相关试卷

1、学习宪法，是青少年成长的“必修课”．某校为了解九年级学生对宪法的学习情况，随机选取了九年级部分学生进行了相关测评（满分100分，90分以上为非常优秀），根据他们的成绩x（单位：分），绘制出如下不完整的统计图表．
九年级部分学生测试成绩频数分布表
组别
测试成绩x（分）
频数
A
$\begin{matrix} 50 < x \leq 60 \end{matrix}$
1
B
$60 < x \leq 70$
3
C
$70 < x \leq 80$
5
D
$80 < x \leq 90$
n
E
$90 < x \leq 100$
4
九年级部分学生测试成绩扇形统计图（如上右图）

(1)、 $m =$ ______， $n =$ ______；

(2)、已知该校九年级共有1200名学生，估计该校九年级学生中对宪法的学习情况为非常优秀的学生人数；

(3)、为积极促进学生对宪法的学习，学校计划从本次测试在90分以上的1位女同学和3位男同学中随机选择两位同学给全校同学分享学习宪法的心得与方法，请用列表或画树状图的方法，求选择的两位同学恰好是一男一女的概率．

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2、如图， $△ A B C$ 三个顶点的坐标分别为 $A (1, 1)$ ， $B (4, 2)$ ， $C (3, 4)$ ．

(1)、画出 $△ A B C$ 关于原点对称的 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ，并写出点 $A_{1}$ ， $B_{1}$ ， $C_{1}$ 的坐标．

(2)、求出 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ 的面积．

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3、解方程：

(1)、 $x^{2} - 5 x = 0$

(2)、 $x^{2} - 2 x - 3 = 0$

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4、定义：已知 $△ A B C$ ，若点 $P (x, y)$ 的对应点 $Q (x, y + x)$ 在 $△ A B C$ 的内部或边上，则称点 $P$ 为 $△ A B C$ 的“纵横叠入点”．在平面直角坐标系中，点 $A (- 5, 0)$ ， $B (5, 0)$ ， $C (- 5, 16)$ ，点 $P$ 是直线 $y = - x + 8$ 上的一点，若点 $P$ 为 $△ A B C$ 的“纵横叠入点”，且 $△ A B Q$ 是等腰三角形，则点 $P$ 的坐标为．

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5、“轮动发石车”是我国古代的一种投石工具，在春秋战国时期被广泛应用，图1是陈列在展览馆的仿真模型．图2是模型驱动部分的示意图，其中 $⊙ M$ ， $⊙ N$ 的半径分别是 $1 cm$ 和 $10 cm$ ，当 $⊙ M$ 顺时针转动2周时， $⊙ N$ 上的点P随之旋转 $n °$ ，则 $n =$ ．

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6、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ C = 34 °$ ，将 $△ A B C$ 绕点A按逆时针方向旋转，得到 $△ A B^{'} C^{'}$ ．若点 $B^{'}$ 恰好落在 $B C$ 边上，且 $A B^{'} = C B^{'}$ ，则 $∠ B^{'} A B =$ ．

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7、如图，在 $⊙ O$ 中，弦 $A B$ 的长为 $8 cm$ ，圆心 $O$ 到 $A B$ 的垂线段 $O E$ 长为 $3 cm$ ，则半径 $O A$ 的长为 $cm$ ．

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8、已知 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ 是一元二次方程 $2 x^{2} - 4 x + 1 = 0$ 的两个实数根，则 $x_{1} \cdot x_{2} - x_{1} - x_{2}$ 等于（）．

A、－2 B、 $\frac{1}{2}$ C、 $- \frac{3}{2}$ D、2

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9、小明受二次函数 $y = 2 x^{2} - 4 x + 8$ 的图象启发，为某葡萄酒大赛设计了一款杯子．如图所示的是杯子的设计稿，若 $A B = 4$ ， $D E = 3$ ，则杯子的高CE为（）

A、3 B、5 C、7 D、11

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10、如图，在 $△ A B C$ 中，点O在 $B C$ 上，以点O为圆心， $O B$ 长为半径的 $⊙ O$ 与 $A C$ 相切于点A，与 $O C$ 相交于点D，若 $∠ C = 28 °$ ，则 $∠ B$ 的度数为（）

A、 $38 °$ B、 $36 °$ C、 $34 °$ D、 $31 °$

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11、如图， $△ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $∠ B = 30 °$ ， $A B = 8$ ，将 $△ A B C$ 绕点A逆时针旋转 $15 °$ 得 $△ A B^{'} C^{'}$ ， $B^{'} C^{'}$ 交 $A B$ 于点E，则 $B^{'} E$ 的长为（）

A、 $4 - \sqrt{3}$ B、 $4 \sqrt{2}$ C、 $4 \sqrt{3} - 4$ D、 $6 - 2 \sqrt{3}$

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12、用配方法解一元二次方程 $x^{2} - 4 x + 1 = 0$ ，配方后所得的方程是（）

