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1、如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中， $A, B$ 分别是横、纵轴正半轴上的动点，四边形 $O A C B$ 是矩形，函数 $y = \frac{1}{x} (x > 0)$ 的图象与边 $A C$ 交于点 $M$ ，与边 $B C$ 交于点 $N$ （ $M, N$ 不重合）．给出下面四个结论：
① $△ C O M$ 与 $△ C O N$ 的面积不一定相等；
② $△ M O N$ 与 $△ M C N$ 的面积一定不相等；
③ $△ M O N$ 不一定是锐角三角形；
④ $△ M O N$ 一定不是等边三角形．
上述结论中，所有正确结论的序号是（）

A、①③ B、①④ C、②③ D、②④

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2、大自然是美的设计师，如图是一片银杏叶，点 $P$ 是线段AB的黄金分割点 $(A P > B P)$ ，若 $A B = 4 cm$ ，则 $A P$ 的长为（）

A、 $(6 - 2 \sqrt{5}) cm$ B、 $(2 \sqrt{5} - 2) cm$ C、 $(\sqrt{5} - 1) cm$ D、 $(3 - \sqrt{5}) cm$

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3、下列函数表达式中为二次函数的是（）

A、 $y = 2 x - 1$ B、 $y = - x^{2} + 2 x + 3$ C、 $y = \frac{1}{x}$ D、 $y = a x^{2} + b x + c$ （a，b，c是常数）

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4、如图，平面直角坐标系中，A﹙0，a﹚，B﹙b，0﹚且a、b满足 $\sqrt{a + 2 b - 6} + |a - 2 b + 2| = 0$ ．

(1)、∠OAB的度数为；

(2)、已知M点是y轴上的一个动点，以BM为腰向下作等腰直角△BMN，∠MBN=90°，P为MN的中点，试问：M点运动时，点P是否始终在某一直线上运动？若是，请指出该直线；若不是，请说明理由；

(3)、如图，C为AB的中点，D为CO延长线上一动点，以 AD 为边作等边△ADE，连BE交CD于F，当D点运动时，线段EF，BF，DF之间有何数量关系？证明你的结论．

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5、如图，已知在 $△ A B C$ 中， $O B$ 和 $O C$ 分别平分 $∠ A B C$ 和 $∠ A C B$ ，过O作 $D E ∥ B C$ ，分别交 $A B ， A C$ 于点D，E，连接 $A O$ ，

(1)、 $①$ 指出图中所有的等腰三角形，并就其中的一个进行证明；
$②$ 若 $A B = 6 ， A C = 5$ ，则 $△ A D E$ 的周长为 ▲ ；

(2)、若 $A O ⊥ D E$ ，求证： $△ A B C$ 为等腰三角形；

(3)、若 $O D = O E$ ， $△ A B C$ 是否仍为等腰三角形？请证明你的结论．

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6、先阅读下列材料，再解答后面的问题．
一般地，若aⁿ=b（a＞0且a≠1，b＞0），则n叫做以a为底b的对数，记为logab（即log_ab=n）．
如3⁴=81，则4叫做以3为底81的对数，记为log₃81（即log₃81=4）．

(1)、计算以下各对数的值：log₂4=             ， log₂16=              ， log₂ 64=                ．

(2)、观察（1）中的结果，则log₂4、 log₂16、log₂ 64之间的关系是                        ．

(3)、猜想：log_aM+log_aN=                                           （a＞0且a≠1，M＞0，N＞0），并根据幂的运算法则：a^m•aⁿ=a^m⁺ⁿ以及对数的含义证明你的猜想．

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7、如图 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $A D = A E$ ， $∠ B A D = 40 °$ ，求 $∠ E D C$ 的度数．

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8、观察下列各式：
$(x^{2} - 1) \div (x - 1) = x + 1$ ；
$(x^{3} - 1) \div (x - 1) = x^{2} + x + 1$ ；
$(x^{4} - 1) \div (x - 1) = x^{3} + x^{2} + x + 1$ ；
$(x^{5} - 1) \div (x - 1) = x^{4} + x^{3} + x^{2} + x + 1$ ；
……
（1）试写出一般情况下 $(x^{n} - 1) \div (x - 1)$ 的结论．
（2）根据这一结果计算：1＋2＋ $2^{2} ＋ 2^{3} ＋$ …＋ $2^{62} ＋ 2^{63}$ ．

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9、计算： $\frac{20012000^{2}}{20011999^{2} + 20012001^{2} - 2}$

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10、在 $△ A B C$ 中， $A D$ 平分 $∠ B A C$ ， $B D ⊥ A D$ ，垂足为D，过D作 $D E ∥ A B$ ，交 $A C$ 于E．若 $A B = 2 \sqrt{6}$ ， $A C = 2 \sqrt{5}$ ，线段 $D E$ 的长为．

