相关试卷

1、下列计算正确的是（）

A、 $a + a^{3} = a^{4}$ B、 $a^{2} \cdot a^{3} = a^{6}$ C、 $(a b + b^{2}) \div b = a + b$ D、 ${(a b^{3})}^{2} = a b^{6}$

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2、若 $x = 3$ 是关于 $x$ 的一元一次方程 $4 x - m + 1 = 0$ 的解，则 $m$ 的值为（）

A、10 B、11 C、12 D、13

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3、下列字母不属于轴对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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4、据广东气象台发布，2024年广东高寒山区最低温度为 $- 6$ ℃．下列四个数中，比 $- 6$ 小的数是（）

A、1 B、0 C、 $- 4$ D、 $- 7$

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5、已知，如图， $∠ A B C = ∠ A D C$ ， $B F$ 、 $D E$ 分别平分 $∠ A B C$ 与 $∠ A D C$ ，且 $∠ 1 = ∠ 3$ ．试说明： $A B ∥ D C$ ．（请根据条件进行推理，得出结论，并注明理由）

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6、计算： ${(\frac{1}{3})}^{0} + {(- 1)}^{- 1} - {(\frac{1}{2})}^{99} \times 2^{100}$ ．

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7、如图，将边长分别为 $a$ 和 $b$ 的两个正方形拼在一起， $B, E$ ， $A$ 三点在同一直线上，连接 $A G, A D$ ，若两正方形的边长满足 $a - b = 4, a b = 12$ ，则阴影部分的面积为（　　）

A、8 B、10 C、14 D、16

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8、下列计算正确的是（　　）

A、 ${(- x^{3})}^{2} = x^{6}$ B、 $x^{3} \cdot x^{3} = x^{9}$ C、 ${(- a^{3} b)}^{3} = - a^{6} b^{3}$ D、 $3 a^{2} \div a^{2} = 3 a$

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9、如图1，已知反比例函数 $y = \frac{2}{x} (x > 0)$ ，点A，B在x轴正半轴上（点A在点B的左侧），过点A，B分别作． $A D ⊥ x$ 轴， $B C ⊥ x$ 轴，交反比例函数图象于点D，C，连接 $O C, O D$ ．

(1)、填空： $S_{△ O A D} =$ _______；

(2)、求证： $S_{△ O C D} = S_{四边形 A B C D}$ ；

(3)、如图2，直线 $y = - x + 2$ 交 $A D$ 于点F，交 $C B$ 延长线于点G．点 $E (2, 2)$ 在线段 $C D$ 上．
①若点E是 $C D$ 的中点．证明：四边形 $F G C D$ 为平行四边形．并求出此时 $S_{△ O C D}$ 的值；
②如图3，连接 $E F, E G$ ．试判断 $△ E F G$ 的形状，并说明理由．

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10、如图1，点D，E分别是锐角三角形 $A B C$ 边 $A B$ ， $A C$ 的中点，点F，G是边 $B C$ 上的两点（F在G的左侧）， $D E = F G$ ，过点D，G分别作 $D H ⊥ E F$ ， $G P ⊥ E F$ ，垂足分别为H，P．

(1)、证明： $△ D H E ≌ △ G P F$ ；

(2)、将图1沿 $E F$ ， $D H$ ， $P G$ 剪开，得到如图2所示的四块图形编号为Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ．我们发现由此四块图形可以拼接成矩形．如图3中的矩形 $K L H J$ 就是由这四块拼接的矩形．具体操作是延长 $H D$ ， $P E$ ，取 $D L = D H$ ， $E J = E P$ ，过点L，J分别作 $K L ⊥ L H$ ， $K J ⊥ J E$ ，得到矩形 $K L H J$ ．
①【操作】请你试着把矩形 $K L H J$ 内部除第Ⅰ块外的部分，分成分别与Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ形状大小对应相同的三块，并在图中用尺规作图作出来（不写作法，保留作图痕迹）；
②【应用】在图3中，若矩形 $K L H J$ 为正方形， $A C = 8$ ， $B C = 4 \sqrt{3}$ ， $∠ C = 60 °$ ，求 $B F$ 的长．

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11、数学兴趣小组围绕着“关于x的二次函数

y = - \frac{1}{12} x^{2} + \frac{1}{6} t x

在给定范围内，当x为何值时，y取最小值”展开研究．

【基础回顾】（1）当 $t = 1$ 时，则 $y = - \frac{1}{12} x^{2} + \frac{1}{6} x$ ，其中 $0 \leq x \leq \frac{3}{2}$ ，当 $x =$ _______时，y取最小值；

【举一反三】关于x的二次函数 $y = - \frac{1}{12} x^{2} + \frac{1}{6} t x$ ，学生选取不同的t值，其中 $0 \leq x \leq \frac{3}{2}$ ，当x为何值时，y取最小值，并记录如下：

	$- 2$	$- 1$	0	$\frac{3}{4}$	$\frac{3}{2}$	4	5
y取最小值时x的值	$x = \frac{3}{2}$	$x = \frac{3}{2}$	$x = \frac{3}{2}$	$x = \frac{3}{2}$ 或0	$x = 0$	$x = 0$	$x = 0$