A、 ${(x - 2)}^{2} = 3$ B、 ${(x + 2)}^{2} = 3$ C、 ${(x - 2)}^{2} = - 1$ D、 ${(x + 2)}^{2} = - 1$

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13、下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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14、【问题背景】如图 $1$ ，在 $△ A B C$ 与 $△ A D E$ 中，若 $A B = A C$ ， $A D = A E$ ， $∠ B A C = ∠ D A E$ ．求证： $△ A B D ≌ △ A C E$ ；
【尝试运用】如图 $2$ ，在 $△ A B C$ 和 $△ D E C$ 中， $∠ A C B = ∠ D C E = 120 °$ ， $A C = B C$ ， $C D = C E$ ， $∠ A D C = 90 °$ ，延长 $E D$ 交 $A B$ 于点 $F$ ．求证： $F$ 为 $A B$ 的中点；
【拓展创新】如图 $3$ ，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ， $∠ A C B = 30 °$ ， $A C$ 边上的高为 $\sqrt{3}$ ，点 $M$ 是直线 $B C$ 上一动点，连接 $A M$ 、在直线 $A M$ 的右侧作等边 $△ A M N$ ，连接 $B N$ ，则 $A N + B N$ 的最小值 $=$ __________．

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15、阅读：在分式中，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，例如： $\frac{x - 1}{x + 1}$ ， $\frac{x^{2}}{x + 2}$ 这样的分式就是假分式；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如： $\frac{1}{x + 1}$ ， $- \frac{2 x}{x^{2} - 1}$ 这样的分式就是真分式，我们知道，假分数可以化为带分数，例如： $\frac{8}{3} = \frac{3 \times 2 + 2}{3} = 2 \frac{2}{3}$ ．类似地，假分式也可以化为“带分式”，即整式与真分式的和的形式，例如： $\frac{x^{2} + 2 x - 1}{x + 2} = \frac{x (x + 2) - 1}{x + 2} = x - \frac{1}{x + 2}$ ； $\frac{x^{2}}{x + 2} = \frac{(x^{2} + 2 x) - 2 x}{x + 2} = \frac{x (x + 2) - 2 x - 4 + 4}{x + 2} = \frac{x (x + 2) - 2 (x + 2) + 4}{x + 2} = x - 2 + \frac{4}{x + 2}$ ．
请根据上述材料，解答下列问题：

(1)、填空：①分式 $\frac{2}{x + 2}$ 是______分式（填“真”或“假”）．
②把下列假分式化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式： $\frac{x^{2} - 3 x + 5}{x - 3} =$ ______

(2)、把分式 $\frac{x^{2} + 2 x - 13}{x - 3}$ 化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式，并求x取何整数时，这个分式的值为整数．

(3)、一个三位数m，个位数字是百位数字的两倍．另一个两位数n，十位数字与m的百位数字相同，个位数字与m的十位数字相同．若这个三位数的平方能被这个两位数整除，求满足条件的两位数n．

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16、观察图形，解决问题：

(1)、如图①所示，请用两种不同的方法表示阴影部分的面积：
方法一：______，方法二：______；结合以上两种方法可以得到数学公式______；

(2)、当 ${(y - 2024)}^{2} + {(y - 2025)}^{2} = 5$ 时，求 $(y - 2024) (y - 2025)$ 的值；

(3)、如图②所示，两个正方形 $A B C D$ ， $A E F G$ 的边长分别为m，n．若 $m^{2} + n^{2} = 52$ ， $B E = 2$ ，求图中阴影部分的面积．

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17、等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是 $40 °$ ，则底角的度数为．

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18、已知 $a^{2} - 5 a + 1 = 0$ ，则 $\frac{a^{2}}{a^{4} + a^{2} + 1}$ 的值是（）

A、 $\frac{1}{22}$ B、 $\frac{1}{23}$ C、 $\frac{1}{24}$ D、 $\frac{1}{25}$

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19、下列说法正确的是（）

A、三角形的三条高所在直线交于一点 B、三角形的外角大于任何一个内角 C、三角形的重心是三边中垂线交点 D、等腰三角形的三条高、三条中线、三条角平分线各自互相重合

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20、下列计算正确的是（）

A、 $a^{2} \cdot a^{4} = a^{8}$ B、 $a^{6} + a^{3} + a^{2} = 3 a^{11}$ C、 $2 a + 3 b = 5 a b$ D、 ${(- 2 a^{2} b)}^{3} = - 8 a^{6} b^{3}$

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组别	测试成绩x（分）	频数
A	$\begin{matrix} 50 < x \leq 60 \end{matrix}$	1
B	$60 < x \leq 70$	3
C	$70 < x \leq 80$	5
D	$80 < x \leq 90$	n
E	$90 < x \leq 100$	4