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相关试卷

1、在平面直角坐标系中，若点 P的横坐标和纵坐标相同，则称点 P为“幸运点”，如点（-1，-1)，（5，5)都是“幸运点”.

(1)、小清认为所有的“幸运点”都在同一条直线 L上，请直接写出直线 L的解析式：；

(2)、小芳在研究抛物线 $C_{1} : y = a x^{2} - b x + 4 (a \neq 0)$ 时，发现它的图象上有且只有一个“幸运点”（2，2). 请你帮她求出 a，b的值.

(3)、在（2）的条件下将抛物线 C₁向下平移 1个单位得到抛物线 C₂ ，若 C₂上有两个“幸运点”分别是M （x₁ ， y₁) ， N （x₂ ， y₂) （其中 $x_{1} \leq x \leq x_{2}$ 时，求出 C₂中 y的最大值与最小值的差.

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2、如图，在△ABC中， AB=AC，以 AB为直径的⊙O交 BC于点 D，过点 D作 DE⊥AC，垂足为点 E，延长CA交⊙O于点 F.

(1)、求证： DE是⊙O的切线；

(2)、若 AF=4， ∠C=30°，求图中阴影部分的面积.

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3、某小超市销售甲、乙两种品牌的水杯，这两种水杯的进价和售价如表所示：

甲
乙
进价（元/个)
40
25
售价（元/个)
43
30

(1)、该超市计划用 1550元资金，购进两种水杯若干个，全部销售后可获利润 210元. 超市购进甲、乙两种水杯各多少个?

(2)、这批两种水杯售罄后，该超市决定再次购买两种水杯，减少甲种水杯的购进数量，增加乙种水杯的购进数量. 已知乙种水杯增加的数量是甲种水杯减少数量的 2倍，而且用于再次购进这两种水杯的资金不超过1600元，该超市怎样进货，使第二批销售获得的利润最大?并求出最大利润.

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4、为进一步提升学生的安全意识，某校举办了安全知识竞赛，现从全校八、九年级学生中各随机抽取 20名学生的竞赛成绩（百分制)，对竞赛成绩进行统计分析，形成如下报告（不完整)：

主题项目

校园安全知识竞赛成绩分析报告

数据收集

八年级学生成绩

80， 80， 100， 90， 80，

70， 70， 80， 70， 90，

70， 80， 100， 90， 60，

80， 90， 80， 90， 90

九年级学生成绩

90， 90， 100， 80， 80，

60， 70， 80， 60， 100，

60， 70， 90， 80， 90，

90， 90， 70， 100， 90

数据整理与分析

八、九年级学生成绩分析表

统计量年级	平均数	中位数	众数
八年级	82	80	80
九年级	82		90

任务 1

①补全条形统计图；

②求“扇形统计图”中80分所在扇形圆心角的度数；

③直接写出成绩分析表中，九年级学生成绩的中位数 n= ▲ ；

任务 2

该校九年级学生共 1200人，请估计成绩不低于 80分的人数；

任务 3

根据上述统计数据，你认为哪个年级的成绩更好?请说明理由.

根据所给信息，请完成以上所有任务.

5、计算： ${(- 1)}^{2025} - ∣ - 7 ∣ + \sqrt{9} \times {(\sqrt{7} - π)}^{0} + {(\frac{1}{5})}^{- 1} .$

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6、如图，已知正方形 ABCD的边长为 2，以点 A为圆心，1为半径作圆，E是⊙A上的任意一点，将线段 DE绕点 D 顺时针方向旋转 90°并缩短到原来的一半，得到线段 DF，连结 AF，则 AF的最小值是.

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7、如图，平行四边形 ABCD的顶点 A在 x轴上，点 D在 $y = \frac{k}{x} (k ＞ 0)$ 上，且 AD⊥x轴，CA的延长线交y轴于点 E. 若 $S △ A B E = \frac{3}{2},$ 则 k=.

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8、如图，将△AOB沿 x轴方向向右平移得到△CDE，点 B的坐标为（6， 0)， DB=2，则点 E的坐标为.

