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1、如图，在科学《光的反射》活动课中，小明同学将支架平面镜放置在水平桌面 $M N$ 上，镜面 $A B$ 的调节角 $(∠ A B M)$ 的调节范围为 $12 ° - 58 °$ ，激光笔发出的光束 $D C$ 射到平面镜上，若激光笔与水平天花板（直线 $E F)$ 的夹角 $∠ E P C = 30 °$ ，则反射光束 $C H$ 与天花板所形成的角 $(∠ P H C)$ 不可能取到的度数为（）

A、 $135 °$ B、 $50 °$ C、 $70 °$ D、 $120 °$

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2、下列长度的三条线段能首尾相接能构成三角形的是（）

A、 $1 cm$ ， $2 cm$ ， $3 cm$ B、 $3 cm$ ， $2 cm$ ， $6 cm$ C、 $6 cm$ ， $5 cm$ ， $10 cm$ D、 $6 cm$ ， $9 cm$ ， $2 cm$

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3、在边长为 $2$ 的正方形纸片 $A B C D$ 中，点 $E$ 在 $A B$ 边上，连接 $C E$ ，将 $△ B C E$ 沿 $C E$ 折叠，得到 $△ B^{'} C E$ ．

(1)、如图1，若点 $B^{'}$ 落在对角线 $A C$ 上，求 $B E$ 的长；

(2)、如图2，若 $C B^{'}$ 的延长线与 $A D$ 相交于点 $F$ ，猜想 $B E$ ， $A F$ ， $B^{'} F$ 的数量关系，并证明；

(3)、如图3，点 $G$ 是 $A D$ 的中点，连接 $G B^{'}$ ，当 $G B^{'}$ 的长最短时，求 $A E$ 的长．

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4、如图，在 $▱ A B C D$ 中，延长 $C B$ 到点E，使得 $B E = B C$ ，连接 $A E$ ， $B D$ ，若 $A E = A B$ ．求证： $A B = D B$ ．

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5、计算：

(1)、 $4 \sqrt{5} + \sqrt{45} - \sqrt{20}$ ；

(2)、 $\frac{2}{3} \sqrt{9 x} + 6 \sqrt{\frac{x}{4}} (x \geq 0)$ ．

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6、如图，正方形 $A B C D$ 中，点 $P$ 为 $B D (B D > 6)$ 上一动点，连接 $A P$ ，过点 $P$ 作 $P Q ⊥ A P$ 交 $C D$ 边所在直线于点 $Q$ ．点 $P$ 从点 $B$ 出发，沿 $B D$ 方向移动，若移动的路径长为6，则 $A Q$ 的中点 $M$ 移动的路径长为．

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7、如图，数轴上的点A表示的数是．

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8、若正多边形的一个内角比它的一个外角大 $36 °$ ，则这个多边形的边数为．

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9、如图，正方形 $A B C D$ 的边长为定值，E是边 $C D$ 上的动点（不与点C，D重合）， $A E$ 交对角线 $B D$ 于点F， $F G ⊥ A E$ 交 $B C$ 于点G， $G H ⊥ B D$ 于点H．现给出下列结论：① $A F ＝ F G$ ； ② $△ G E C$ 的周长为定值； ③ $F H$ 的长度为定值，则正确的是（　　）

A、①②③ B、①② C、①③ D、①

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10、如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形拼成的图形，若大正方形的面积41，小正方形的面积是1，设直角三角形较长的直角边为b，较短的直角边为a，则 $a + b$ 的值是（　　）

A、9 B、8 C、7 D、6

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11、某数学兴趣小组开展了笔记本电脑的张角大小的实践探究活动．如图，当张角为 $∠ B A F$ 时，顶部边缘 $B$ 处离桌面的高度 $B C$ 为 $14 cm$ ，此时底部边缘 $A$ 处与 $C$ 处间的距离 $A C$ 为 $48 cm$ ，小组成员调整张角的大小继续探究，最后发现当张角为 $∠ D A F$ 时（ $D$ 是 $B$ 的对应点），顶部边缘 $D$ 处到桌面的距离 $D E$ 为 $40 cm$ ，则底部边缘 $A$ 处与 $E$ 之间的距离 $A E$ 为（）

A、 $30 cm$ B、 $28 cm$ C、 $41 cm$ D、 $18 cm$

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12、若菱形的边长为5，一条对角线长为6，则菱形的面积为（）

A、8 B、12 C、20 D、24

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13、下列运算正确的是（）

A、 $3 \sqrt{2} - \sqrt{2} = 3$ B、 ${(a^{2} b)}^{3} = a^{6} b^{3}$ C、 $a^{2} \cdot a^{3} = a^{6}$ D、 ${(x - 3)}^{2} = x^{2} - 9$

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14、函数 $y = \sqrt{x - 1}$ 的自变量x的取值范围是（　　）

A、 $x > - 1$ B、 $x > 1$ C、 $x \geq - 1$ D、 $x \geq 1$

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15、如下图，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 6$ ， $B C = 8$ ， G，H分别是 $A D$ ， $B C$ 上的中点，E，F是对角线 $A C$ 上的两个动点，分别从点A，C同时出发相向而行，始终保持 $A E = C F$ ，连接 $E H$ ， $H F$ ， $F G$ ， $G E$ ．已知点E，F的速度均为每秒1个单位长度，设运动时间为 $t (0 < t \leq 10)$ ．

(1)、求证： $△ A G E ≌ △ C H F$ ；

(2)、求证：四边形 $E G F H$ 是平行四边形；

(3)、若四边形 $E G F H$ 为矩形时，求t的值

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16、先阅读材料，再解答下列问题、由 $(\sqrt{5} + \sqrt{3}) (\sqrt{5} - \sqrt{3}) = {(\sqrt{5})}^{2} - {(\sqrt{3})}^{2} = 2$ 可以看出，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，称这两个代数式互为有理化因式，在进行二次根式计算时，利用有理化因式，有时可以化去分母中的根号，例如：
$\frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{(\sqrt{3} + \sqrt{2}) (\sqrt{3} - \sqrt{2})} = \sqrt{3} - \sqrt{2}$ ，请完成下列问题：

(1)、 $\sqrt{2} + 1$ 的有理化因式是__________；化简 $\frac{3}{3 + \sqrt{6}} =$ __________；

(2)、计算： $\frac{1}{\sqrt{2} + 1} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{4} + \sqrt{3}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{2025} + \sqrt{2024}}$ ．

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17、如图，O是菱形 $A B C D$ 对角线 $A C$ 与 $B D$ 的交点；过点C作 $C E ∥ D B$ ，过点B作 $B E ∥ A C$ ， $C E$ 与 $B E$ 相交于点E．求证：四边形 $O B E C$ 为矩形；

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18、如图，在平行四边形 $A B C D$ 中， $∠ B A D$ 的平分线 $A E$ 交 $C D$ 于E，若 $B C = 6$ ， $∠ B = 100 °$ ．求 $D E$ 的长和 $∠ A E D$ 的度数．

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19、如图，在四边形 $A B C D$ 中，连接 $B D$ ， $∠ A = ∠ C$ ， $∠ 1 = ∠ 2$ ．求证：四边形 $A B C D$ 是平行四边形．

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20、如图，强大的台风使得一根旗杆在离地面 $3m$ 处折断倒下，旗杆顶部落在离旗杆底部 $4m$ 处，旗杆折断之前高度是多少？

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