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1、下列各数中，属于最简二次根式的是（）

A、 $\sqrt{\frac{1}{2}}$ B、 $\sqrt{12}$ C、 $\sqrt{2}$ D、 $\sqrt{0.01}$

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2、如图，已知 $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径， $A F$ 平分 $∠ E A C$ ，且 $∠ E = 90 °$ ， $\overset{⌢}{A G} = \overset{⌢}{B G}$ ，连接 $A G$ ．

(1)、求证： $E C$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若 $A G = 2 \sqrt{2}$ ， $A F = 2 \sqrt{3}$ ，求线段 $A E$ 的长．

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3、如图，在四边形 $A B C D$ 中， $A C$ 与 $B D$ 相交于点O， $∠ A B C = ∠ D A C = 90 °$ ， $\tan ∠ A C B = \frac{1}{2}$ ， $\frac{B O}{O D} = \frac{6}{5}$ ，则 $\tan ∠ A C D$ 的值为．

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4、如图，在菱形 $A B C D$ 中，过点A作 $A E ⊥ C D$ ，垂足E在 $C D$ 的延长线上，过点E作 $E F ⊥ B C$ ，垂足为 $F$ ．若 $A E = 3$ ， $E F = 4$ ，则菱形的边长为（）

A、 $\frac{8 \sqrt{2}}{3}$ B、 $2 \sqrt{2}$ C、 $\frac{9 \sqrt{2}}{4}$ D、 $3 \sqrt{2}$

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5、直线 $y = a x + b$ 与抛物线 $y = a x^{2} + b x + 2$ 在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　）

A、 B、 C、 D、

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6、如图①已知抛物线 $y = a x^{2} - 3 a x - 4 a (a < 0)$ 的图象与 $x$ 轴交于 $A$ 、 $B$ 两点（ $A$ 在 $B$ 的左侧），与 $y$ 轴的正半轴交于点 $C$ ，连接 $B C$ ，二次函数的对称轴与 $x$ 轴的交点为 $E$ ．

(1)、抛物线的对称轴与 $x$ 轴的交点 $E$ 坐标为____，点 $A$ 的坐标为____，点 $B$ 的坐标为____；

(2)、若点 $E$ 到 $y$ 轴的距离与它到直线 $B C$ 的距离相等，试求出抛物线的解析式；

(3)、在（2）的条件下，如图② $Q (m, 0)$ 是 $x$ 轴的正半轴上一点，过点 $Q$ 作 $y$ 轴的平行线，与直线 $B C$ 交于点 $M$ ，与抛物线交于点 $N$ ，连接 $C N$ ，将 $△ C M N$ 沿 $C N$ 翻折， $M$ 的对应点为 $M^{'}$ ．在图②中探究：是否存在点 $Q$ ，使得 $M^{'}$ 恰好落在 $y$ 轴上？若存在，请求出 $Q$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

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7、【活动背景】
如图，建筑物 $A C$ 、 $B D$ 的高度不可直接测量．为测量建筑物 $A C$ 、 $B D$ 的高度，技术员小李用皮尺测得A、B之间的水平距离为 $150 m$ ，用测角仪在C处测得D点的俯角为 $35 °$ ，测得B点的俯角为 $43 °$ ．
【问题解决】

(1)、请运用技术员小李提供的数据求出建筑物 $A C$ 、 $B D$ 的高度（结果保留整数）；（参考数据： $\sin 35 ° \approx 0.57$ ， $\cos 35 ° \approx 0.82$ ， $\tan 35 ° \approx 0.70$ ， $\sin 43 ° \approx 0.68$ ， $\cos 43 ° \approx 0.73$ ， $\tan 43 ° \approx 0.93$ ）

(2)、请再设计一种测量建筑物 $A C$ 、 $B D$ 高度的方案（建筑物的宽度忽略不计），画出平面示意图，把应测数据在示意图中用字母标记出来，并用含字母的式子表示出建筑物 $A C$ 、 $B D$ 的高度．（可提供的测量工具：皮尺、测角仪）

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8、下面是小李化简分式 $(\frac{2 x - 3}{x - 1} - 1) \div \frac{x^{2} - 4}{x^{2} - x}$ 的过程：
解：原式 $= (\frac{2 x - 3}{x - 1} - \frac{x - 1}{x - 1}) \div \frac{x^{2} - 4}{x^{2} - x}$ …………第一步
$= \frac{2 x - 3 - x - 1}{x - 1} \cdot \frac{x^{2} - x}{x^{2} - 4}$ ……………第二步
$= \frac{x - 4}{x - 1} \cdot \frac{x (x - 1)}{(x + 2) (x - 2)}$ ……………第三步
$= \frac{x^{2} - 4 x}{x^{2} - 4}$ ……………………………第四步

