相关试卷

1、已知 $2 x = 3 y (y \neq 0)$ ，则下面结论成立的是（）

A、 $\frac{x}{3} = \frac{2}{y}$ B、 $\frac{x}{y} = \frac{3}{2}$ C、 $\frac{x}{2} = \frac{y}{3}$ D、 $\frac{x}{y} = \frac{2}{3}$

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2、如图1，四边形 $A B C D$ 内接于 $⊙ O$ ， $A C$ 为直径， $∠ B D C = 45 °$ ， $A C$ ， $B D$ 交于点 $E$ ， $A B = 20$ ，过点 $O$ 作 $G H ⊥ C D$ ，垂足为 $G$ ，交 $B D$ 于点 $H$ .

(1)、求 $⊙ O$ 的半径；

(2)、当 $D E = E H$ 时，求 $O H : O G$ 的值；

(3)、延长 $G H$ 交 $C B$ 的延长线于点 $Q$ ，当 $H G = 3 O G$ 时，求 $B Q$ 的长.

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3、已知二次函数 $y = 2 x^{2} - 4 a x + a^{2} + 2 a + 2$ （ $a$ 为常数），

(1)、若 $a = 1$ ，求该二次函数图象的对称轴；

(2)、若 $a > 0$ ，该二次函数在 $- 1 \leq x \leq 2$ 时有最小值2，求 $a$ 的值；

(3)、将二次函数 $y = 2 x^{2} - 4 a x + a^{2} + 2 a + 2$ 的图象作适当的平移得新抛物线的解析式为： $y_{1} = 2 (x - h)^{2}$ .若 $2 \leq x \leq m$ 时， $y_{1} \leq x$ 恒成立，求 $m$ 的最大值．

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4、根据已知条件，探索完成任务．

制作简易水流装置
设计方案	如图， $C D$ 是进水通道， $A B$ 是出水通道， $O E$ 是圆柱形容器的底面直径，从 $C D$ 将圆柱形容器注满水，内部安装调节器，水流从 $B$ 处流出且呈抛物线形.以点 $O$ 为坐标原点， $E O$ 所在直线为 $x$ 轴， $O A$ 所在直线为 $y$ 轴建立平面直角坐标系 $x O y$ ，水流最终落到 $x$ 轴上的点 $M$ 处．
示意图
已知	$A B ∥ x$ 轴， $A B = 5 cm$ ， $O M = 15 cm$ ， $B$ 为水流抛物线的顶点，点 $A$ ， $B$ ， $O$ ， $E$ ， $M$ 在同一平面内，水流所在抛物线的函数表达式为 $y = a x^{2} + b x + 15 (a \neq 0)$ .
任务一	（1）求水流抛物线的函数表达式.
任务二	（2）现有一个底面半径为 $3 cm$ ，高为 $11 cm$ 的圆柱形水杯，将该水杯底面圆的圆心恰好放在 $M$ 处，水流是否能流到圆柱形水杯内？请通过计算说明理由.（圆柱形水杯的厚度忽略不计）
任务三	（3）在（2）的条件下，水杯的底面圆的圆心 $P$ 在 $x$ 轴上运动，为了使水流能流到圆柱形水杯内，直接写出 $O P$ 长的取值范围.

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5、如图1，筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，利用水的冲力旋转，当转过一定角度，原先浸在水里的竹筒将提升到一定高度，从而使水流入木槽.假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都按逆时针做匀速圆周运动，每旋转一周用时 $120 s$ ．如图2，把筒车抽象为一个半径为 $r$ 的 $⊙ O$ 筒车涉水宽度 $A B = 3.6 m$ ，筒车涉水深度（劣弧 $A B$ 中点到水面的距离）是 $0.6 m$ .筒车开始工作时， $⊙ O$ 上 $C$ 处的某盛水筒到水面 $A B$ 的距离是 $0.9 m$ ，经过 $85 s$ 后，该盛水筒旋转到点 $D$ 处．请解决下列问题：

