相关试卷

1、在文创商店，小明向服务人员询问丹顶鹤、麋鹿、勺嘴鹬三种卡通饰品哪种最畅销.“最畅销”涉及的统计量是（）.

A、平均数 B、中位数 C、方差 D、众数

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2、在非物质文化遗产展区，小明看到如下发绣作品，其中作品主体图案是轴对称图形的是（　　）

A、 B、 C、 D、

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3、小明的背包随安检传送带移动，主要涉及的图形变换是（　　）

A、平移 B、轴对称 C、旋转 D、位似

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4、小明从小区﹣2楼出发，实数﹣2的绝对值是（　　）

A、2 B、﹣2 C、 $\frac{1}{2}$ D、 $- \frac{1}{2}$

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5、【问题背景】
水火箭是一种基于水和压缩空气的简易火箭，通常由塑胶汽水瓶作为火箭的箭身，并把水当作喷射剂．图 $1$ 是某学校兴趣小组制做出的一款简易弹射水火箭．
【实验操作】
为验证水火箭的一些性能，兴趣小组同学通过测试收集了水火箭相对于出发点的水平距离 $x$ （单位： $m$ ）与飞行时间 $t$ （单位： $s$ ）的数据，并确定了函数表达式为： $x = 3 t$ ．同时也收集了飞行高度 $y$ （单位： $m$ ）与飞行时间 $t$ （单位： $s$ ）的数据，发现其近似满足二次函数关系．数据如表所示：
飞行时间 $t / s$
$0$
$2$
$4$
$6$
$8$
$\dots$
飞行高度 $y / m$
$0$
$10$
$16$
$18$
$16$
$\dots$
【建立模型】
任务 $1$ ：求 $y$ 关于 $t$ 的函数表达式．
【反思优化】
图 $2$ 是兴趣小组同学在室内操场的水平地面上设置一个高度可以变化的发射平台（距离地面的高度为 $P Q$ ），当弹射高度变化时，水火箭飞行的轨迹可视为抛物线上下平移得到，线段 $A B$ 为水火箭回收区域，已知 $A P = 42 m$ ， $A B = (18 \sqrt{2} - 24) π$ ．
任务 $2$ ：探究飞行距离，当水火箭落地（高度为 $0 m$ ）时，求水火箭飞行的水平距离．
任务 $3$ ：当水火箭落到 $A B$ 内（包括端点 $A$ ， $B$ ），求发射台高度 $P Q$ 的取值范围．

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6、【知识技能】
材料 $1$ ：若关于 $x$ 的一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ 的两个根为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，则 $x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}$ ， $x_{1} x_{2} = \frac{c}{a}$ ．
材料 $2$ ：已知一元二次方程 $x^{2} - x - 1 = 0$ 的两个实数根分别为 $m$ ， $n$ ，求 $m^{2} n + m n^{2}$ 的值．
解：∵一元二次方程 $x^{2} - x - 1 = 0$ 的两个实数根分别为 $m$ ， $n$ ， ∴ $m + n = 1$ ， $m n = - 1$ ，
则 $m^{2} n + m n^{2} = m n (m + n) = - 1 \times 1 = - 1$ ．
【数学理解】
（1）一元二次方程 $4 x^{2} - x - 2 = 0$ 的两个根为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，则 $x_{1} + x_{2} =$ _____， $x_{1} x_{2} =$ ______．
【拓展探索】
（2）已知一元二次方程 $2 x^{2} + 3 x - 1 = 0$ 的两根分别为 $m$ ， $n$ ，求 $m^{2} + n^{2}$ 的值．
（3）已知实数 $s$ ， $t$ 满足 $2 s^{2} + 3 s - 1 = 0$ ， $2 t^{2} + 3 t - 1 = 0$ ，且 $s \neq t$ ，求 $\frac{1}{s} - \frac{1}{t}$ 的值．

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7、如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 与 $x$ 轴相交于 $A (- 1, 0)$ ， $B (4, 0)$ 两点，与 $y$ 轴相交于点 $C (0, 2)$ ．

(1)、求抛物线的解析式和对称轴；

(2)、利用图象回答：当 $x$ 取何值时， $y \leq 0$ ．

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8、如图，在平面直角坐标系中，△ $A B C$ 的顶点坐标分别为 $A (- 1, 0)$ ， $B (- 4, 1)$ ， $C (- 2, 2)$ ．

(1)、直接写出点 $B$ 关于 $x$ 轴对称的点 $B^{'}$ 的坐标：_____；

(2)、平移△ $A B C$ ，使平移后点 $A$ 的对应点 $A_{1}$ 的坐标为 $(2, 1)$ ，请画出平移后的△ $A_{1} B_{1} C_{1}$ ；

(3)、求线段 $O A_{1}$ 的长度．

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9、用适当的方法解方程：

(1)、 ${(x - 2)}^{2} - 36 = 0$ ；

(2)、 $x^{2} - 4 x - 12 = 0$ ．

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10、要组织一次足球联赛，赛制为双循环形式（每两队之间都进行两场比赛），共要比赛90场．设共有x个队参加比赛，则x满足的关系式为．

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11、二次函数 $y = x^{2} - 2 x - 6$ 的最小值为．

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12、如图，在等边 $△ A B C$ 中， $A B = 6$ ，点 $D$ 是 $B C$ 的中点，将 $△ A B D$ 绕点 $A$ 逆时针旋转后得到 $△ A C E$ ，那么线段 $A E$ 的长为（）

