初中数学北师大版（2024）-试题列表-第72页

1、2026年春节联欢晚会主标识“骐骥驰骋纹”，巧妙融合中国传统云纹、雷纹、回纹等经典元素．以下纹样中，是轴对称图形的是（）

A、

B、

C、

D、

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2、综合与实践．

将△ABC绕点A逆时针方向旋转α，并使各边长变为原来的n倍，得到△AB'C'，我们将这种图形变换给一个新定义，记为[α，n]．

(1)、问题发现

如图①，对△ABC作变换 $[50 ° ， \sqrt{3}]$ 得△AB'C'，则S_△_ABC：S_△_AB_'_C'＝；直线BC与直线B'C'所夹的锐角度数为．

(2)、拓展探究

如图②，△ABC中，∠BAC＝35°且AB： $A C = \sqrt{2}$ ，对△ABC作变换 $[60 ° ， \sqrt{3}]$ 得△AB'C'连结BB'，CC'，求S_△_ABB'：S_△_ACC'的值及直线BB'与直线CC'相交所成的较小角的度数，并就图②的情形说明理由．

(3)、问题解决

如图③，△ABC中，∠BAC＝30°，∠ACB＝90°，对△ABC作变换[α，n]得△AB'C'，若使点B ， C ， C'在同一直线上，且四边形ABB'C'为矩形，请写出α和n的值，并写出你的探究过程．

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3、【发现问题】小明在学习过程中发现：周长为定值的矩形中面积最大的是正方形．那么，面积为定值的矩形中，其周长的取值范围如何呢？

【解决问题】小明尝试从函数图象的角度进行探究：

(1)、建立函数模型

设一矩形的面积为4，周长为m ，相邻的两边长为x、y ，则xy＝4，2（x+y）＝m ，即 $y = \frac{4}{x}$ ， $y = - x + \frac{m}{2}$ ，那么满足要求的（x ， y）应该是函数 $y = \frac{4}{x}$ 与 $y = - x + \frac{m}{2}$ 的图象在第象限内的公共点坐标．

(2)、画出函数图象

①请在图中通过描点连线画出函数 $y = \frac{4}{x} (x ＞ 0)$ 的草图；

②在同一平面直角坐标系中直接画出y＝﹣x的图象，则 $y = - x + \frac{m}{2}$ 的图象可以看成是由y＝﹣x的图象向上平移 ▲ 个单位长度得到．

(3)、研究函数图象

平移直线y＝﹣x ，观察两函数的图象；

①当直线 $y = - x + \frac{m}{2}$ 平移到函数 $y = \frac{4}{x} (x ＞ 0)$ 的图象有唯一公共点（2，2）时，则m的值为；

②当直线 $y = - x + \frac{m}{2}$ 平移的过程中与函数 $y = \frac{4}{x} (x ＞ 0)$ 的图象交于点A（1，a）和点B时，请直接写出满足 $- x + \frac{m}{2} \leq \frac{4}{x}$ 的x的取值范围．

(4)、【结论运用】

请写出面积为10的矩形的周长m的取值范围为．

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4、兰州白塔山，是兰州市的文化地标，建于元代，重建于明代．白塔居白塔寺中，塔身为八面七级，上有绿顶，下有圆基，通体洁白，挺拔秀丽．白塔与兰州黄河铁桥构成雄浑壮丽的画面，成为兰州市的象征之一．某校九年级“综合与实践”小组开展了“白塔高度的测量”项目化学习，经过测量，形成了如表不完整的项目报告：

测量对象	兰州白塔山塔高
测量目的	1．学会运用三角函数有关知识解决生活实际问题； 2．培养学生动手操作能力，增强团队合作精神
测量工具	无人机、测角仪等
测量方案	1．先将无人机垂直上升至距水平地面50m的P点，测得白塔的顶端A的俯角为22°， 2．再将无人机沿水平方向飞行50m到达点Q ，测得塔的顶端A的俯角为45°．
测量示意图

请根据以上测量数据，求白塔AB的高度．（结果精确到1m ，参考数据：sin22°≈0.4，cos22°≈0.9，tan22°≈0.4）．

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5、如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O ，

(1)、尺规作图：在边CD的左侧，作∠CDE＝∠ACB ，使

D E = \frac{1}{2} A C

；

(2)、在（1）的条件下，连接CE ．求证：四边形OCED为矩形；

(3)、在（2）的条件下，连接AE ，交CD于F点，菱形ABCD中，若DB＝10，AC＝12，求EF的长．

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6、自5月10日“苏超”开赛以来，江苏各市文旅不断推动观赛体验与文化体验紧密串联，有效带动了江苏文旅消费．某旅行社推出了“跟着苏超去旅行”活动，现要对活动方案进行升级，需要对定价和报名人数进行调研．

“跟着苏超去旅行”的活动调研
素材1	6月份，报名参加“跟着苏超去旅行”活动的人数有1500人，随着“苏超”热度不断提升，8月份的报名达到2160人．
素材2	经过研讨，旅行社初步制定方案为：30人起组团；每人团费900元．
素材3	在统计游客的反馈后，发现每人团费每下降10元，平均每个团报名的人数会增加1人，但每人团费不低于750元．
问题解决
任务1	确定增长率	求从6月份到8月份“跟着苏超去旅行”活动报名人数的平均增长率．
任务2	拟定价格方案	若旅行社要使平均每个团的总团费为32000元，求下调后每人的团费．