(1)、小李的化简过程中，涉及分式的通分的步骤是第__步，涉及分式约分后得到结果的步骤是第___步；

(2)、小李的化简过程从第____步开始出现错误；

(3)、请你写出正确的化简过程，并从 $1$ ， $2$ ， $3$ 中选择一个合适的数代入求值．

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9、“温室大棚春意浓，花果飘香醉眼瞳”．近年来，邳州市通过大棚种植技术（如图1），大力推进农业现代化转型．小华家有一个蔬菜大棚，其横截面顶部为抛物线型，大棚一端固定在离地面高1米的墙体A处，另一端固定在离地面高2米的墙体B处，现对其横截面建立如图2所示的平面直角坐标系．已知大棚上某处离地面的高度y（米）与其离墙体A的水平距离x（米）之间的关系满足 $y = - \frac{1}{8} x^{2} + b x + c$ ，现测得A，B两墙体之间的水平距离为8米，则大棚的最高处到地面的距离为米．

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10、如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中， $△ A O B$ 和 $△ C O D$ 是以O为位似中心的位似图形，A，B两点的坐标分别为 $(- 3, 4.5)$ ， $(- 6, 3)$ ．点A的对应点C的坐标是 $(1, - 1.5)$ ，则点D的坐标是．

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11、正比例函数 $y = m x$ 的图象过二、四象限，则关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - 2 x + m = 0$ 的根的情况是．

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12、将直角三角形纸片 $A B C$ （ $∠ C = 90 °$ ）按如图方式折叠两次再展开，下列结论错误的是（　　）

A、 $M N ∥ D E ∥ P Q$ B、 $B C = 2 D E = 4 M N$ C、 $A N = B Q = \frac{1}{2} N Q$ D、 $\frac{M N}{D E} = \frac{D E}{P Q} = \frac{P Q}{B C}$

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13、清代·袁枚的一首诗 $《$ 苔 $》$ 中的诗句：“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开” $．$ 若苔花的花粉直径约为0.0000084米，则数据0.0000084用科学记数法表示为（）

A、 $8.4 \times 10^{- 5}$ B、 $8.4 \times 10^{- 6}$ C、 $8.4 \times 10^{- 7}$ D、 $8.4 \times 10^{- 8}$

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14、在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ，点 $D$ 为射线 $B A$ 上一动点（不与点 $A$ ， $B$ 重合），作 $∠ A C D = ∠ A B E$ ，并交射线 $C D$ 于点 $E$ ，连接 $A E ， B E \neq C E$ ．

(1)、【操作发现】如图（1），当 $∠ A B C = 45^{\circ}$ 时，过点 $A$ 作 $A M ⊥ A E$ ，交 $C D$ 于点 $M$ ．
①请补全图形；
② $C M ， B E$ 的数量关系为___________；

(2)、【类比探究】如图（2），当 $∠ B A C = 120^{\circ}$ ，且点 $D$ 在线段 $B A$ 上时，探究：线段 $A E ， B E$ ， $C E$ 之间的数量关系，并说明理由；

(3)、【拓展延伸】当 $∠ B A C = 120^{\circ}$ ，过点 $A$ 作 $A N ⊥ C D$ 于点 $N$ ，若 $A B = \sqrt{11} ， A N = 1$ ，请直接写出 $B E$ 的长．

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15、同学们在操场上玩跳长绳的游戏，跳长绳时，绳子甩到最高处的形状可以近似的看作抛物线、如图、正在甩绳的甲、乙两名同学之间的水平距离 $O D$ 为6米，到地面的距离 $A O$ 与 $B D$ 均为1米，绳子甩到最高点 $C$ 处时，最高点距地面的垂直距离为 $2.5 m$ ，以点 $O$ 为原点建立如图所示的平面直角坐标系．

(1)、求出绳子甩到最高处时抛物线的函数表达式．

(2)、如果身高为 $1.70 m$ 的小明站在 $O D$ 之间，当绳子甩到最高处，小明站在距离点 $O$ 的水平距离为 $2 m$ 时，绳子是否能刚好甩过他的头顶上方 $0.6 m$ ？请说明理由．

