， $\frac{1}{3 \times 4} = \frac{1}{3} - \frac{1}{4}$ ，那么：
用含有 $n$ 的式子表示你发现的规律_____．
【方法展示】
$\frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + \frac{1}{4 \times 5} + \frac{1}{5 \times 6} = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \frac{1}{4} - \frac{1}{5} + \frac{1}{5} - \frac{1}{6} = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$ ．这种方法叫“裂项相消”，构造只有符号不同的中间项，将其全部消掉．
【实践应用】
（3）根据上面获得的经验完成下面的计算：
$\frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + \dots \dots + \frac{1}{2025 \times 2026}$ ．
【问题解决】
（4）容器里有1升水，按如下要求把水倒出：第一次倒出 $\frac{1}{2}$ 升水，第二次倒出的水量是 $\frac{1}{2}$ 升的 $\frac{1}{3}$ ，第三次倒出的水量是 $\frac{1}{3}$ 升的 $\frac{1}{4}$ ，第四次倒出的水量是 $\frac{1}{4}$ 升的 $\frac{1}{5}$ ， ……，第 $n$ 次倒出的水量是 $\frac{1}{n}$ 升水的 $\frac{1}{n + 1}$ .按照这种倒水方式，这1升水能否倒完?说明理由．

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11、现规定一种新的运算 $|\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}| = a d - b c$ ，
（1）计算 $|\begin{matrix} - 1 & 2 \\ - 3 & 4 \end{matrix}|$ ；
（2）若 $|\begin{matrix} 3 & 3 \\ 2 - x & 4 \end{matrix}| = 9$ ，求 $x$ 的值；
（3）若 $|\begin{matrix} - 3 m n + 1 & 3 \\ 2 - n & - 4 \end{matrix}|$ 的值与 $n$ 无关，求 $m$ 的值．

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12、在数轴上画出表示下列各数的点，并用“ $<$ ”将这些数按从小到大的顺序连接起来．
$0$ ， $- |- 4|$ ， $- 2.5$ ， $- (- 5)$ ， $1 \frac{1}{2}$ ， $- [- (+ 3)]$ ．

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13、计算：

(1)、 $- 5 a - 2 b + 7 a + 9 b$ ；

(2)、 $- 1^{4} - (1 - 0.5) \times \frac{1}{3} \times [1 - {(- 3)}^{2}]$ ．

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14、如图，将一个正方形，第1次向右平移一下，平移的距离等于对角线长的一半，即其中一个正方形的顶点与另一个正方形的中心重合，并把重叠部分涂上颜色；第2次向右平移连续平移两次，每次平移的距离与第一次平移的距离相同，并且每平移一次把重叠部分涂上颜色，……，则第2025次平移后所得到的图案中所有正方形的个数是．

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15、下列合并同类项正确的有（）
① $- 2 m n + 2 n m = 0$ ；② $3 x^{2} + 2^{2} x^{2} = 5 x^{2}$ ；③ $x^{2} + 2 x^{2} - 5 x^{2} = - 2 x^{2}$ ；④ $- y^{2} + (- y^{2}) = 0$ ．

A、4个 B、3个 C、2个 D、1个

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16、已知 $a - b = - 3$ ， $c + d = 2$ ，则 $(b + c) - (a - d)$ 的值为（　　）

A、 $- 5$ B、 $- 1$ C、 $1$ D、 $5$

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17、下列各数表示在同一数轴上，到原点距离最远的点对应的数是（　　）

A、8 B、 $- 8$ C、 $- 4$ D、 $- 10$

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18、夜晚流星划过天空时留下一道明亮的光线，节日的焰火画出的曲线组成优美的图案，从这些现象中我们发现（）

A、点动成线 B、线动成面 C、面动成体 D、以上都不对

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19、操作与探究
对数轴上的点 $P$ 进行如下操作：先把点 $P$ 表示的数乘以 $\frac{1}{4}$ ，再把所得数对应的点向右平移1个单位，得到点 $P$ 的对应点 $P^{'}$ ．如图，点 $A$ ， $B$ 在数轴上，对线段 $A B$ 上的每个点进行上述操作后得到线段 $A^{'} B^{'}$ ，其中点 $A$ ， $B$ 的对应点分别为 $A^{'}$ ， $B^{'}$ ．

(1)、若点 $A$ 表示的数是 $- 3$ ，求点 $A^{'}$ 表示的数；

(2)、若点 $B^{'}$ 表示的数是2，求点 $B$ 表示的数；

(3)、点 $Q$ 经过上述操作后得到对应点为 $Q^{'}$ ，若点 $Q^{'}$ 对应的数是 $m$ ，则点 $Q$ 对应的数是_____（用含 $m$ 的代数式表示）

(4)、保持前两问的条件不变，点C是线段 $A B$ 上的一个动点，以点C为折点，将数轴向左对折，点B的对应点落在数轴上的 $B_{1}$ 处，若点 $B_{1}$ 与点A之间的距离等于2，则点 $C$ 表示的数是_____．

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20、问题情境：下列A，B，C，D四张卡片上各写有一个数（每张卡片除正面数字不同外其余都相同，下列问题中出现的计算均默认为卡片上的数字）：
聪明的小涵提出了这样一个问题：已知卡片A和卡片B的倒数分别是a和b，卡片C的相反数是c，卡片D相反数的倒数为d．

(1)、 $a =$ ， $b =$ ， $c =$ ， $d =$ ；

(2)、计算： $9 \times (- 4) \times 5 \times (a + b - c + d)$ 的值．

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