相关试卷

1、已知 $x^{m} = 3, x^{n} = 6$ ，则 $x^{2 m - n}$ 的值为（）

A、0 B、3 C、 $\frac{3}{2}$ D、 $\frac{4}{3}$

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2、从3， $- 1$ ， $\frac{1}{2}$ ， 1， $- 3$ 这5个数中，随机抽取一个数记为a ，若数a使关于x的不等式组 ${\begin{array}{l} \frac{1}{3} (2 x + 7) \geq 3 \\ x - a < 0 \end{array}$ 无解，且使关于x的分式方程 $\frac{x}{x - 3} - \frac{a - 2}{3 - x} = - 1$ 有整数解，那么这5个数中所有满足条件的a的值之积是（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、3 C、 $- 3$ D、 $- \frac{3}{2}$

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3、若 $3^{x} = 4$ ， $3^{2 y} = 36$ ，则 $3^{x - 2 y}$ 的值是（）

A、 $\frac{1}{9}$ B、9 C、 $\frac{1}{3}$ D、3

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4、下列各式是分式的是（）

A、 $\frac{x}{π}$ B、 $\frac{x}{3}$ C、 $\frac{x}{x + 2}$ D、 $\frac{x + 1}{- 2}$

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5、习近平总书记指出，中华优秀传统文化是中华民族的“根”和“魂”．为了大力弘扬中华优秀传统文化，某校决定开展名著阅读活动．图书管理员用3600元购买若干套“四大名著”后，发现这批图书满足不了学生的阅读需求，因此又用2400元购买了第二批该套书，此时正赶上图书城八折优惠，于是第二批购买的套数只比第一批少4套．设第一批购买的“四大名著”每套的价格为x元，则符合题意的方程是（）

A、 $\frac{3600}{0.8 x} - \frac{3600}{x} = 4$ B、 $\frac{3600}{x} - \frac{2400}{0.8 x} = 4$ C、 $\frac{2400}{0.8 x} - \frac{3600}{x} = 4$ D、 $\frac{2400}{0.8 x} - \frac{2400}{x} = 4$

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6、下列运算正确的是（）

A、 $a^{3} \cdot {(- a)}^{4} = a^{7}$ B、 ${(a^{2})}^{6} = a^{8}$ C、 ${(2 a b^{2})}^{3} = 2 a^{3} b^{6}$ D、 $- a^{8} \div a^{2} = - a^{4}$

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7、若把分式 $\frac{3 y}{x + y}$ 中的 $x$ ， $y$ 都扩大到原来的3倍，那么分式的值（）

A、扩大为原来的9倍 B、扩大为原来的3倍 C、不变 D、缩小到原来的 $\frac{1}{3}$

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8、下列算式中，结果等于 $a^{5}$ 的是（）

A、 $a^{2} + a^{3}$ B、 $a^{2} · a^{3}$ C、 ${(a^{2})}^{3}$ D、 $a^{10} \div a^{2}$

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9、某校数学课外活动小组的同学，针对两个正数之和与这两个正数之积的算术平方根的两倍之间的关系进行了探究.
【探究发现】
$6 + 6 = 2 \sqrt{6 \times 6} = 12$ ； $\frac{1}{5} + \frac{1}{5} = 2 \sqrt{\frac{1}{5} \times \frac{1}{5}} = \frac{2}{5}$ ；
$0.3 + 0.3 = 2 \sqrt{0.3 \times 0.3} = 0.6$ ； $\frac{1}{3} + 3 > 2 \sqrt{\frac{1}{3} \times 3} = 2$ ；
$0.2 + 3.2 > 2 \sqrt{0.2 \times 3.2} = 1.6$ ； $\frac{1}{3} + \frac{1}{27} > 2 \sqrt{\frac{1}{3} \times \frac{1}{27}} = \frac{2}{9}$ .
【猜想结论】
若 $a > 0$ ， $b > 0$ ，则 $a + b \geq 2 \sqrt{a b}$ .
【说明结论】
因为 ${(\sqrt{a} - \sqrt{b})}^{2} \geq 0$ ，所以 $a - 2 \sqrt{a b} + b \geq 0$ .
①当 $\sqrt{a} - \sqrt{b} = 0$ ，即 $a = b$ 时， $a - 2 \sqrt{a b} + b = 0$ ，即 $a + b = 2 \sqrt{a b}$ ；
②当 $\sqrt{a} - \sqrt{b} \neq 0$ ，即 $a \neq b$ 时， $a - 2 \sqrt{a b} + b > 0$ ，即 $a + b > 2 \sqrt{a b}$ .
综上所述，若 $a > 0$ ， $b > 0$ ，则 $a + b \geq 2 \sqrt{a b}$ .
【应用结论】

