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1、房屋的屋顶常常设计为等腰三角形的形状，既是为了结构更牢固，也是为了追求对称美观和排水效果，如图1所示．如图2是屋顶设计图一部分， $A B = A C$ ， $B C = 10$ 米．

(1)、尺规作图：为了屋顶更稳固，需要加一根立柱 $A D$ 支撑，立柱 $A D$ 垂直于横梁 $B C$ ，垂足为点 $D$ ．请在图2中作出立柱 $A D$ （要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母）；

(2)、当 $∠ B A C = 90^{\circ}$ 时，求立柱 $A D$ 的长．

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2、解不等式组： $\{\begin{array}{l} 2 x - \frac{x + 3}{2} \leq 0 ① \\ 5 x + 1 > 3 (x - 1) ② \end{array}$ ．

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3、计算： $\sqrt{6} \times \sqrt{3} - 6 \sqrt{\frac{1}{2}}$ ．

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4、如图，设四边形 $A B C D$ 是边长为1的正方形，以正方形 $A B C D$ 的对角线 $A C$ 为边作第二个正方形 $A C E F$ ，再以第二个正方形 $A C E F$ 的对角线 $A E$ 为边作第三个正方形 $A E G H \dots \dots$ 如此下去，记正方形 $A B C D$ 的边长为 $a_{1} = 1$ ，按上述方法所作的正方形的边长依次为 $a_{1}, a_{2}$ ， $a_{3}, \dots, a_{n}$ ，根据上述规律，则第7个正方形的边长 $a_{7}$ 为．

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5、如图，长方形纸片 $A B C D, A B = 6, A D = 10$ ，将这张长方形纸片翻折，点 $D$ 落到 $B C$ 边点 $H$ 处，点 $C$ 落到点 $G$ 处，折痕交边 $A D, B C$ 于点E，F，若 $B H = 1$ ，则 $A E$ 的长为．

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6、如图，在扇形纸扇中，若 $∠ A O B = 150 °$ ， $O A = 24$ ，则 $\overset{⌢}{A B}$ 的长为．

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7、若点 $A (x_{1}, y_{1})$ 、 $B (x_{2}, y_{2})$ 、 $C (3, m^{2})$ 均在反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ （ $k$ 为常数，且 $k \neq 0$ ）的图象上，其中 $x_{1} < 0 < x_{2}$ ，则 $y_{1}$ $y_{2}$ ．（填“ $>$ ”“ $<$ ”或“ $=$ ”）

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8、方程 $\frac{1}{2 x - 1} = 1$ 的解是 $x =$ ．

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9、因式分解 $18 x^{2} y - 12 x y + 2 y =$ ．

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10、如图1，在矩形 $A B C D$ 中，点 $P$ 从点 $A$ 出发，沿折线 $A - D - C$ 向点 $C$ 匀速运动，过点 $P$ 作对角线 $A C$ 的垂线，交矩形 $A B C D$ 的边于点 $Q$ ．设点 $P$ 运动的路程为 $x, A Q$ 的长为 $y$ ，其中y关于 $x$ 的函数图象大致如图2所示，则 $m$ 的值为（）

A、4 B、 $2 \sqrt{15}$ C、8 D、 $2 \sqrt{13}$

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11、如图， $A B$ 为半圆 $O$ 的直径，四边形 $A B D E$ 内接于半圆 $O$ ． $C$ 为 $A B$ 延长线上一点， $C D$ 切半圆于点 $D$ ．若 $∠ E = 115 °$ ，则 $∠ C$ 的度数为（）

A、 $50 °$ B、 $40 °$ C、 $30 °$ D、 $20 °$

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12、已知函数 $y = - x + b$ 的图象如图所示，则关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} + x + b = 0$ 的根的情况是（）

A、没有实数根 B、有两个不相等的实数根 C、有两个相等的实数根 D、无法确定

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13、如图， $A B ∥ C D$ $, A E$ 与 $C D$ 相交于点 $O, ∠ A = 45 °, ∠ C = ∠ E$ ．则 $∠ C$ 的度数为（）

A、 $45 °$ B、 $30 °$ C、 $22.5 °$ D、 $15 °$

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14、如图，这是一个正方体的平面展开图，若相对的两个面上的数互为相反数，则 $x + y + z$ 的值为( )

A、 $- 8$ B、4 C、0 D、 $- 4$

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15、下列计算正确的是（）

A、 $a^{2} + a^{5} = a^{7}$ B、 ${(3 a^{2})}^{3} = 9 a^{6}$ C、 $x^{6} y^{3} \div x^{2} y = x^{4} y^{2}$ D、 ${(a + 1)}^{2} = a^{2} + 1$

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16、截至2025年末，白银市常住人口约为 $1482000$ 人，数据 $1482000$ 用科学记数法表示为（）

A、 $1.482 \times 10^{6}$ B、 $14.82 \times 10^{5}$ C、 $1.482 \times 10^{7}$ D、 $1482 \times 10^{3}$

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17、如图①，蜿蜒曲折的盘山公路仿佛一条长龙，在郁郁葱葱的山间起舞．数学活动课上，老师把盘山公路抽象成图 $②$ 所示的样子．

(1)、如图 $②$ ， $A B ∥ C D$ ， $∠ B = 125 °$ ， $∠ C = 25 °$ ，求 $∠ B P C$ 的度数；

(2)、聪明的小明在图 $②$ 的基础上，将图 $②$ 变为图 $③$ ，其中 $A B ∥ C D$ ， $∠ B = 125 °$ ， $∠ P Q C = 65 °$ ， $∠ C = 145 °$ ，求 $∠ B P Q$ 的度数．

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18、请将下面的解答过程补充完整．
如图，已知 $∠ 1 + ∠ 2 = 180 ° ， ∠ 3 = ∠ B$ ，试判断 $∠ A E D$ 与 $∠ C$ 的大小关系，并说明理由．
解： $∠ A E D$ 与 $∠ C$ 的大小关系是___________，理由如下：
$∵ ∠ 1 + ∠ 2 = 180 °$ （已知）
$∠ 1 = ∠ D F H$ （___________）
$∴ ∠ D F H + ∠ 2 = 180 °$ （等量代换）
$∴ E H ∥ B D$ （___________）
$∴ ∠ 3 =$ ___________（两直线平行，内错角相等）
$∵ ∠ 3 = ∠ B$ （已知） $∴$ ___________（等量代换）
$∴ D E ∥ B C$ （___________），
$∴ ∠ A E D = ∠ C$ （___________）

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19、如图，在平面直角坐标系中， $△ A B C$ 的顶点都在网格点上，其中点 $C$ 的坐标是 $(1, 2)$ ．

(1)、点 $A$ 的坐标是______，点 $B$ 的坐标是______；

(2)、将 $△ A B C$ 先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度后，得到 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ ．请画出 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ ，并直接写出点 $C^{'}$ 的坐标．

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20、解方程组： $\{\begin{array}{l} x - 2 y = 1 ① \\ 2 x + 3 y = 16 ② \end{array}$
解：解法一：由①，得 $x = 1 + 2 y$ ． ③
将③代入①，得 $1 + 2 y - 2 y = 1$ ，即 $1 = 1$ ，
所以原方程组无解．
解法二：由①，得 $x = 1 + 2 y$ ． ③
将③代入②，得 $2 (1 + 2 y) + 3 y = 16$ ，
解得 $y = 2$ ．
将 $y = 2$ 代入③，得 $x = 5$ ．
上面的两种解法正确吗？若不正确，请说明理由，并写出正确的解答过程．

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