A、 $2 \sqrt{3}$ B、 $6$ C、 $3 \sqrt{3}$ D、 $4 \sqrt{2}$

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13、中国已经成为全球最大并且最有活力的新能源汽车市场．中国汽车工业协会数据显示，某品牌新能源汽车2022年5月份销量为10万辆，7月份销量为14.5万辆．设该品牌新能源汽车的月平均增长率为 $x (x > 0)$ ，则（）

A、 $10 (1 + 2 x) = 14.5$ B、 $14.5 {(1 - x)}^{2} = 10$ C、 $10 x^{2} = 14.5$ D、 $10 {(1 + x)}^{2} = 14.5$

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14、将小鱼图案绕着头部某点顺时针旋转90°后可以得到的图案是（　　）

A、 B、 C、 D、

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15、方程 $x^{2} - 4 = 0$ 的解是（）

A、 $x = 2$ B、 $x = - 2$ C、 $x = \pm 2$ D、没有实数根

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16、2024年4月，中国航天成功发射神舟十八号飞船．下列是有关中国航天的图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（　　）

A、中国探火 B、中国火箭 C、中国探月 D、中国行星探测

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17、综合实践
【活动交流】数学活动课上，周老师让学生用一段绳子(无弹性)沿着三角板的两直角边边缘拉直滑动．
如图1，第一次拉成折线 $B A C$ ，且 $A B = A C$ ，第二次拉成折线 $E A F$ ，探究绳子两个端点之间距离的变化情况．
周老师和同学们在探究时，有如下交流：
小明：两种不同位置，绳子的两个端点的距离不一样，即 $E F \neq B C$ ．
小聪：我发现问题可抽象为：如图 $2$ ，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ，在 $A C$ 和 $A B$ 延长线上分别取点 $F$ ， $E$ ，若 $C F = B E$ ，则 $E F > B C$ ．
小颖：小聪，在探究你的问题的过程中，我发现点 $D$ 是 $E F$ 中点．
周老师：小聪发现的结论是正确的，当绳子两端到角顶点距离相等时，绳子两端距离最小．
结合上述师生的交流完成下面任务：
【探究论证】
（1）如图2，请你证明小颖发现的结论；
（2）如图2，请你证明小聪发现的结论；
【创新应用】
（3）如图3， $△ A B C$ 中， $∠ A = 105 °$ ， $∠ B = 45 °$ ， $B C = 4 \sqrt{3}$ ，点 $D$ ， $E$ ， $F$ 分别在边 $A C$ ， $B C$ ， $A B$ 上，若 $A D = B E$ ，求 $D F + E F$ 的最小值．

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18、（1）观察下列命题完成填空：
①若 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{4}{a + b}$ ，则有 $a = b$ 或 $\frac{1}{a} = \frac{1}{b}$ ，
②若 $\frac{1}{a} + \frac{2}{b} = \frac{6}{a + b}$ ，则有 $a = b$ 或 $\frac{1}{a} = \frac{2}{b}$ ，
③若 $\frac{1}{a} + \frac{3}{b} = \frac{8}{a + b}$ ，则有 $a = b$ 或 $\frac{1}{a} = \frac{3}{b}$ ，
④若 $\frac{1}{a} + \frac{4}{b} = \frac{10}{a + b}$ ，则有 $a = b$ 或 $\frac{1}{a} = \frac{4}{b}$ ，
…
按规律猜想：若 $\frac{1}{a} + \frac{2025}{b} = \frac{()}{a + b}$ （括号内为），则有 $a = b$ 或______；
（2）若把（1）中命题改为：“若 $\frac{m}{a} + \frac{n}{b} = \frac{k}{a + b}$ ，则有 $a = b$ 或 $\frac{m}{a} = \frac{n}{b}$ ”仍然成立，猜想m，n，k应满足的等量关系式为______，并证明该命题成立；
（3）对于（2）中的m，n，k $（ m n k \neq 0 ）$ ，若满足 $m^{2} = n^{2} + k^{2}$ ，求 $\frac{m}{n}$ 的值．

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19、对于任意非负整数 $p$ ， $a$ ， $b$ 若满足： $p = a^{2} - b^{2}$ ，则称 $p$ 为 $a$ 与 $b$ 的“2次幂差数”．

(1)、下列两个数：① $8$ ， ② $6$ ，其中不是“2次幂差数”的是______(填序号)；

(2)、若 $p$ 为 $a$ 与 $b$ 的“2次幂差数”，且 $b$ ， $a$ 是两个连续的正整数，证明： $p$ 为奇数；

(3)、若 $p$ 为 $a$ 与 $b$ 的“2次幂差数”，且 $b = k - 3$ ， $p = - 2 k + 71$ ，求 $a$ 的最小值．

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20、如图，在 $6 \times 6$ 的正方形网格中， $△ A B C$ 的三个顶点都在格点上，请使用无刻度直尺按要求作图．（注意先用铅笔画，再用水笔描，求作的图形用实线，辅助的线条用虚线）

(1)、在图1中，画出 $A B$ 边上的高 $C D$ ；

(2)、在图2中，画出 $A C$ 边上的中线 $B E$ ；

(3)、在图3中，画 $△ A B F$ ，使 $△ A B F$ 与 $△ A B C$ 全等（F不与C重合，画出一个即可）．

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飞行时间 $t / s$	$0$	$2$	$4$	$6$	$8$	$\dots$
飞行高度 $y / m$	$0$	$10$	$16$	$18$	$16$	$\dots$