(3)、现在老师要举行集体跳长绳比赛，比赛时各队跳绳10人，摇绳2人，共计12人．某班挑选出身高都为 $1.50 m$ 的10个同学参加跳绳．跳长绳比赛时，采用一路纵队的方式安排学生位置，但为了保证安全，人与人之间距离至少0.5米．那么该班同学以一路纵队的方式站在地面上时，为了能顺利完成比赛（绳子超过头顶），求左边第一位同学离点 $O$ 的水平距离 $d$ 的取值范围．请说明理由．

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16、如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径， $A E$ 是 $⊙ O$ 的弦，过点 $O$ 作 $O C ⊥ A B$ 交 $A E$ 于点 $F$ ，连接 $A C$ 交 $⊙ O$ 于点 $D$ ，若 $C E = C F$ ．

(1)、求证： $C E$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、连接 $B E$ ，过点 $A$ 作 $A M ∥ B E$ 交 $⊙ O$ 于点 $M$ ，连接 $B M$ ，根据题意，补全图形，猜想四边形 $A E B M$ 的形状，并说明理由；

(3)、若 $A D = 3, C F = \sqrt{10}$ ，求 $C D$ 的长．

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17、2020年是极不平凡的一年，全国980多万绝对贫困人口按时脱贫．某校在扶贫中计划选购甲、乙两种化肥帮扶贫困户，已知甲种化肥的单价比乙种化肥的单价高10元，且用500元单独购买甲种化肥与用450元单独购买乙种化肥的数量相同．

(1)、求甲、乙两种化肥的单价各是多少元？

(2)、如果该校计划购买甲、乙两种化肥共55袋，总费用不少于5000元且不超过5050元，请通过计算得出共有几种选购方案？选择哪种方案更省钱？

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18、心理学家研究发现，一般情况下，一堂40分钟的课中，学生的注意力随教师讲课的变化而变化、开始上课时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散．经过实验分析可知，学生的注意力指标数 $y$ 随时间 $x$ （分钟）的变化规律如图所示（其中 $A B$ ， $B C$ 分别为线段， $C D$ 为双曲线的一部分）．

(1)、求 $C D$ 段反比例函数的解析式；

(2)、开始上课后第六分钟时与第三十二分钟时相比较，何时学生的注意力更集中？

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19、如图，山坡上有一棵与水平面 $E F$ 垂直的大树 $A B$ ，一场暴风雨过后，大树被刮倾斜后折断倒在山坡上，树的顶部恰好接触到坡面．已知山坡的坡角 $∠ A E F = 30 °$ ，量得树干倾斜角 $∠ B A C = 22 °$ ，大树被折断部分 $C D$ 和坡面所成的角 $∠ A D C = 37 °, A D = 5$ 米．

(1)、求 $∠ C A D$ 的度数；

(2)、求这棵大树折断前 $A B$ 的高度．（结果精确到 $0.1$ 米）．
（参考数据： $sin 37 ° \approx \frac{3}{5},cos 37 ° \approx \frac{4}{5},tan 37 ° \approx \frac{3}{4}, \sqrt{2} \approx 1.414$ ）

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20、随着人工智能（简称： $A I$ ）的发展，智能手机成为我们生活中最得力的助手和伙伴，为我们提供了便捷的信息获取方式、高效的工作工具和多样的娱乐选择，然而，在享受这些便利的同时，我们也逐渐面临着视力下降的问题．为此，某校为了解本校学生对自己视力保护的重视程度，随机在校内调查了部分学生，调查结果分为：“非常重视”、“重视”、“比较重视”、“不重视”四类，并将结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图，根据图中信息，解答下列问题：

(1)、在扇形统计图中，“比较重视”所占的圆心角的度数为_____，并补全条形统计图．

(2)、学校安排专业人员检测了样本数据中“不重视”组别全部学生的视力情况（满分 $5.0$ ），结果如表，计算该组别同学视力情况的平均值．
视力情况
$4.2$
$\begin{matrix} 4.3 \end{matrix}$
$\begin{matrix} 4.4 \end{matrix}$
$\begin{matrix} 4.5 \end{matrix}$
人数
6
5
4
1

(3)、已知该校参与调查的学生中，“非常重视”视力保护的有4人，其中男生2人，女生2人．从这4名“非常重视”的学生中随机抽取2人参加视力保护宣传活动，用树状图或者列表法求恰好抽到1名男生和1名女生的概率．

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视力情况	$4.2$	$\begin{matrix} 4.3 \end{matrix}$	$\begin{matrix} 4.4 \end{matrix}$	$\begin{matrix} 4.5 \end{matrix}$
人数	6	5	4	1