相关试卷

1、如图1， $△ A B C$ 是温室屋架设计图的一部分，立柱 $A D ⊥ B C$ 于点D，斜梁 $A B = A C = 4 m$ ， $∠ B = 30 °$ ．如图2，保持 $B C$ 长度不变，延长斜梁 $B A$ 至E，使 $A E = 2 m$ ，立柱 $E F ⊥ B C$ 于点F，从而增大屋顶向阳面的面积．

(1)、求立柱 $A D$ ， $E F$ 的长；

(2)、求 $∠ B E C$ 的度数；

(3)、求证： $B C = 4 F C$ ．

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2、在学习三角形的内角时，老师引导同学们根据拼合过程得到启发，如图1，过 $△ A B C$ 的顶点A作直线l平行于 $△ A B C$ 的边 $B C$ ，由平行线的性质与平角的定义就能证明“三角形的内角和等于 $180 °$ ”这个结论．

(1)、如果将“顶点A”这个特殊的位置换成“边 $A B$ 上的任意一点P”，过点P分别作 $△ A B C$ 另外两边的平行线，那么由平行线的性质与平角的定义也能证明“三角形的内角和等于 $180 °$ ”这个结论．请你先作出辅助线，再完成这个证明过程．
已知，如图2，在 $△ A B C$ 中，点P是边 $A B$ 上的任意一点．求证： $∠ A + ∠ B + ∠ C = 180 °$ ．

(2)、如图3，是A，B，C三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东 $50 °$ 方向，B岛在A岛的北偏东 $80 °$ 方向，C岛在B岛的北偏西 $40 °$ 方向．从B岛看A，C两岛的视角 $∠ A B C$ 是多少度？从C岛看A，B两岛的视角 $∠ A C B$ 呢？

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3、如图，已知在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ．

(1)、尺规作图：作 $∠ A B C$ 的平分线 $B D$ ，交 $A C$ 于点 $D$ （保留作图痕迹，不写作法和证明过程）；

(2)、在（1）的基础上，若 $△ A D B$ 的面积为 $5$ ， $A B = 5$ ，求 $C D$ 的长．

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4、（1）计算： $a^{2} + a - a (a + 3)$ ．
（2）先化简，再求值 ${(x - y)}^{2} + (y + x) (y - x)$ ，其中 $x = - 1$ ， $y = - 2$ ．

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5、阅读以下内容：
$(x - 1) (x + 1) = x^{2} - 1$ ；
$(x - 1) (x^{2} + x + 1) = x^{3} - 1$ ；
$(x - 1) (x^{3} + x^{2} + x + 1) = x^{4} - 1$ ；
$(x - 1) (x^{n - 1} + x^{n - 2} + x^{n - 3} + \dots + x + 1) = x^{n} - 1$ ( $n$ 为正整数)；
根据这一规律，计算： $3^{9} + 3^{8} + 3^{7} + \cdot \cdot \cdot + 3 + 1 =$

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6、如图，是静止在斜坡上小正方体木块的受力情况，其中摩擦力F的方向 $O F_{1} ∥ A C$ ，支持力N的方向 $O F_{2} ⊥ A C$ ，重力G的方向 $O F_{3} ⊥ A B$ ．若 $∠ A = α$ ，则 $∠ F_{2} O F_{3}$ 的度数是．

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7、在平面直角坐标系中，点 $M (- 2, 5)$ 关于y轴对称的点坐标是．

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8、如图，在等边 $△ A B C$ 中， $A D ⊥ B C$ ，垂足为点D， $A D = 6$ ，点E在 $A B$ 上运动，点P在 $A D$ 上运动，那么 $B P + E P$ 的最小值是（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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9、如图，边长为a，b的长方形，它的周长为14，面积为10，则 $a^{2} b + a b^{2}$ 的值是（）

A、30 B、40 C、70 D、140

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10、有一块三角形玻璃在运输过程中，不小心碎成如图所示的四块，嘉淇想按原来的大小在玻璃店再订制一块，需要带的两块可以是（）

