相关试卷

1、如图，已知在 $△ A B C$ 中， $O B$ 和 $O C$ 分别平分 $∠ A B C$ 和 $∠ A C B$ ，过O作 $D E ∥ B C$ ，分别交 $A B ， A C$ 于点D，E，连接 $A O$ ，

(1)、 $①$ 指出图中所有的等腰三角形，并就其中的一个进行证明；
$②$ 若 $A B = 6 ， A C = 5$ ，则 $△ A D E$ 的周长为 ▲ ；

(2)、若 $A O ⊥ D E$ ，求证： $△ A B C$ 为等腰三角形；

(3)、若 $O D = O E$ ， $△ A B C$ 是否仍为等腰三角形？请证明你的结论．

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2、先阅读下列材料，再解答后面的问题．
一般地，若aⁿ=b（a＞0且a≠1，b＞0），则n叫做以a为底b的对数，记为logab（即log_ab=n）．
如3⁴=81，则4叫做以3为底81的对数，记为log₃81（即log₃81=4）．

(1)、计算以下各对数的值：log₂4=             ， log₂16=              ， log₂ 64=                ．

(2)、观察（1）中的结果，则log₂4、 log₂16、log₂ 64之间的关系是                        ．

(3)、猜想：log_aM+log_aN=                                           （a＞0且a≠1，M＞0，N＞0），并根据幂的运算法则：a^m•aⁿ=a^m⁺ⁿ以及对数的含义证明你的猜想．

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3、如图 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $A D = A E$ ， $∠ B A D = 40 °$ ，求 $∠ E D C$ 的度数．

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4、观察下列各式：
$(x^{2} - 1) \div (x - 1) = x + 1$ ；
$(x^{3} - 1) \div (x - 1) = x^{2} + x + 1$ ；
$(x^{4} - 1) \div (x - 1) = x^{3} + x^{2} + x + 1$ ；
$(x^{5} - 1) \div (x - 1) = x^{4} + x^{3} + x^{2} + x + 1$ ；
……
（1）试写出一般情况下 $(x^{n} - 1) \div (x - 1)$ 的结论．
（2）根据这一结果计算：1＋2＋ $2^{2} ＋ 2^{3} ＋$ …＋ $2^{62} ＋ 2^{63}$ ．

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5、计算： $\frac{20012000^{2}}{20011999^{2} + 20012001^{2} - 2}$

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6、在 $△ A B C$ 中， $A D$ 平分 $∠ B A C$ ， $B D ⊥ A D$ ，垂足为D，过D作 $D E ∥ A B$ ，交 $A C$ 于E．若 $A B = 2 \sqrt{6}$ ， $A C = 2 \sqrt{5}$ ，线段 $D E$ 的长为．

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7、如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ，直线m，n分别是 $A B$ 、 $A C$ 的垂直平分线，m，n交于点P，连接 $C P$ ．若 $∠ 1 = 21 °$ ，则 $∠ B$ 的度数为．

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8、如图，直线l，m分别与 $△ A B C$ 的边 $B C, A B$ 平行， $∠ 1 = 120 °, ∠ 2 = 100 °$ ，则 $∠ B$ 的度数是．

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9、如果 $(x + 1) (x^{2} - a x + 3)$ 的乘积中不含二次项，那么 $a$ 的值为．

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10、如图，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ．分别以点 $A$ ， $B$ 为圆心，大于 $\frac{1}{2} A B$ 长为半径画弧，交于点 $M$ ， $N$ ，作直线 $M N$ 分别交 $A B$ ， $A C$ 于点 $D$ ， $E$ ，连接 $C D$ ， $B E$ ．若 $∠ C B E = 18 °$ ，则 $∠ B C D$ 的度数为（）

A、 $18 °$ B、 $32 °$ C、 $36 °$ D、 $54 °$

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11、如图，将 $△ A B C$ 纸片沿 $D E$ 折叠，使点A落在点 $A^{'}$ 处，且 $B A^{'}$ 平分 $∠ A B C$ ， $C A^{'}$ 平分 $∠ A C B$ ，若 $∠ B A^{'} C = 115 °$ ， $∠ 1 = 45 °$ ，则 $∠ 2$ 的度数为（　　）

A、 $50 °$ B、 $55 °$ C、 $60 °$ D、 $65 °$

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12、若 $x^{2} - 3 x + 1 = 0$ ，则 $x^{2} + \frac{1}{x^{2}}$ 的值是（　　）

A、8 B、7 C、 $\frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}$ D、 $\frac{7 \pm \sqrt{5}}{2}$

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13、若不等式组 $\{\begin{matrix} 2 x - a < 1 \\ x - 2 b > 3 \end{matrix}$ 的解为 $- 3 < x < 1$ ，则 $(a + 1) (b - 1)$ 值为（）

