相关试卷

1、阅读与思考

下面是小明在数学笔记本上记录的父亲工厂里实际出现过的一个问题，请认真阅读并帮助小明解答小明父亲给的以下任务：

小明父亲的工厂里加工一款纪念品，每件成本为30元，投放景区内进行销售，售价不得低于成本价且利润率不高于 $80 %$ ，销售一段时间后市场调研发现，每天的销售数量 $y$ （件）与销售单价 $x$ （元/件）满足一次函数关系，部分数据如表所示：

销售单价 $x$ （元/件）	…	35	40	45	…
每天销售数量 $y$ （件）	…	90	80	70	…

（1）直接写出 $y$ 与 $x$ 的函数关系式，并写出自变量取值范围；

（2）当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？

（3）若每天销售所得利润为1200元，那么销售单价应定为多少元？

任务一：要解决小明父亲提出的问题，主要运用的数学思想是；

A．公理化思想 B．统计思想 C．函数思想 D．分类思想

任务二：请帮助小明解决相关的3个问题．

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2、如图，抛物线 $y = - x^{2} + b x + c$ 与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），点A的坐标为 $(- 1, 0)$ ，与y轴交于点 $C (0, 3)$ ，作直线 $B C$ ，动点P在线段 $O B$ 上运动，过点P作 $P M ⊥ x$ 轴，交抛物线于点M，交直线 $B C$ 于点N，设点P的横坐标为m．

(1)、求抛物线的解析式和点B的坐标；

(2)、请直接写出线段 $M N$ 的最大值．

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3、江门有着丰富的旅游资源．小星计划假期来江门新会游玩，他打算从3个自然景点（A．小鸟天堂；B．陈皮村；C．圭峰山国家森林公园）中随机选取一个，再从2个人文景点（D．梁启超故居；E．宋元崖门炮台）中随机选取一个．

(1)、小星从3个自然景点中选中小鸟天堂的概率是；

(2)、用画树状图或列表的方法求小星恰好选中陈皮村和梁启超故居的概率．

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4、一元二次方程 $2 x^{2} - 4 x - 3 = 0$ 的解为．

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5、关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - 4 x + m = 0$ 有两个相等的实数根，点 $A (x_{1}, y_{1})$ 、 $B (x_{2}, y_{2})$ 是反比例函数 $y = \frac{m}{x}$ 的图象上的两个点，若 $x_{1} < x_{2} < 0$ ，则 $y_{1}$ 、 $y_{2}$ 的大小关系为（）

A、 $y_{1} > y_{2}$ B、 $y_{1} < y_{2}$ C、 $y_{1} = y_{2}$ D、不能确定

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6、下列函数中，一定是反比例函数的是（）

A、 $y = - 2 x - 1$ B、 $y = k x^{- 1}$ C、 $y = \frac{4}{x}$ D、 $y = \frac{1}{x - 1}$

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7、 $A B$ 为 $⊙ O$ 的直径，点C为圆周上一点(不与点A、点B重合)；

(1)、如图1， $∠ A C B$ 的平分线交 $⊙ O$ 于点D，直径 $A B = 10$ ，弦 $B C = 6$ ，求 $C D$ 的长；

(2)、如图2，弦 $C D ⊥ A B$ 于点E，交 $⊙ O$ 于点D，连接 $B D$ ，令 $△ A C E$ 的面积为 $S_{1}$ ， $△ B C E$ 的面积为 $S_{2}$ ， $△ B D E$ 的面积为 $S_{3}$ ，且 $S_{1} = S_{2} + S_{3}$ ，求 $\tan ∠ C D B$ 的值；

(3)、如图3， $C E ⊥ A B$ 于点E， $∠ C A B$ 的平分线交 $C E$ 、 $C B$ 分别于点M、点N，设 $x = C E^{2}$ ， $y = \frac{C N}{C E} + \frac{C M}{C B} + \frac{1}{C B^{2}} + \frac{1}{C A^{2}}$ ，求y与x之间的函数关系式（不考虑x的取值范围）．

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8、我们约定：若抛物线 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 与直线 $y = a$ 有交点，我们称函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 为“飞翔函数”，其交点为“飞翔点”：若抛物线 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 与直线 $y = - a$ 有交点，我们称函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 为“僖乐函数”，该交点为“僖乐点”：

(1)、若函数 $y = 2 x^{2} - x + c$ 既是“飞翔函数”，也是“僖乐函数”，求c的取值范围；

(2)、已知函数 $y = t x^{2} - t (t \neq 0)$ 的一个 “僖乐点”为P，直线 $y = m x + n (m \neq 0)$ 与抛物线 $y = t x^{2} - t (t \neq 0)$ 的两个交点分别为 $P (x_{1}, y_{1}), Q (x_{2}, y_{2})$ ，且满足 $x_{1} + x_{2} = 2026 ，$ 直线 $P Q$ 是否经过一个定点，若经过定点，请求出该定点坐标，若不过定点，请说明理由：

(3)、关于x的函数 $y = x^{2} - (3 k + s k + t + 2) x + (s k + 2) (3 k + t) + 1$ (s、t为正整数， k为实数)图像上存在两个“飞翔点” $A (x_{1}, y_{1}), B (x_{2}, y_{2})$ ；
①求A、B的坐标(用s、k、t的式子表示) ；
②如果对于一切实数k， $x_{1}^{2} \leq x_{2}^{2}$ 恒成立，求s、t的值．

