相关试卷

1、项目化学习
项目主题：测量校园古槐的高度．
项目背景：古树因城而增色，古城因树而厚重，山西人对槐树有着特殊的感情，槐香处处，是这座城市温馨的名片之一，在我校校园里也有着一棵历经沧桑的古槐，我班数学实践小组想要测量这棵古槐树的高度．
研究步骤：
（1）小组成员讨论后，设计了如下两种测量方案，并画出相应的测量草图．
备注：两位同学的观测点C、D到地面的距离相等，线段 $E F$ 长表示该树的高度，点 $A, B, C, D, E, F$ 均在同一竖直平面内；
（2）准备测量工具：测角仪，皮尺；
（3）实地测量并记录数据；
方案一
$C A = D B = 1.6 m$
$α = 30 °$
$β = 45 °$
$A B = 23 m$
方案二
$C A = D B = 1.6 m$
$α = 30 °$
$β = 45 °$
$A B = 6.3 m$
问题解决：请你选择一种方案计算这棵古愧树的高度 $E F$ ．（结果精确到 $1 m$ ）（参考数据： $\sqrt{2} = 1.41, \sqrt{3} = 1.73$ ）

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2、某企业为开启网络直播带货的新篇章，计划购买A，B两种型号直播设备．已知A型设备价格是B型设备价格的 $1.2$ 倍，用4800元购买A型设备的数量比用3000元购买B型设备的数量多5台．

(1)、求A，B型设备单价分别是多少元；

(2)、该企业计划购买两种设备共60台，要求A型设备数量不少于B型设备数量的一半，设购买A型设备a台，购买总费用为w元，求w与a的函数关系式，并求出最少购买费用．

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3、央行推出数字货币，支付方式即将变革，调查结果显示，目前支付方式有：A微信、B支付宝、Ｃ现金、D其他，调查组对某超市一天内购买者的支付方式进行调查统计，根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图：
请你根据统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）本次一共调查了多少名购买者？
（2）请补全条形统计图；
（3）在扇形统计图中，C种支付方式所对应的圆心角为______度；
（4）在一次购物中，小明利小亮都想从“微信”、“支付宝”、“现金”三种付款方式中选一种方式进行付款，请用树状图或列表法求出两人恰好选择同一种付款方式的概率．

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4、计算： $2 \sin 30 ° - {(\frac{1}{2})}^{- 1} + \sqrt{9} - {(\sqrt{3} - 1)}^{0}$ ．

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5、当 $m$ 时，关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - 2 x + m = 0$ 有两个不相等的实数根．

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6、生命在于运动，黄老师每天都坚持锻炼身体，某一周黄老师每天锻炼的时间情况统计如下：
星期
一
二
三
四
五
六
日
时间/ $m i n$
$55$
$60$
$75$
$50$
$65$
$55$
$70$
则这一周黄老师每天锻炼时间的中位数是．

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7、如下图，在 $⊙ O$ 中， $∠ A O C = 108 °$ ， $∠ A B C$ 的度数是．

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8、下列计算正确的是（）

A、 ${(a - b)}^{2} = a^{2} - b^{2}$ B、 $a^{5} \div a^{4} = a$ C、 ${(a b^{2})}^{3} = a b^{6}$ D、 $a^{3} + a^{2} = a^{5}$

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9、以下列长度的三条线段为边，能组成三角形的是（）

A、 $1 cm$ ， $2 cm$ ， $3 cm$ B、 $3 cm$ ， $4 cm$ ， $8 cm$ C、 $3 cm$ ， $3 cm$ ， $5 cm$ D、 $4 cm$ ， $5 cm$ ， $11 cm$

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10、“音符是连接作曲家与听众心灵的桥梁．”下列音符图片中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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11、综合与探究
【定义】如图 1，点O是▱ABCD的对角线的交点，过点O作OM⊥BC， ON⊥AB，垂足分别为M、N.若ON≥OM时，我们称 $λ = \frac{O N}{O M}$ 是▱ABCD的中心距比.

(1)、【概念理解】如图 2，当λ=1时，求证： ▱ABCD是菱形；

(2)、【性质探究】在图 1中， ▱ABCD的中心距比 $λ = \frac{O N}{O M}$ 与其相邻两边比 $\frac{B C}{A B}$ 是否存在某种关系?若有，求出这种关系；若没有，请说明理由；

(3)、【拓展应用】如图 3，在矩形ABCD中(AD>AB)，其中心距比 $λ = \frac{4}{3},$ O为对角线BD中点，E是BC边上一点，连接OE，作OF⊥OE交CD边于点F，若 $B D = 10, S_{△ C O F} = 2 S_{△ C O E},$ 求CE的值；

(4)、如图 4， $A B = 5, t a n ∠ P A B = \frac{4}{3},$ 点D是射线AP上一动点，点C是平面内一点.以A、B、C、D为顶点、AD为边的平行四边形的中心距比 $λ = 2 .$ 点E在射线AP上，连接AC、BE，当 $∠ A E B = ∠ A C D$ 时，直接写出AE的长.