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9、如图，折叠正方形 ABCD的一边 AD，使点 A落在 BD上的点 N处，折痕 DM交AC于点 P. 若 BM=8，则 AP的长是（ )

A、 $4 \sqrt{2}$ B、4 C、 $2 \sqrt{2} + 2$ D、 $2 \sqrt{2} - 2$

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10、如图，某停车场入口的栏杆 AB，从水平位置绕点 O旋转到 A'B'的位置，已知AO的长为 4米. 若栏杆的旋转角 $∠ A O A^{'} = α,$ 则栏杆 A端升高的高度为（ )

A、 $\frac{4}{s i n α}$ 米 B、4sinα米 C、 $\frac{4}{c o s α}$ 米 D、4cosα米

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11、如果公元前 600年记作-600年，那么公元 2026年应记作（ )

A、-2026年 B、+1426年 C、+2026年 D、+2626年

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12、【数学定义】在平面直角坐标系 xOy中，对于已知点 P，M，N，给出如下定义：若点 P恰好在以 MN为直径的圆上，且满足 PM=PN，则称点 P为点 M与点 N的“圆生点”.
【问题背景】如图 1，在平面直角坐标系 xOy中，直线 y=-x+4与 x轴，y轴分别交于点 A，B.
【初步探究】

(1)、点 A 的坐标为，点 B的坐标为；

(2)、若已知坐标系中一点的坐标为（1，-2)，则该点与点 A的“圆生点”的坐标是；

(3)、【问题解决】
如图 2，作 AC⊥x轴，作 BC⊥y轴， AC与 BC相交于点 C，点 D在射线 AB上，点 E在 y轴上，若点 D恰好是点 C与点 E的“圆生点”，设 BD=n，△CDE的面积为 S，请求出 S关于 n的关系式；

(4)、若以 y轴上的一点 M （0，m)为圆心，2为半径作⊙M，点 F为 y轴上的动点，在⊙M上存在点 G，使得点 F恰好为点 A 与点 G的“圆生点”，请直接写出 m的取值范围.

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13、已知抛物线 $y = a x^{2} - (3 a - 1) x - 2$ （a为常数且 a≠0) .

(1)、无论 a取何值，抛物线都过两个定点 A，B（点 A 在点 B的左侧)，请求出这两个定点的坐标；

(2)、若 a=-1，当-1≤x≤t时，二次函数的最大值与最小值相差 9，求 t的取值范围；

(3)、将（1）中点 A 与点 B之间的函数图象记作图象 G （包含点 A，B)，若将图象 G在 x轴上方的部分保持不变，下方的部分沿 x轴进行翻折，可以得到新的函数图象 G₁ ，若图象 G₁上仅存在两个点到直线y=3的距离为 $\frac{3}{2}$ ，求 a的值.

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14、综合与实践
【主题】汽车盲区与行车安全实践探究
【素材】素材一：汽车盲区是指司机位于正常驾驶位置时，其视线被车体遮挡而不能直接观察到的那部分区域. 在汽车行驶时，若行人、非机动车处于汽车盲区内，极易引发交通事故. 如图 1为某型号小汽车的车头、车尾盲区（可以近似看作矩形)，以及两侧后视镜的可见区域.
素材二：如图 2，若司机位于正常驾驶位置的双眼高度AB=1. 5m，双眼与车头连线上某点 C与地面距离CD=1m，该点与车头水平距离 DE=0. 5m，驾驶员与车头水平距离 BE=2m，点 M在 EF上， ME=0. 8m.
素材三：如图 3，这辆小汽车在平直的公路上匀速行驶，正后方跟随着一辆速度为 72km/h的摩托车. 如果此时小汽车司机紧急刹车，那么摩托车司机也随即刹车，但摩托车司机有一个 1. 2s的反应时间. 已知小汽车从开始刹车到完全停住的行驶距离为 32m，摩托车从开始刹车到完全停住的行驶距离为 42m，小汽车车尾盲区为正后方长为 5m的矩形区域.
【问题解决】

(1)、①如图 2，求车头盲区 EF的长度；
②在 M处有一个高度为 0. 5m的物体，驾驶员能观察到物体吗?请作出判断，并说明理由；

(2)、如图 3，在摩托车刹车前，摩托车应与小汽车至少保持m的距离，才不会闯入小汽车的车尾盲区.