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9、如图，在 $△ A B C$ 中，D是 $B C$ 边上的一点， $A B = D B$ ， $B E$ 平分 $∠ A B C$ ，交 $A C$ 边于点E，连接 $D E$ ．

(1)、求证： $△ A B E ≌ △ D B E$ ；

(2)、若 $∠ A = 100 °$ ， $∠ C = 50 °$ ，求 $∠ A E B$ 的度数．

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10、为传承中华优秀传统文化，丰富校园艺术生活，某校了解学生对中国民族乐器的喜爱情况，随机抽取了本校的部分学生进行调查(每名学生选择并且只能选择一种喜爱的乐器)，现将收集到的数据绘制成如下两幅不完整的统计图．


(1)、这次共抽取          名学生进行调查，扇形统计图中的x=

(2)、在扇形统计图中“扬琴”所对扇形的圆心角是          度；

(3)、若该校有3000名学生，请你估计该校喜爱“二胡”的学生约有多少名?

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11、先化简，再求值： ${(x - 3)}^{2} + (x + 3) (x - 3) + 2 x (2 - x)$ ，其中 $x = - \frac{1}{2}$

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12、如图，在 $8$ 个格子中依次放着分别写有字母 $a \sim h$ 的小球．甲、乙两人轮流从中取走小球，规则如下：
①每人首次取球时，只能取走 $2$ 个或 $3$ 个球；后续每次可取走 $1$ 个、 $2$ 个或 $3$ 个球．
②取走 $2$ 个或 $3$ 个球时，必须从相邻的格子中取走．
③最后一个将球取完的人获胜．
若甲首次取走写有 $b$ ， $c$ ， $d$ 的 $3$ 个球，接着乙首次也取走 $3$ 个球，则（填“甲”或“乙”）一定获胜．

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13、若扇形的圆心角为 $45 °$ ，半径为8，则该扇形的弧长为

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14、如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，过点D作⊙O的切线，切点为C，若∠A＝25°，则∠D＝（　　）

A、50° B、25° C、40° D、65°

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15、在平面直角坐标系中，将线段 $A B$ 水平向左平移4个单位后得到线段 $A^{'} B^{'}$ ，则点 $A (- 2, 3)$ 的对应点 $A^{'}$ 的坐标为（）

A、 $(6, 1)$ B、 $(3, 7)$ C、 $(- 6, 3)$ D、 $(2, - 1)$

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16、2026年长沙市市级重点项目总投资约13330亿元，数据13330亿用科学记数法表示正确的是（）

A、 $13330 \times 10^{8}$ B、 $133.3 \times 10^{10}$ C、 $1.333 \times 10^{11}$ D、 $1.333 \times 10^{12}$

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17、下列标志既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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18、如图，BD 为正方形ABCD 的对角线，过点 $C$ 作 $C F ∥ B D$ ，在CF 上取点 $E$ ，连接BE，且 $B E = B D$ ，过点 $D$ 作 $D F ∥ B E$ 交CF 于点 $F$ .

(1)、求证：四边形BDFE为菱形；

(2)、求 $∠ E B C$ 的度数；

(3)、当 $A B = t$ 时，求代数式 $\sqrt{\frac{1}{t + \sqrt{3}}}$ 的值.

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19、如图，四边形ABCD中，AC、BD为对角线， $∠ A C B = ∠ A B D = ∠ A D B = 4 5^{°}$

(1)、当 $A B = 2$ 时，BD的长为；

(2)、求证： $\sqrt{2} A C = B C + C D$ ；

(3)、若 $△ A B C$ 关于直线AB 的对称图形为 $△ A B M$ ，连接DM，试探究 $D M^{2}$ 、 $A M^{2}$ 、 $B M^{2}$ 三者之间满足的等量关系，并证明你的结论.

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20、在“勾股定理”一章的学习中，我们体会到了勾股定理应用的广泛性，以及“数形结合” 是解决数学问题的一种重要的思想方法.

(1)、【应用场景1】
①如图1，在数轴上分别找出表示数0 的点 $O$ ，表示数2 的点 $A$ ， $A B ⊥ O A$ ， $A B = 1$ ，以点 $O$ 为圆心，OB 的长为半径作弧，则弧与数轴的交点 $P$ 表示的数是.
②直接写出 $△ A B P$ 的面积=.

(2)、【应用场景2】
在图2中，设 $A (x_{1}, y_{1})$ ， $B (x_{2}, y_{2})$ ， $A C ∥ y$ 轴， $B C ∥ x$ 轴， $A C ⊥ B C$ 于点 $C$ ，则 $A C = y_{1} - y_{2}$ ， $B C = x_{1} - x_{2}$ ，由此得到平面直角坐标系内任意两点间的距离公式：
$A B = \sqrt{{(x_{1} - x_{2})}^{2} + {(y_{1} - y_{2})}^{2}}$
①平面直角坐标系中有两点 $M (- 3, 2)$ ， $N (- 5, 1)$ ， $P$ 为 $x$ 轴上任一点，则 $P M + P N$ 的最小值为_▲_；
②求代数式 $\sqrt{x^{2} - 6 x + 18} - \sqrt{x^{2} + 2 x + 5}$ 的最大值.

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