(1)、若 $y = x + \frac{1}{x} (x > 0)$ ，当 $x$ 取何值时， $y$ 的值最小？最小值是多少？

(2)、若 $y = \frac{1}{x - 5} + x (x > 5)$ ，当 $x$ 取何值时， $y$ 的值最小？最小值是多少？

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10、在解决问题“已知 $a = \frac{1}{\sqrt{2} - 1}$ ，求 $3 a^{2} - 6 a - 1$ 的值”时，小明是这样解答的：
解：因为 $a = \frac{1}{\sqrt{2} - 1} = \frac{\sqrt{2} + 1}{(\sqrt{2} - 1) (\sqrt{2} + 1)} = \sqrt{2} + 1$ ，所以 $a - 1 = \sqrt{2}$ ，
所以 $(a - 1)^{2} = 2$ ，所以 $a^{2} - 2 a + 1 = 2$ ，所以 $a^{2} - 2 a = 1$ ，
所以 $3 a^{2} - 6 a - 1 = 3 (a^{2} - 2 a) - 1 = 3 - 1 = 2$ .
请你仿照小明的解答过程，解决下列问题：

(1)、化简： $\frac{2}{3 - \sqrt{7}}$ ；

(2)、若 $b = \frac{1}{3 + 2 \sqrt{2}}$ ，求 $2 b^{2} - 12 b + 1$ 的值.

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11、已知二次根式 $\sqrt[a + b - 3]{4 b}$ 和最简二次根式 $\sqrt{3 a - b}$ 可以合并，且 $\sqrt{b}$ 是最简二次根式，求 $\sqrt{a + 10 b}$ 的值.

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12、阅读下面这道题的解答过程，判断是否正确，若不正确，请写出正确的解答过程.
化简： $\sqrt{- a^{3}} - a^{2} \cdot \sqrt{- \frac{1}{a}} + \sqrt{a^{2}}$ .
解：原式 $= a \sqrt{- a} - a^{2} \cdot \frac{1}{a} \cdot \sqrt{- a} + a$
$= a \sqrt{- a} - a \sqrt{- a} + a = a$ .

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13、计算：

(1)、 $\sqrt{12} - 4 \sqrt{\frac{1}{8}} - (3 \sqrt{\frac{1}{3}} - 4 \sqrt{0.5})$ ；

(2)、 $(1 - \sqrt{5}) (\sqrt{5} + 1) - (\sqrt{5} - 1)^{2}$ .

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14、已知 $\sqrt{2 \frac{2}{3}} = 2 \sqrt{\frac{2}{3}}$ ； $\sqrt{3 \frac{3}{8}} = 3 \sqrt{\frac{3}{8}}$ ； $\sqrt{4 \frac{4}{15}} = 4 \sqrt{\frac{4}{15}}$ ； $\sqrt{5 \frac{5}{24}} = 5 \sqrt{\frac{5}{24}}$ ；….按此规律，请写出第2 025个式子： .

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15、已知 $a$ ， $b$ 分别是 $3 - \sqrt{2}$ 的整数部分和小数部分，则 $(a - \sqrt{2}) (b - 1)$ 的值为_ _ .

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16、小荣在 $(\sqrt{8} - \sqrt{\frac{1}{2}}) ☐ \sqrt{2}$ 中的“ $☐$ ”内填入运算符号“×”得到的结果为 $m$ ，小德在 $(\sqrt{8} - \sqrt{\frac{1}{2}}) ☐ \sqrt{2}$ 中的“ $☐$ ”内填入运算符号“ $\div$ ”得到的结果为 $n$ ，则 $m n$ 的值为 .

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17、若 $a$ ， $b$ 都是实数，且 $b = \sqrt{1 - 2 a} + \sqrt{2 a - 1} + 3$ ，则 $a b$ 的值为 .

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18、对于任意的正数 $m$ ， $n$ ，定义新运算： $m ※ n = \{\begin{array}{l} \sqrt{m} - \sqrt{n} (m \geq n), \\ \sqrt{m} + \sqrt{n} (m < n), \end{array}$ 计算 $(5 ※ 3) \times (12 ※ 20)$ 的结果为（）

A、 $4 - 4 \sqrt{15}$ B、 $2 \sqrt{5} + 2 \sqrt{3}$ C、4 D、32

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19、实数 $a$ ， $b$ 在数轴上对应点的位置如图，则 $\sqrt{(a + 2)^{2}} + \sqrt{(b - 2)^{2}} + \sqrt{(a - b)^{2}}$ 的化简结果是（）

A、4 B、 $2 a$ C、 $2 b$ D、 $2 a - 2 b$

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20、下列计算正确的是（）

A、 $5 \sqrt{5} - 4 \sqrt{5} = 1$ B、 $\sqrt{3} + \sqrt{2} = \sqrt{6}$ C、 $\sqrt{3} \times \sqrt{2} = \sqrt{5}$ D、 $3 \sqrt{5} + 2 \sqrt{5} = 5 \sqrt{5}$

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