相关试卷

1、阅读下列材料，其①～④步中数学依据错误的是（）

如图：已知直线 $b ∥ c$ ， $a ⊥ b$ ，求证： $a ⊥ c$ ．

证明：①∵ $a ⊥ b$ （已知）

∴ $∠ 1 = 90 °$ （垂直的定义）

②又∵ $b ∥ c$ （已知）

③∴ $∠ 1 = ∠ 2$ （同位角相等，两直线平行）

∴ $∠ 2 = ∠ 1 = 90 °$ （等量代换）

④∴ $a ⊥ c$ （垂直的定义）．

A、① B、② C、③ D、④

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2、如图，小手盖住的点的坐标可能为（）

A、（5，2） B、（-6，3） C、（-4，-6） D、（3，-4）

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3、【模型建立】
如图1，三个直角三角形的直角顶点都在同一条直线上，这一模型叫作“一线三垂直”型．这种模型是证明三角形全等的常见模型，在数学解题中被广泛使用．如图，一次函数 $y = - x + 10$ 的图象与 $x$ 轴、 $y$ 轴分别交于 $B, A$ 两点．
【模型探索】
（1）如图2，求证： $△ A O B$ 是等腰直角三角形．
（2）如图3， $M, N$ 是直线 $y = k x$ 上的两动点，连接 $B M, A N$ ．若 $B M ⊥ M N, B M = 6$ ，求 $A N$ 的长的最小值．
【模型应用】
（3）如图4，经过点 $B$ 的直线 $y = \frac{1}{2} x - 5$ 与 $y$ 轴交于点 $C$ ， $H$ 为线段 $O B$ 上的一点，作射线 $C H$ ．若 $∠ B C H = 45 °$ ，求直线 $C H$ 的函数解析式．

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4、如图， $⊙ O$ 是正方形 $A B C D$ 的外接圆．

(1)、如图1，若 $P$ 是 $\overset{⌢}{A B}$ 上的一点，Q是 $D P$ 上的一点，且 $D Q = B P$ ．
①求证： $A Q = A P$ ．
②若 $D Q = 1, A Q = 2 \sqrt{2}$ ，求 $⊙ O$ 的直径．

(2)、如图2，若点P在 $\overset{⌢}{A D}$ 上，过点 $A$ 作 $A H ⊥ B P$ ，求证： $B P - D P = 2 A H$ ．

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5、综合与实践

主题：二次函数与刹车距离的探究
素材1	如图，刹车距离是指车辆在行驶过程中，从驾驶员开始踩下刹车踏板到车辆完全停止时，所行驶的距离．
素材2	在汽车行驶安全研究中，汽车的刹车距离是重要的研究指标．经大量实验和数据分析，发现某品牌汽车的刹车距离 $y$ （单位：米）与刹车时汽车的速度 $x$ （单位：千米/小时）之间存在二次函数关系．
素材3	当汽车的速度为0千米/小时，刹车距离为0米；当汽车的速度为40千米/小时，刹车距离为16米；当汽车的速度为60千米/小时，刹车距离为30米．

请根据上述素材，解答下列问题．

(1)、求

y

与

x

的二次函数关系式．

(2)、在高速公路上，一辆该品牌汽车前方70米处突然出现落石，为了避免撞到该落石，汽车刹车时的速度不能超过多少？（不考虑汽车变道和司机的反应时间）

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6、某工厂有甲、乙两个车间，甲车间生产 $A$ 产品，乙车间生产 $B$ 产品．已知销售 $A$ 产品 $30$ 件， $B$ 产品 $20$ 件，共收入 $680$ 元；销售 $A$ 产品 $50$ 件， $B$ 产品 $40$ 件，共收入 $1240$ 元．

(1)、求 $A$ ， $B$ 两种产品的销售单价．

(2)、若该工厂销售 $A$ ， $B$ 两种产品共 $300$ 件，总收入不超过 $4000$ 元，则最少要销售 $A$ 产品多少件？

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7、为了深入学习贯彻党的二十届三中全会精神，某校举行了“学三中全会精神，做新时代好少年”为主题的知识竞赛．现从八、九年级学生中各随机抽取10名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩用 $x$ 表示，共分成四组： $A .80 < x \leq 85$ ； $B .85 < x \leq 90$ ； $C .90 < x \leq 95$ ； $D .95 < x \leq 100$ ），现在给出了部分信息如下：
八年级10名学生的竞赛成绩在 $C$ 组中的数据：93，94，95．
九年级10名学生的竞赛成绩：81，83，85，89，90，95，99，99，99，100．
抽取的八年级学生竞赛成绩扇形统计图
抽取的八、九年级学生竞赛成绩统计表
年级
八年级
九年级
平均数
92
92
中位数
$b$
92.5
众数
100
$c$
根据以上信息，解答下列问题．