【探究发现】

发现：由表格数据，数学小组发现：以 $t = \frac{3}{4}$ 为分界，

①当 $t < \frac{3}{4}$ ， $x = \frac{3}{2}$ 时，y取最小值；

②当 $t = \frac{3}{4}$ ， $x = \frac{3}{2}$ 或0时，y取最小值；

③当 $t > \frac{3}{4}, x = 0$ 时，y取最小值．

（3）猜想证明：请你补充数学小组未完成的证明：

设 $M (m, y_{m})$ ， $N (n, y_{n})$ 是关于x的二次函数 $y = - \frac{1}{12} x^{2} + \frac{1}{6} t x (m \leq x \leq n)$ 图象上的两端点，

$∴$ 抛物线的对称轴记为 $x_{轴} = t$ ， MN中点的横坐标记为 $x_{中} = \frac{m + n}{2}$ ．

$∵ a = - \frac{1}{12}$ ，

$∴$ 抛物线的开口向下．

$∴$ 当 $t < \frac{m + n}{2}$ ，即 $x_{轴} < x_{中}$ ，点N离对称轴较远，则当 $x = n$ 时，y取最小值．

当 $t = \frac{m + n}{2}$ 时，即 $x_{轴} = x_{中}$ ， _______；

当 $t > \frac{m + n}{2}$ 时，即 $x_{轴} > x_{中}$ ， _______；

综上所述：猜想（2）得证．

（2）猜想：

关于x的二次函数 $y = - \frac{1}{12} x^{2} + \frac{1}{6} t x$ ，其中 $m \leq x \leq n$ ，当 $x =$ _______时，y取最小值．

【实际运用】（4）如图，在青少年足球比赛中，球员甲在点O处准备挑球过人．以O为原点，足球离地面高度y米与到原点的水平距离x米近似满足二次函数关系．因在甲正前方7.5米C处有防守运动员乙准备拦截，甲调整出球力度，使足球沿抛物线 $y = - \frac{1}{12} x^{2} + \frac{1}{6} t x$ 飞向防守运动员乙．防守运动员乙一个跨步（约0.5米）范围内防守，即当 $7 \leq x \leq 8$ 时，足球离地面高度大于防守运动员乙的最高摸高 $\frac{7}{3}$ 米，求t的取值范围．

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12、为助力珠海打造活力之城，丰富市民的业余文体生活，珠海某社区计划采购一批相同型号白匹克球拍（单位：副）和匹克球（单位：个）．若购买2副匹克球拍和5个匹克球，共花费370元；若购买4副匹克球拍和9个匹克球，共花费730元．

(1)、求匹克球拍与匹克球的单价分别是多少元？

(2)、由于社区参与文体活动的居民人数变化，采购需求有所调整．现需一次性购买匹克球拍匹克球数量之和为50，匹克球拍不少于5副，同时购买的总费用不能超过1500元．求满足件的采购方案有哪些？

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13、电影《哪吒之魔童闹海》自上映以来，票房不断刷新影史纪录．《哪吒之魔童闹海》角色盲盒深受同学们喜爱．某商家计划推出一系列盲盒，含哪吒，敖丙，李靖，殷夫人，太乙真人五种角色．为了解学生喜好，商家随机抽取了某校部分观影学生进行问卷调查（要求每人必选且只选一个最喜爱的角色），并对数据进行了整理、描述和分析，如图：

(1)、数据整理：此次调查的学生人数为_______人，扇形统计图中喜爱“太乙真人”的圆心角度数为_______，请补全条形统计图；

(2)、合理预测：若该校共有 $1200$ 名学生观影，请通过计算估计全校最爱“敖丙”角色的学生人数；

(3)、分析决策：商家需选择一名角色作为盲盒的隐藏款，你认为应选择哪个角色作为隐藏款？请说明理由．

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14、如图，在边长为1的正方形网格图中，建立平面直角坐标系，一圆弧经过点A，B，C，D，其中A，B，C为网格点．

(1)、请直接写出图中弧 $A B C$ 所在圆的圆心P的坐标_______；

(2)、求圆周角 $∠ A D C$ 的度数．

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15、计算： ${(- 2025)}^{0} \times |- 3| - \sqrt{4} - 3^{- 1}$ ．

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16、抛物线 $L : y = a {(x - 3)}^{2} - 1$ 过 $A (- 2, 3), B (m, 3)$ 两点，将抛物线L向左或向右平移后得到抛物线M，设抛物线M的顶点为C．若 $△ A B C$ 是以 $A B$ 为斜边的直角三角形，则点C的坐标为．

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17、如图，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ， $∠ B = 30 °$ ， $A B = 3$ ，将 $Rt △ A B C$ 从点A出发沿底边中线 $A D$ 方向平移得到 $Rt △ A^{'} B^{'} C^{'}$ ，当 $A A^{'} = \frac{2}{3} A D$ 时，重叠部分 $△ A^{'} M N$ 的周长是．

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18、已知点 $A (x_{1}, y_{1})$ ， $B (x_{2}, y_{2})$ 在反比例函数 $y = \frac{2}{x}$ 的图象上．若 $x_{1} x_{2} = 2$ ，则 $y_{1} y_{2}$ 的值为．

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19、一组数据48，50，47，44，50，53的中位数是．

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20、如题图，正五边形 $A B C D E$ 内接于圆，过点A的切线与直线 $D E$ ， $B C$ 相交于点F，G，直线 $D E$ ， $B C$ 相交于点H，下列结论中：① $∠ H = 36 °$ ；② $D E^{2} = E F \cdot D H$ ；③ $S_{五边形 A B C D E} = 2 S_{△ H D C}$ ；④当正五边形 $A B C D E$ 的边长为2时，线段 $E F$ 的长是 $\sqrt{5} - 1$ ．正确的结论有（）

A、①②③ B、①②④ C、①③④ D、①②③④

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