相关试卷

1、如图，方格纸中每个小正方形的边长均为 $1 c m, △ A B C$ 为格点三角形．

(1)、求 $△ A B C$ 的三边 $A B 、 A C 、 B C$ 的长；

(2)、判断 $△ A B C$ 的形状，并说明理由．

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2、观察下列等式∶
第1个： $\sqrt{1 + \frac{1}{1^{2}} + \frac{1}{2^{2}}} = 1 + \frac{1}{1} - \frac{1}{2}$ ；
第2个： $\sqrt{1 + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}}} = 1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{3}$ ；
第3个： $\sqrt{1 + \frac{1}{3^{2}} + \frac{1}{4^{2}}} = 1 + \frac{1}{3} - \frac{1}{4}$ ；
第4个： $\sqrt{1 + \frac{1}{4^{2}} + \frac{1}{5^{2}}} = 1 + \frac{1}{4} - \frac{1}{5}$ ；
…
按照以上规律，解决下列问题∶

(1)、写出你猜想的第 $n$ 个等式；（用含 $n$ 的等式表示）

(2)、根据上面的结论计算 $\sqrt{1 + \frac{1}{1^{2}} + \frac{1}{2^{2}}} + \sqrt{1 + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}}} + . . . + \sqrt{1 + \frac{1}{99^{2}} + \frac{1}{100^{2}}}$ 的结果．

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3、观察下列各式：
第1个等式： $\sqrt{1 - \frac{1}{1}} = \frac{0}{1}$ ；第2个等式： $\sqrt{1 - \frac{3}{4}} = \frac{1}{2}$ ；
第3个等式： $\sqrt{1 - \frac{5}{9}} = \frac{2}{3}$ ；第4个等式： $\sqrt{1 - \frac{7}{16}} = \frac{3}{4}$ ；…
根据上述规律，解答下面的问题：

(1)、若 $\sqrt{1 - \frac{a}{b}} = \frac{7}{8}$ ；则 $a =$ ， $b =$ ．

(2)、 $\sqrt{1 - \frac{199}{10000}}$ 的值为．

(3)、请写出第n个等式（n是正整数，用含n的式子表示），并证明．

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4、【阅读材料】先来看一个有趣的现象： $\sqrt{2 \frac{2}{3}} = \sqrt{\frac{8}{3}} = \sqrt{\frac{2^{2} \times 2}{3}} = 2 \sqrt{\frac{2}{3}}$ ，这个根号里的2经过适当的演变，竟然可以“跑”到根号的外面，我们不妨把这种现象称为“穿墙”．具有这现象的数还有许多，例如：
$\sqrt{3 \frac{3}{8}} = 3 \sqrt{\frac{3}{8}}, \sqrt{4 \frac{4}{15}} = 4 \sqrt{\frac{4}{15}}$ 等．

(1)、【猜想】 $\sqrt{5 \frac{5}{24}} =$ ▲ ，并证明你的猜想；

(2)、【推理证明】请你用一个正整数 $n$ （ $n$ 为“穿墙”数， $n \geq 2$ ）表示含有上述规律的等式，并给出证明．

(3)、【创新应用】按此规律，若 $\sqrt{a + \frac{8}{b}} = a \sqrt{\frac{8}{b}}$ （ $a, b$ 为正整数），则 $a + b$ 的值为．

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5、已知 $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ， $A B = A C$ ，点 $D$ 为直线 $B C$ 上的一动点（点 $D$ 不与点 $B$ 、 $C$ 重合），以 $A D$ 为边作 $△ A D E$ ，使 $∠ D A E = 90 °$ ， $A E = A D$ ，连接 $C E$ ．

(1)、发现问题：
如图 $1$ ，当点 $D$ 在边 $B C$ 上时，请写出 $B D$ 和 $C E$ 之间的位置关系为，并猜想 $B D$ 和 $D E$ 、 $C D$ 之间的数量关系：．

(2)、尝试探究：
如图 $2$ ，当点 $D$ 在边 $B C$ 的延长线上且其他条件不变时，（1）中 $B D$ 和 $C E$ 之间的位置关系， $B D$ 和 $D E$ 、 $C D$ 之间的数量关系是否成立？若成立，请证明；若不成立，请写出新的数量关系，并说明理由．