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11、如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ，直线m，n分别是 $A B$ 、 $A C$ 的垂直平分线，m，n交于点P，连接 $C P$ ．若 $∠ 1 = 21 °$ ，则 $∠ B$ 的度数为．

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12、如图，直线l，m分别与 $△ A B C$ 的边 $B C, A B$ 平行， $∠ 1 = 120 °, ∠ 2 = 100 °$ ，则 $∠ B$ 的度数是．

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13、如果 $(x + 1) (x^{2} - a x + 3)$ 的乘积中不含二次项，那么 $a$ 的值为．

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14、如图，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ．分别以点 $A$ ， $B$ 为圆心，大于 $\frac{1}{2} A B$ 长为半径画弧，交于点 $M$ ， $N$ ，作直线 $M N$ 分别交 $A B$ ， $A C$ 于点 $D$ ， $E$ ，连接 $C D$ ， $B E$ ．若 $∠ C B E = 18 °$ ，则 $∠ B C D$ 的度数为（）

A、 $18 °$ B、 $32 °$ C、 $36 °$ D、 $54 °$

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15、如图，将 $△ A B C$ 纸片沿 $D E$ 折叠，使点A落在点 $A^{'}$ 处，且 $B A^{'}$ 平分 $∠ A B C$ ， $C A^{'}$ 平分 $∠ A C B$ ，若 $∠ B A^{'} C = 115 °$ ， $∠ 1 = 45 °$ ，则 $∠ 2$ 的度数为（　　）

A、 $50 °$ B、 $55 °$ C、 $60 °$ D、 $65 °$

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16、若 $x^{2} - 3 x + 1 = 0$ ，则 $x^{2} + \frac{1}{x^{2}}$ 的值是（　　）

A、8 B、7 C、 $\frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}$ D、 $\frac{7 \pm \sqrt{5}}{2}$

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17、若不等式组 $\{\begin{matrix} 2 x - a < 1 \\ x - 2 b > 3 \end{matrix}$ 的解为 $- 3 < x < 1$ ，则 $(a + 1) (b - 1)$ 值为（）

A、 $- 6$ B、 $7$ C、 $- 8$ D、 $9$

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18、综合实践活动
【生活观察】
通过观察发现，将运动中的羽毛球看成一个点，扣杀球和网前吊球这两种击球的运动路线可以近似抽象成如下两种，如图（1）、（2）所示．
【数学建模】
数学小组成员发现扣杀球的路线近似为一条直线，网前吊球的路线近似为抛物线．羽毛球运动轨迹的剖面图如图（3）所示，从A点击球，击球点是抛物线的最高点，点A到地面的距离 $A O = 2.4 m$ ，球网上端点B到地面的距离 $B C = 1.55 m$ ，人与球网之间的距离 $O C = 1 .6 m$ ，假设两种击球路线都经过点B正上方 $0.05 m$ 处的点D，网前吊球和扣杀球的落点分别为点E、 $F$ ．
任务一：在图（3）中以O为坐标原点， $O F$ 所在的射线为x轴正半轴， $O A$ 所在的射线为y轴正半轴，建立平面直角坐标系，请直接写出两种击球路线的函数表达式（不用写自变量的取值范围）．
【模型应用】
任务二：网前吊球的落点到球网的距离 $C E$ 的长是______ $m$ ．
任务三：甲在A处击球，扣杀球时，羽毛球的平均速度约为 $36 m / s$ ，网前吊球时，羽毛球下降的高度 $h (m)$ 与时间 $t (s)$ 之间的关系式为 $h = 5 t^{2}$ ，乙在看到甲击球的同时，尝试接球，从甲击球到乙能成功接球的时间至少需要 $0.5 s$ ，请通过计算说明，乙能接到哪种方式的击球．

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19、如图，已知 $A B$ 为 $⊙ O$ 的直径，F为 $⊙ O$ 上一点，点C是劣弧的中点，过点 $C$ 作 $C D ⊥ A F$ 于点 $D$ ，延长 $A B ， D C$ 交于点 $E$ ，连接 $B C ， C F$ ．

(1)、若 $∠ A B C = 60 °$ ，求 $∠ E$ 的度数；

(2)、求证： $D E$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(3)、是否存在常数 $k$ ，使得 $\frac{A B - A F}{D F} = k$ ，若存在，求出 $k$ 的值，若不存在，请说明理由．

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20、已知一次函数 $y = k x + b$ 与反比例函数 $y = \frac{m}{x}$ 的图像交于 $A (- 3, 2)$ 、 $B (1, n)$ 两点．

(1)、求一次函数和反比例函数的表达式；

(2)、求 $△ A O B$ 的面积；

(3)、若点 $A$ 关于原点对称点为 $A_{1}$ ，在 $x$ 轴上求一点 $P$ ，使得 $△ P A_{1} B$ 周长最小，则点 $P$ 坐标为．

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