A、 $- 6$ B、 $7$ C、 $- 8$ D、 $9$

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14、综合实践活动
【生活观察】
通过观察发现，将运动中的羽毛球看成一个点，扣杀球和网前吊球这两种击球的运动路线可以近似抽象成如下两种，如图（1）、（2）所示．
【数学建模】
数学小组成员发现扣杀球的路线近似为一条直线，网前吊球的路线近似为抛物线．羽毛球运动轨迹的剖面图如图（3）所示，从A点击球，击球点是抛物线的最高点，点A到地面的距离 $A O = 2.4 m$ ，球网上端点B到地面的距离 $B C = 1.55 m$ ，人与球网之间的距离 $O C = 1 .6 m$ ，假设两种击球路线都经过点B正上方 $0.05 m$ 处的点D，网前吊球和扣杀球的落点分别为点E、 $F$ ．
任务一：在图（3）中以O为坐标原点， $O F$ 所在的射线为x轴正半轴， $O A$ 所在的射线为y轴正半轴，建立平面直角坐标系，请直接写出两种击球路线的函数表达式（不用写自变量的取值范围）．
【模型应用】
任务二：网前吊球的落点到球网的距离 $C E$ 的长是______ $m$ ．
任务三：甲在A处击球，扣杀球时，羽毛球的平均速度约为 $36 m / s$ ，网前吊球时，羽毛球下降的高度 $h (m)$ 与时间 $t (s)$ 之间的关系式为 $h = 5 t^{2}$ ，乙在看到甲击球的同时，尝试接球，从甲击球到乙能成功接球的时间至少需要 $0.5 s$ ，请通过计算说明，乙能接到哪种方式的击球．

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15、如图，已知 $A B$ 为 $⊙ O$ 的直径，F为 $⊙ O$ 上一点，点C是劣弧的中点，过点 $C$ 作 $C D ⊥ A F$ 于点 $D$ ，延长 $A B ， D C$ 交于点 $E$ ，连接 $B C ， C F$ ．

(1)、若 $∠ A B C = 60 °$ ，求 $∠ E$ 的度数；

(2)、求证： $D E$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(3)、是否存在常数 $k$ ，使得 $\frac{A B - A F}{D F} = k$ ，若存在，求出 $k$ 的值，若不存在，请说明理由．

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16、已知一次函数 $y = k x + b$ 与反比例函数 $y = \frac{m}{x}$ 的图像交于 $A (- 3, 2)$ 、 $B (1, n)$ 两点．

(1)、求一次函数和反比例函数的表达式；

(2)、求 $△ A O B$ 的面积；

(3)、若点 $A$ 关于原点对称点为 $A_{1}$ ，在 $x$ 轴上求一点 $P$ ，使得 $△ P A_{1} B$ 周长最小，则点 $P$ 坐标为．

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17、学习宪法，是青少年成长的“必修课”．某校为了解九年级学生对宪法的学习情况，随机选取了九年级部分学生进行了相关测评（满分100分，90分以上为非常优秀），根据他们的成绩x（单位：分），绘制出如下不完整的统计图表．
九年级部分学生测试成绩频数分布表
组别
测试成绩x（分）
频数
A
$\begin{matrix} 50 < x \leq 60 \end{matrix}$
1
B
$60 < x \leq 70$
3
C
$70 < x \leq 80$
5
D
$80 < x \leq 90$
n
E
$90 < x \leq 100$
4
九年级部分学生测试成绩扇形统计图（如上右图）

(1)、 $m =$ ______， $n =$ ______；

(2)、已知该校九年级共有1200名学生，估计该校九年级学生中对宪法的学习情况为非常优秀的学生人数；

(3)、为积极促进学生对宪法的学习，学校计划从本次测试在90分以上的1位女同学和3位男同学中随机选择两位同学给全校同学分享学习宪法的心得与方法，请用列表或画树状图的方法，求选择的两位同学恰好是一男一女的概率．

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18、如图， $△ A B C$ 三个顶点的坐标分别为 $A (1, 1)$ ， $B (4, 2)$ ， $C (3, 4)$ ．

(1)、画出 $△ A B C$ 关于原点对称的 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ，并写出点 $A_{1}$ ， $B_{1}$ ， $C_{1}$ 的坐标．

(2)、求出 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ 的面积．

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19、解方程：

(1)、 $x^{2} - 5 x = 0$

(2)、 $x^{2} - 2 x - 3 = 0$

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20、定义：已知 $△ A B C$ ，若点 $P (x, y)$ 的对应点 $Q (x, y + x)$ 在 $△ A B C$ 的内部或边上，则称点 $P$ 为 $△ A B C$ 的“纵横叠入点”．在平面直角坐标系中，点 $A (- 5, 0)$ ， $B (5, 0)$ ， $C (- 5, 16)$ ，点 $P$ 是直线 $y = - x + 8$ 上的一点，若点 $P$ 为 $△ A B C$ 的“纵横叠入点”，且 $△ A B Q$ 是等腰三角形，则点 $P$ 的坐标为．

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组别	测试成绩x（分）	频数
A	$\begin{matrix} 50 < x \leq 60 \end{matrix}$	1
B	$60 < x \leq 70$	3
C	$70 < x \leq 80$	5
D	$80 < x \leq 90$	n
E	$90 < x \leq 100$	4