请完成“问题解决”中的任务1和任务2．

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7、某校第二课堂准备设置球类课程，随机抽取部分学生进行问卷调查，被调查学生须从“羽毛球”“篮球”“足球”“排球”“乒乓球”中选择自己最喜欢的一项．根据调查结果绘制了不完整的条形统计图和扇形统计图，请根据图中信息，解答下列问题：

(1)、此次共调查了名学生；

(2)、将条形统计图补充完整；

(3)、该校把最受欢迎的“羽毛球”“篮球”“足球”设置为选修内容．小明和小亮分别从三个项目中任选一项进行训练，利用树状图或表格求出他俩选择同一项目的概率．

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8、

(1)、解方程：x²+4x﹣5＝0；

(2)、

\sqrt{18} - (π - 1)^{0} - 2 c o s 45 ° + (\frac{1}{2})^{- 1}

．

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9、如图，一次函数y＝ax+b的图象与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，与反比例函数

y = \frac{k}{x} (x ＞ 0)

的图象交于点C，D．若tan∠BAO＝2，BC＝3AC，则点D的坐标为．

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10、大自然鬼斧神工，一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”的美．如图，P为线段AB的黄金分割点（AP＞PB）．如果AB的长度为10cm ，那么BP的长度是 cm ．

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11、把抛物线y＝4x²向下平移3个单位长度就得到抛物线．

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12、如图，△ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形，

\frac{O A}{O D} = \frac{2}{5}

， △ABC的周长为8，则△DEF的周长为．

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13、如图，直线l与x轴平行且与反比例函数

y = - \frac{3}{x} (x ＜ 0)

与

y = \frac{8}{x} (x ＞ 0)

的图象分别交于点A和点B ，点P是x轴上一个动点，则△APB的面积为（　　）

A、5.5 B、5 C、4.5 D、4

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14、已知点A（﹣2，y₁），B（1，y₂），C（6，y₃）都在二次函数y＝﹣4（x﹣3）²+a的图象上，则y₁ ， y₂ ， y₃的大小关系为（　　）

A、y₁＞y₂＞y₃ B、y₂＞y₁＞y₃ C、y₂＞y₃＞y₁ D、y₃＞y₂＞y₁

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15、如图是一架人字梯及其侧面示意图，已知AB∥CD∥EF ， AC＝50cm ， CE＝30cm ， BD＝45cm ，则DF长为（　　）

A、27cm B、50cm C、72cm D、80cm

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16、如图，在电线杆离地面8米高的点A处向地面拉一根缆绳，缆绳和地面成52°角，则该缆绳AC的长为（　　）

A、

\frac{8}{s i n 52 °}

B、

\frac{8}{c o s 52 °}

C、

\frac{8}{t a n 52 °}

D、8•sin52°

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17、用配方法解一元二次方程x²﹣4x﹣3＝0，下列配方正确的是（　　）

A、（x﹣2）²＝7 B、（x+2）²＝7 C、（x﹣2）²＝1 D、（x+2）²＝1

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18、如图所示的几何体的主视图为（　　）

A、

B、

C、

D、

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19、在平面直角坐标系中，直线

l_{1}

：y=2x+6分别与y轴，x轴交于点A，B.

(1)、以B为直角顶点向上作等腰直角三角形ABE，求点E的坐标；

(2)、将直线绕点A 顺时针旋转45°得到

l_{2}

，求

l_{2}

的函数表达式

(3)、在(2)的条件下，直线

l_{2}

交x轴于点C，若点Q是直线

l_{1}

上且位于第三象限图象上的一个动点，点M是y轴上的一个动点，当以点C、M、Q为顶点的三角形为等腰直角三角形时，直接写出点Q和点M的坐标。

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20、下表是某工厂设计玩具的裁剪方案．

课题	设计裁剪方案
素材1	如图①所示是一套豌豆样式的玩具，主要由一个豌豆荚和三个豌豆组成．如图②所示，制作一个豌豆所需布料的尺寸是40cm×40cm；如图③所示，制作一个豌豆荚所需布料的尺寸是40cm×140cm ．三个豌豆和一个豌豆荚可以组成一套完整的玩具．
素材2	某玩具加工厂在清点库存时发现仓库有一批80cm×1000cm的布料，于是厂家准备将这批布料裁剪成豌豆玩具所需的尺寸．（不计剪裁时的损耗）
我是裁剪师	任务一	拟定裁剪方案	若要不造成布料浪费，请你将下列方案补充完整．方案一：裁剪50张豌豆的布料和0张豌豆荚的布料；方案二：裁剪8张豌豆的布料和 ▲ 张豌豆荚的布料；方案三：裁剪 ▲ 张豌豆的布料和4张豌豆荚的布料．
	任务二	解决实际问题	若该工厂现要制作800套豌豆玩具，按照方案一裁剪了4张布料，剩下按照方案二和方案三的方案裁剪，在没有布料浪费的条件下还需从仓库拿几张布料？

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