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12、综合与探究
关于二次函数 $y = a x^{2} - 2 a x - 3 a (a \neq 0),$ 数学兴趣小组计划通过以下环节进行研究。

(1)、【特例研究】
当a=1时，二次函数为y₁= ▲ ，并在图 1中的平面直角坐标系画出其函数图象；
当a=2时，二次函数为 $y_{2} = 2 x^{2} - 4 x - 6,$ 其图象如图 1所示；
当 $a = - \frac{1}{2}$ 时，二次函数为 $y_{3} = - \frac{1}{2} x^{2} + x + \frac{3}{2},$ 其图象如图 1所示；

(2)、观察特例中的图象，并结合学习函数的经验，写出二次函数 $y = a x^{2} - 2 a x - 3 a (a \neq 0)$ 的 2条特征。

(3)、【深入探究】
对于二次函数 $y = a x^{2} - 2 a x - 3 a (a \neq 0),$ 当a<0， - 2≤x≤2时， y的最大值与最小值的差为 6，求 a的值；

(4)、将 $y = a x^{2} - 2 a x - 3 a (a \neq 0)$ 在-2≤x≤2间的图象记为 G，若图象 G与直线y=x+1有 2个交点，请求出a的取值范围。

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13、操作与推理

(1)、利用圆规和无刻度直尺，求作△ABC的外接圆中 $\hat{B C}$ (BC下方)中点D；(保留作图痕迹，标明字母，不用写出作法和理由.)

(2)、在(1)的条件下，连接AD交BC于点E，若AE=5， DE=4，连接BD，求BD的长.

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14、综合与实践

2026年央视春晚节目《武BOT》中，宇树科技机器人上演精彩武术表演，惊艳世界.某市科技馆为普及科技文化，计划采购宇树科技Go2四足机器人与G1人形机器人用于科普展示.根据以下素材，完成任务：

宇树科技机器人采购方案设计
素材1	购买 6台Go2四足机器人和 5台G1人形机器人共需 57万元；5台G1人形机器人的售价比 11台Go2四足机器人贵 23万元.
素材2	每台Go2四足机器人每日可服务观众 150人次；每台G1人形机器人每日可服务观众 280人次.
素材3	科技馆计划采购两款机器人共 12台，采购总预算不超过 73万元.
问题解决

(1)、求每台Go2四足机器人、每台G1人形机器人的售价分别是多少万元?

(2)、采购Go2四足机器人和G1人形机器人各多少台时，每日总服务人次最多?最多为多少?

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15、体重指数(BMI)是衡量人体胖瘦程度的常用指标，计算公式是 $B M I = \frac{G}{h^{2}},$ 其中G (单位：千克)表示体重，h(单位：米)表示身高，我国规定 18岁以上的成年人体重分类标准如下表：
BMI的范围
BMI≤18.5
18.5 < BMI≤24.0
24.0< BMI≤28.0
BMI > 28.0
健康类型
体重过低
正常
超重
肥胖
为了解自己所在公司职员的体重健康状况，某员工在公司内随机抽取男、女职员各 20人，通过测量得到他们的体重和身高，然后计算得到每位职员的BMI数值，部分数据记录如下：
20 名男职员的 BMI 值：15.4， 15.8， 16.5， 17.8， 18.9， 21， 21， 21， 23.2， 24.5， 24.5， 24.5， 24.5， 25， 25， 27， 27.9， 28.2， 29.1， 29.4；
女职员体重指数为“正常”的BMI值： 18.5，19，19，19，20，20，21，21.3，22.4，23.6.
女职员体重指数条形统计图
男、女职员BMI值统计表
性别
平均数
中位数
众数
“正常”所占百分比
男
23.02
24.5
b
25%
女
20.56
a
19
c
请你根据图表中的信息，解答下列问题：

(1)、填空： a= ， b= ， c=；

(2)、若该公司共有职员 200人，其中男女比例为 4：6，估计该公司共有多少人体重指数是“肥胖”；

(3)、综合上表中的统计量，你认为该公司哪个性别的职员体重健康状况较好?请说明理由，并给体重健康状况较差的职员提出一条合理的建议.

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16、先化简： $(1 - \frac{1}{a + 1}) \div \frac{a^{2} - a}{a^{2} + 2 a + 1},$ 再从-1≤a≤2的范围中选择一个合适的整数代入求值.

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17、计算： ${(2025 - π)}^{0} + ∣ \sqrt{3} - 2 ∣ + 2 s i n 6 0^{\circ} - {(\frac{1}{2})}^{- 2} .$

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18、如图，在△ABC中， ∠B=90°， ∠C=30°， D， F分别是BC， AC边上一点，将△ABD沿AD折叠得△AED，△CDF沿DF折叠得△EDF，若AB=2，则EF=.

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19、“七巧板”是我国古代劳动人民发明的一种益智玩具，如图是用“七巧板”拼成的一只“小猫”图案，一个小球(看作一点)在“小猫”图案上随机滚动并停留在某块板上，则它停在小猫头部(阴影部分)的概率是 .

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20、无人机警戒在高速公路场景中的应用，是我国低空经济高质量发展的重要实践方向。如图，在高速公路上，交警在A处操控无人机巡查，无人机从点A处飞行到点P处悬停，探测到它的正下方公路上点B处有汽车发生故障，测得无人机高度PB=54 m，从点A处观测点P处的仰角为α。已知sinα≈0.17，cosα≈0.98， tanα≈0.18，则可求得点A处到点B处的距离约为 m。

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方案一	$C A = D B = 1.6 m$	$α = 30 °$	$β = 45 °$	$A B = 23 m$
方案二	$C A = D B = 1.6 m$	$α = 30 °$	$β = 45 °$	$A B = 6.3 m$

星期	一	二	三	四	五	六	日
时间/ $m i n$	$55$	$60$	$75$	$50$	$65$	$55$	$70$

BMI的范围	BMI≤18.5	18.5 < BMI≤24.0	24.0< BMI≤28.0	BMI > 28.0
健康类型	体重过低	正常	超重	肥胖

性别	平均数	中位数	众数	“正常”所占百分比
男	23.02	24.5	b	25%
女	20.56	a	19	c