(3)、拓展延伸：
当点 $D$ 在射线 $C B$ 上且其他条件不变时，若 $B A = 14$ ， $C E = 10 \sqrt{2}$ ，直接写出线段 $E D$ 的长．

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6、学习一次函数时，我们从“数”和“形”两方面研究一次函数的性质，并积累了一些经验和方法．请根据学习函数的经验，对函数 $y = \sqrt{{(x - 3)}^{2}} + 1$ 的图象与性质进行探究，并解决相关问题．

(1)、函数 $y = \sqrt{{(x - 3)}^{2}} + 1$ 中自变量 $x$ 的取值范围是；

(2)、如表是 $y$ 与 $x$ 的几组对应值．
$x$
．．．
0
1
2
3
4
5
6
．．．
$y$
．．．
4
$m$
2
1
2
3
4
．．．
直接写出表格中 $m$ 的值是；

(3)、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，描出以表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点画出该函数的图象；

(4)、结合函数图象，解决问题：
①方程 $\sqrt{{(x - 3)}^{2}} + 1 = 2$ 有个解；
②当 $1 < x < 4$ 时， $y$ 的取值范围是；

(5)、进一步研究：若点 $M (x_{1}, y_{1}), N (x_{2}, y_{2})$ 是函数 $y = \sqrt{{(x - t)}^{2}} + 1$ 图象上的任意两点，若对于 $0 < x_{1} < 1 ， 2 < x_{2} < 3$ ，都有 $y_{1} < y_{2}$ ，则 $t$ 的取值范围是．

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7、我国古代的《洛书》记载了世界上最早的幻方——“九宫格”．
$\sqrt{2}$
3
a
b
$\sqrt{6}$
1
$\sqrt{3}$
2
$3 \sqrt{2}$
图①

(1)、任务一：在图①方格中，若要使每一横、竖、斜对角的3个实数相乘都得到同样的结果，则 $a =$ ， $b =$ ；

(2)、任务二：在如图②的“幻圆”中，若内、外两个圆周上四个数字之和以及外圆两直径上的四个数字之和都相等，求 $a - b$ 的值．

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8、像 $(\sqrt{5} + \sqrt{2}) (\sqrt{5} - \sqrt{2}) = 3$ 、 $\sqrt{a} \cdot \sqrt{a} = a (a \geq 0)$ 、 $(\sqrt{b} + 1) (\sqrt{b} - 1) = b - 1 (b \geq 0)$ …两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如， $\sqrt{3}$ 和 $\sqrt{3}$ 、 $\sqrt{2} + 1$ 与 $\sqrt{2} - 1$ 、 $2 \sqrt{3} + 3 \sqrt{5}$ 与 $2 \sqrt{3} - 3 \sqrt{5}$ 等都是互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．请完成下列问题：

(1)、直接写出化简结果：① $\frac{1}{\sqrt{2}} =$ ， ② $\frac{1}{\sqrt{3} - 1} =$ ；

(2)、化简： $\frac{1}{\sqrt{3} + 1} + \frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{7} + \sqrt{5}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{2 n + 1} + \sqrt{2 n - 1}}$ ；

(3)、已知有理数 $a$ 、 $b$ 满足 $\frac{a}{\sqrt{3} + 2} + \frac{2 b}{\sqrt{3} - 1} = 2 \sqrt{3} - 1$ ，求 $a$ 、 $b$ 的值．

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9、先化简，再求值： $(\frac{a^{2} + 1}{a} - 2) \div \frac{a - 1}{a}$ ，其中 $a = \sqrt{2} - 1$ ．

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10、计算：

(1)、 ${(\sqrt{2025} - 1)}^{0} - | \sqrt{3} - 2 | + {(\frac{1}{5})}^{- 1} + \sqrt[3]{- 8}$ ．

(2)、 $\sqrt{12} - | 1 - 2 \sqrt{3} | + {(\frac{1}{2})}^{- 3} + {(π + \sqrt{2})}^{0}$ ．