(1)、填空： $a =$ ______， $b =$ ______， $c =$ ______．

(2)、根据以上数据，你认为该校八、九年级中抽取的哪个年级的学生对三中全会知识的掌握程度更好？请说明理由．（写出一条即可）

(3)、若该校八、九年级各有300名学生参加了此次竞赛，请估计该校参加此次竞赛成绩（ $x > 95$ ）为优秀的学生总人数．

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8、如图，某一海域有4个海岛A，B，C，D，海岛C在海岛A的正东方向，海岛D位于海岛A北偏东 $60 °$ 方向上，海岛B位于海岛A南偏东 $45 °$ 方向上，海岛C位于海岛B北偏东 $60 °$ 方向上，海岛C位于海岛D南偏东 $30 °$ 方向上，海岛A和海岛B之间的距离为40海里．

(1)、求海岛A和海岛C之间的距离 $A C$ ．（结果保留根号）

(2)、一艘船从海岛A出发，以每小时40海里的速度沿 $A D$ 方向前往海岛D处运送物资．求该船到达海岛D处所用的时间．（结果保留根号）

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9、如图， $A D$ 是 $△ B A C$ 的角平分线．

(1)、尺规作图：作 $A D$ 的垂直平分线 $E F$ ，交 $A C$ 于点 $E$ ，交 $A B$ 于点 $F$ ，交 $A D$ 于点 $G$ （不写作法，保留作图痕迹）．

(2)、在（1）的条件下，求证： $A E = A F$ ．

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10、计算： $|\sqrt{2} - 2| - {(\frac{1}{3})}^{- 1} + 2 cos 45 ° + \sqrt[3]{8}$ ．

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11、如图，在菱形 $A B C D$ 中， $M$ ， $N$ 分别是边 $C D$ ， $B C$ 上的动点，连接 $A M$ ， $M N$ ， $P$ ， $Q$ 分别为 $A M$ ， $M N$ 的中点，连接 $P Q$ ．若 $∠ B = 45 °$ ， $A B = 4$ ，则 $P Q$ 的最小值为．

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12、如图，这是用卡钳测量一个集气瓶的内径的截面图．若 $A B = C D$ ， $\frac{O D}{O C} = \frac{O A}{O B} = \frac{1}{3}$ ， $A D = 3$ $cm$ ，则该集气瓶的内径 $B C$ 的长为 $cm$ ．

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13、分式方程 $\frac{2}{x} = \frac{3}{x + 3}$ 的解为．

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14、单项式 $- a^{3} b$ 的次数是．

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15、二次函数 $y = a x^{2} + a x$ 与一次函数 $y = a x + a$ 在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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16、在学校即将举办的一场盛大的校园文化节活动中，学校的文艺部计划从甲、乙、丙、丁四人中随机选择两人担任本次文化节的主持人，则选中甲和丙的概率是（）

A、 $\frac{1}{12}$ B、 $\frac{1}{6}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{1}{3}$

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17、如图，在 $▱ A B C D$ 中， $B E$ 是 $∠ A B C$ 的平分线，延长 $B E$ 交 $C D$ 的延长线于点 $F$ ．若 $D F = 6$ ， $A B = 12$ ，则 $B C$ 的长为（）

A、12 B、15 C、18 D、21

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18、已知点 $(- 3, y_{1}), (- 8, y_{2})$ 在反比例函数 $y = - \frac{2}{x}$ 的图象上，则 $y_{1}, y_{2}$ 的大小关系为（）

A、 $y_{1} > y_{2}$ B、 $y_{1} = y_{2}$ C、 $y_{1} < y_{2}$ D、无法比较大小

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19、如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径，若 $∠ A O D = 44 °$ ，则 $∠ C$ 的度数为（）

A、 $68 °$ B、 $56 °$ C、 $46 °$ D、 $44 °$

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20、不等式组 $\{\begin{matrix} 6 - 2 x > 0 \\ 3 + x < 1 \end{matrix}$ 的解集为（）

A、 $x > 3$ B、 $x < - 2$ C、 $x < 3$ D、 $x > 2$

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年级	八年级	九年级
平均数	92	92
中位数	$b$	92.5
众数	100	$c$