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15、广东以“打造世界领先的低空经济产业高地”为目标，在低空经济领域发展迅速. 某广东物流公司计划在粤港澳大湾区开通无人机配送服务. 现需采购两种型号的物流无人机，请根据以下素材完成相关任务：
素材一：A型无人机：适用于城市内短途配送；B型无人机：适用于跨城际长途配送.
素材二：已知采购 2架 A型无人机和 3架 B型无人机总价为 92万元；采购 4架 A型无人机和 1架 B型无人机总价为 56万元.
素材三：该公司欲采购这两种无人机共 44架. 根据大湾区配送网络规划：
①A型无人机数量不少于 B型无人机的 3倍，以确保城市内配送密度；
②B型无人机至少采购 5架，以满足跨城际配送需求.

(1)、任务一：确定 A型无人机和 B型无人机的单价；

(2)、任务二：请你根据大湾区配送网络规划，帮该公司确定最省钱的购买方案，并求出此方案的购买资金.

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16、【探究背景】图形的旋转是初中几何图形变化中的一个重要内容，数学“冲刺组”的同学为进一步探究旋转的相关内容，利用几何画板绘制了如下图形进行动态操作：如图 1，在 $△ A B C$ 中， $∠ B = 9 0^{\circ}, A B = B C,$ 将 $△ A B C$ 绕点 C顺时针旋转一定的角度后得 $△ D C E,$ 点 B的对应点为点 D，点 A 的对应点为点 E.

(1)、【特例感知】如图 2，连接 AD，AE，当点 D恰好落在线段 AE上时，判断四边形 ABCD的形状，并证明；

(2)、【猜想证明】如图 3，连接 BD，AE，在旋转的过程中，同学们发现 BD和 AE的比值始终为一个定值，请你求出这个比值.

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17、 2025年第十五届全运会由广东、香港、澳门共同举办，为弘扬全运会体育精神，某校在七、八年级开展了“全运会知识竞赛”活动，现从这两个年级中各随机抽取 10名学生的成绩进行整理分析，部分信息如下：
信息一：数据收集（单位：分)
七年级抽取的 10名学生的成绩： 50， 68， 72， 79， 79， 80， 84， 90， 98， 100；
八年级抽取的 10名学生的成绩： 60， 60， 65， 74， 84， 84， 85， 96， 96， 96.
信息二：数据整理与分析
年级
平均数
中位数
众数
方差
七年级
80
a
79
c
八年级
80
84
b
188. 6

(1)、填空： a= ， b= ， c=；

(2)、根据以上数据，你认为哪个年级的成绩更加优秀?请从两个不同的统计角度说明理由.

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18、如图，在△ABC中， ∠A=30°， CD平分∠ACB交 AB 于点 D.

(1)、尺规作图：过点 D作 DE∥BC，交 AC边于点 E （不写作法，保留作图痕迹) ；

(2)、在（1）的条件下，若∠ACB=90°， AD=4，求线段 AC的长.

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19、先化简，再求值： $\frac{2}{x - 2} - \frac{x^{2} - x}{x^{2} - 4} \div \frac{x}{x + 2},$ 其中 x=-1. 对于这道题，小华的解法如下：
解：原式 $= \frac{2}{x - 2} - \frac{x (x - 1)}{(x + 2) (x - 2)} \cdot \frac{x + 2}{x} \dots$ 第①步
$= \frac{2}{x - 2} - \frac{x - 1}{x - 2} \dots$ 第②步
$= \frac{2 - x - 1}{x - 2} \dots$ 第③步
$= \frac{1 - x}{x - 2} \dots$ 第④步
当 x=-1时，原式=1 - （-1) =-2…第⑤步
小华的解法对吗?如果不对，请指出她是从第几步开始出错的，并写出正确的解答过程.

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20、如图， △AOB的顶点 B在反比例函数 $y = - \frac{4}{x}$ 的图象上，且∠AOB=90°，已知点 A 的坐标为（2，4)，则点 B 的坐标为.

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