(1)、求该筒车半径 $r$ ．

(2)、当盛水筒旋转至 $D$ 处时，求它到水面 $A B$ 的距离．

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6、如图，某无人机爱好者在一小区外放飞无人机，当无人机飞行到一定高度 $D$ 点处时，无人机测得操控者 $A$ 的俯角为 $75 °$ ，测得小区楼房 $B C$ 顶端点 $C$ 处的俯角为 $45 °$ ．已知操控者 $A$ 和小区楼房 $B C$ 之间的距离 $A B$ 长为70米，此时无人机 $D$ 距地面 $A B$ 的高度为74.6米，求小区楼房 $B C$ 的高度．（参考数据： $s i n 75 ° \approx 0.97$ ， $c o s 75 ° \approx 0.26$ ， $t a n 75 ° \approx 3.73$ ）

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7、如图，在等边 $∆ A B C$ 中， $D$ 为 $B C$ 边上一点， $E$ 为 $A C$ 边上一点，且 $∠ A D E = 60 °$ ．

(1)、求证： $∆ A B D \sim ∆ D C E$ ；

(2)、若 $B D = 3$ ， $C E = 2$ ，求 $∆ A B C$ 的边长．

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8、作图题： $⊙ O$ 上有三个点 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $∠ A B C = 50 °$ ，请只用无刻度的直尺作出符合要求的角，并写出符合要求的角．

(1)、在图1中作一个 $100 °$ 的角；

(2)、在图2中作一个 $130 °$ 的角；

(3)、在图3中作一个 $40 °$ 的角．

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9、计算： $(- 2)^{4} - 4 s i n 60 ° + \sqrt{12} + {(\frac{1}{2})}^{0}$ ．

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10、如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 8$ ， $B C = 6$ ， $E$ ， $F$ 分别为 $A B$ ， $C D$ 边的中点．动点 $P$ 从点 $E$ 出发沿 $E A$ 向点 $A$ 运动，同时，动点 $Q$ 从点 $F$ 出发沿 $F C$ 向点 $C$ 运动，连接 $P Q$ ，过点 $B$ 作 $B H ⊥ P Q$ 于点 $H$ ，连接 $D H$ ．若点 $P$ 的速度是点 $Q$ 的速度的 $2$ 倍，在点 $P$ 从点 $E$ 运动至点 $A$ 的过程中，线段 $P Q$ 扫过的面积为，线段 $D H$ 长度的最小值为.

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11、如图①，已知扇形 $A O B$ ，作如下操作：步骤1：以 $O$ ， $B$ 为圆心，大于 $O B$ 的一半为半径作两条相等半径圆弧，连接两条圆弧交点并延长成直线，记为直线 $l$ ；步骤2：直线 $l$ 与 $O B$ 交于点 $C$ ，以点 $C$ 为圆心， $C O$ 为半径作弧交直线 $l$ 于点 $D$ ；步骤3：连接 $O D$ ，以 $O$ 为圆心， $O D$ 为半径作弧，分别交 $O A$ ， $O B$ 于点 $E$ ， $F$ （如图②）经过以上操作，得到扇形 $E O F$ ，若扇形 $A O B$ 面积为 $6 π$ ，则扇形 $E O F$ 的面积是.

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12、如图，经过 $A$ ， $B$ 两点的 $⊙ O$ 与 $A C$ 相切于点 $A$ ，与边 $B C$ 相交于点 $E$ ， $A D$ 为 $⊙ O$ 的直径， $A B = A C$ ，连结 $D E$ ，若 $∠ C = 36 °$ ，则 $∠ B E D$ 的度数为.