(3)、 $- 2^{3} + 2^{3} \times \sqrt{\frac{1}{64}} - \sqrt[3]{- 216}$ ．

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11、我国古代数学家们不仅很早就发现并应用勾股定理，而且对勾股定理进行理论证明．三国时期，赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用形数结合的方法对勾股定理进行详细证明，这幅．“勾股圆方图”就是著名的“赵爽弦图”．如图，小明利用正方形 $A B C D$ 纸张画出内接的“赵爽弦图”，由八个全等的直角三角形拼接而成，正方形 $E F G H$ 的各顶点均在正方形 $A B C D$ 的边上．记正方形 $A B C D$ 、正方形 $E F G H$ 、正方形 $M N O P$ 的面积分别为 $S_{1}, S_{2}, S_{3}$ ．若正方形 $E F G H$ 的边长为 $\sqrt{7}$ ，则 $S_{1} + S_{2} + S_{3} =$ ．

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12、如图，四边形 $A B C D$ 中， $∠ A = ∠ C = 90 °$ ， $∠ A D C = 135 °$ ， $A B = 10$ ， $A D = 6$ ，则四边形 $A B C D$ 的面积为．

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13、如图，正方形网格中每个小正方形边长为1，则 $△ A B C$ 中 $A C$ 边上的高与 $A B$ 边上的高的差为．

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14、如图，四边形 $A B C D$ 中， $∠ B A D = 120 °, ∠ B = ∠ D = 90 °, A B = 1, A D = 2$ ，在 $B C 、$ $C D$ 上分别找一点M、N ，使 $△ A M N$ 周长最小，则最小值为．

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15、先阅读下面的解答过程，然后再解答：
要对形如 $\sqrt{m \pm 2 \sqrt{n}}$ 的式子化简，只要找到两个数 $a$ 、 $b (a \geq b \geq 0)$ ，使 $a + b = m$ ， $a b = n$ ，即 $(\sqrt{a})^{2} + (\sqrt{b})^{2} = m$ ， $\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{n}$ ，那么便有 $\sqrt{m \pm 2 \sqrt{n}} = \sqrt{(\sqrt{a})^{2} + (\sqrt{b})^{2} \pm 2 \times \sqrt{a} \times \sqrt{b}} = \sqrt{(\sqrt{a} \pm \sqrt{b})^{2}} = \sqrt{a} \pm \sqrt{b}$ ．
⑴用上述方法化简： $\sqrt{13 - 2 \sqrt{42}}$ = ．
⑵若 $\sqrt{14 - 4 \sqrt{10}}$ 的整数部分为 $a$ ，小数部分为 $b$ ，则 $a + b$ = ．

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16、如图，将含有 $60 °$ 的三角尺 $A B C$ 绕点 $C$ 按逆时针方向旋转到 $△ D E C$ 的位置，若 $A C = 5 c m$ ，当点 $D$ 恰好落到 $△ A B C$ 的一边上时，连接 $B E$ ，则线段 $B E =$ $c m$ ．

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17、已知 $a = 2 + \sqrt{3}$ ， $b = 2 - \sqrt{3}$ ，则代数式 $a^{2} b - a b^{2}$ 的值等于．

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18、 $3 + \sqrt{5}$ 的倒数是．

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19、如图，在矩形纸片 $A B C D$ 中， $A D = 3$ ， $A B = 9$ ，点E ， F分别在边 $A B, C D$ 上．将矩形纸片沿直线 $E F$ 折叠，使点B落在边 $C D$ 上，记为点M ，点C落在点N处，连接 $M B$ 交 $E F$ 于点P ，连接 $B F$ ．下列结论：①四边形 $M F B E$ 是菱形；②点M与点D重合时， $E F = \sqrt{10}$ ；③ $△ M P F$ 面积的最小值是 $\frac{9}{4}$ ；④ $B P = B C$ 中，所有正确结论的序号是（）

A、①②③ B、①②④ C、①③④ D、②③④

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20、如图， $∠ A = 120 °$ ， $A B = A C = 4$ ，点 $D$ 在线段 $A B$ 上， $D E$ $∥ B C$ 交 $A C$ 于点 $E$ ，将 $△ A D E$ 绕点 $D$ 顺时针旋转 $30 °$ 得到 $△ G D H$ ．当点 $H$ 在 $B C$ 上时， $A D$ 的长为（）

A、 $2 \sqrt{3} - 2$ B、2 C、 $\frac{8}{3}$ D、 $2 \sqrt{3}$

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$x$	．．．	0	1	2	3	4	5	6	．．．
$y$	．．．	4	$m$	2	1	2	3	4	．．．

$\sqrt{2}$	3	a
b	$\sqrt{6}$	1
$\sqrt{3}$	2	$3 \sqrt{2}$