A、①② B、②③ C、①③ D、①④

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11、下列运算正确的是（）

A、 $a^{2} \cdot a^{3} = a^{5}$ B、 ${(a^{2})}^{3} = a^{5}$ C、 ${(- 2 a)}^{3} = - 6 a^{3}$ D、 $a^{6} \div a^{3} = a^{2}$

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12、如图， $△ A B C ≌ △ D E F$ ，点 $A$ 、 $F$ 、 $C$ 、 $D$ 在同一条直线上，若 $A C = 5$ ， $F C = 2$ ，则 $D C$ 的长是（）

A、 $2$ B、 $3$ C、 $4$ D、 $5$

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13、如图，在 $△ A B C$ 中，用尺规作图的方法在 $A B$ 上确定点 $D$ ，若 $B D = 6$ ，则 $C D$ 的长是（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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14、下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（）

A、 $a b - b^{2}$ B、 $- a^{2} - b^{2}$ C、 $a^{2} + b^{2}$ D、 $a^{2} - b^{2}$

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15、下列各组数中，能作为一个三角形的三边长的是（）

A、1，1，3 B、1，2，3 C、2，3，4 D、2，3，5

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16、下列是历届中华人民共和国全运会会徽，其中是轴对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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17、如图，李师傅想用长为 $80$ 米的栅栏，再借助教学楼的外墙围成-个矩形的活动区 $A B C D$ ．已知教学楼外墙长 $50$ 米，设矩形 $A B C D$ 的边 $A B = x$ 米，面积为 $S$ 平方米．
（1）李师傅可否围出一个面积为 $750$ 平方米的活动区域？如果可以，求出 $x$ 的值；若不行，请说明理由；
（2）当 $x$ 为多少米时，活动区的面积最大？最大面积是多少？

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18、“校园安全”越来越受到人们的关注，我市某中学对部分学生就校园安全知识的了解程度，采用随机抽样调查的方式，并根据收集到的信息进行统计，绘制了下面两幅尚不完整的统计图．根据图中信息回答下列问题；

(1)、接受问卷调查的学生共有 ▲ 人，并补全统计图；

(2)、扇形统计图中“不了解”部分所对应扇形的圆心角的度数为；

(3)、若该中学共有学生 $1800$ 人，根据上述调查结果，可以估计出该学校学生中对校园安全知识达到“了解”和“基本了解”程度的总人数为人；

(4)、若从对校园安全知识达到“基本了解”程度的 $2$ 名男生和 $2$ 名女生中随机抽取 $2$ 人参加校园安全知识竞赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到 $1$ 名男生和 $1$ 名女生的概率．

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19、如图， $△ A B C$ 三个顶点的坐标分别为 $A (1, 1) ， B (4, 2) ， C (3, 4)$ ．

(1)、请画出 $△ A B C$ 绕点A顺时针旋转 $90 °$ 的 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ ，并写出点 $B_{2}$ 的坐标；

(2)、求出（1）中B点旋转到 $B_{2}$ 点所经过的路径长（结果保留 $π$ ）．

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20、如图，正三角形 $A B C$ 的边长为 $1$ ，将线段 $A C$ 绕点 $A$ 逆时针旋转 $120 °$ 至 $A P_{1}$ ，形成第一个扇形；将线段 $B P_{1}$ 绕点 $B$ 逆时针旋转 $120 °$ 至 $B P_{2}$ ，形成第二个扇形；将线段 $C P_{2}$ 绕点 $C$ 逆时针旋转 $120 °$ 至 $C P_{3}$ ，形成第三个扇形；将线段 $A P_{3}$ 绕点 $A$ 逆时针旋转 $120 °$ 至 $A P_{4}$ ，形成第四个扇……设 $l$ 为第 $n$ 个扇形的弧（ $n = 1, 2, 3$ ……），则 $l_{2021} =$ ．

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