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13、如图，在 $△ A B C$ 中，点D是AB上一点(不与点A，B重合)，过点D作 $D E ∥ B C$ 交AC于点E，过点E作 $E F ∥ A B$ 交BC于点F，点G是线段DE上一点， $E G = 2 D G$ ，点H是线段CF上一点， $C H = 2 H F$ ，连接AG，AH，GH，HE.若已知 $△ A G H$ 的面积，则一定能求出( )

A、△ABC的面积 B、 $△ E F C$ 的面积 C、四边形DBFE的面积 D、 $△ A D G$ 的面积

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14、如图，已知正方形ABCD的边长为4cm，以AB，AD为直径作两个半圆，分别取弧AB，弧AD的中点M，N，连结MC，NC．则阴影部分的周长为（）

A、 $2 π + 2 \sqrt{10}$ B、 $2 π + 2 \sqrt{5}$ C、 $2 π + 4 \sqrt{10}$ D、 $2 π + 4 \sqrt{5}$

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15、如果一个矩形的宽与长的比等于黄金比 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ (约为0.618)，就称这个矩形为黄金矩形．如图，矩形ABCD为黄金矩形，宽 $A D = 2$ ，则长AB为( )

A、2 B、4 C、 $\sqrt{5} + 1$ D、 $\sqrt{5} - 1$

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16、已知圆锥的底面圆半径为3，母线长为4，则圆锥的侧面积为（）

A、 $6 π$ B、 $12 π$ C、 $15 π$ D、 $24 π$

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17、已知△ABC∽ $△ D E F$ ， $S_{△ A B C} : S_{△ D E F} = 1 : 4$ ．若 $B C = 1$ ，则EF的长为( )

A、1 B、2 C、3 D、4

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18、已知 $P (x_{1}, y_{1}), Q (x_{2}, y_{2})$ 是抛物线 $y = a x^{2} + b x - \frac{1}{4}$ 上的两个不同点。

(1)、若P，Q 两点都在直线 $y = - \frac{b^{2}}{4} + 2$ 上，且 $x_{1}$ 和 $x_{2}$ 是于的一元二次方程 $x^{2} + b x + k = 0$ 的两根，求k 的值以及线段PQ 的长；

(2)、若抛物线经过点 (1，1)，直线PQ 过坐标原点O ，且. $∠ P O Q = 9 0^{\circ},$ 求 $\frac{1}{O P^{2}} + \frac{1}{O Q^{2}}$ 的值；

(3)、若点P，Q在抛物线对称轴的左侧， $x_{1}, x_{2}$ 为整数，且 $x_{1} < x_{2},$ 同时满足 $x_{1} + x_{2} = - b - 1,$ 证明： $x_{1} - x_{2} + y_{1} - y_{2}$ 正值。

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19、在 $△ A B C$ 中，AB=AC，D 为直线AB上一点，E 为直线BC上异于点C 的一点，连接DC，DE ，使.DC=DE.

(1)、如图1，若点D 在线段AB 上， .BC=DC，求证 $△ D B E \approx △ C D A;$

(2)、如图2，若点D 在线段AB 上，AD=1，求BE的长；

(3)、如图3，若点D 在线段 BA 的延长线上，点E 在线段BC上，DE交CA于点F，. $∠ A B C = 60$ °， AD=CD ，求 $\frac{A F}{D F}$ 的值。

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20、如图，在平面直角坐标系中，二次函数 $y = a x^{2} + b x + 3$ 的图象与x 轴交于点.A(-1，0)，该抛物线的对称轴为直线x=1，抛物线与x轴的另一个交点为B，与轴的交点为C，点D为线段BC 上的一动点。

(1)、求a，b 的值；

(2)、如图①，连接OD ，并延长OD 交抛物线于点E ，若OE 垂直平分BC ，求点E 的坐标；

(3)、如图②，过动点D 作 $D P ‖ A C$ 交抛物线第一象限部分于点P，连接PA，PB，记 $△ P A D$ 与 $△ P B D$ 的面积和为S，当S取得最大值时，求P点的坐标，并求此时S的最大值.

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