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1、计算： ${(- 1)}^{2025} + \sqrt{9} + ∣ 1 - \sqrt{2} ∣ - \sqrt[3]{8} ．$

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2、如图， $D$ 为 $△ A B C$ 中 $A C$ 边上的一点， $D C = 2 A D$ ， $E$ 是 $A B$ 边上的一点， $A E = 3 B E$ ，若 $△ D E C$ 的面积为 $2$ ，则 $△ B E C$ 的面积为．

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3、如图，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ A B C = 90 ° ， ∠ C = 50 °$ ，根据图中尺规作图的痕迹，可得 $∠ A B D =$ $°$

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4、如图，在 $△ A B C$ 中，点D在 $B C$ 边上，且 $D E$ 是边 $A C$ 的垂直平分线，若 $A E = 2 cm$ ， $△ A B D$ 的周长为 $8 cm$ ，则 $△ A B C$ 的周长是 $cm$ ．

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5、如图，已知 $△ A E D ≌ △ A C B$ ，且点D在 $B C$ 边上， $∠ C A B = 80 °$ ， $∠ C A D = 20 °$ ，则 $∠ E A C =$ °．

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6、如图，在 $△ A B C$ 中，延长 $B C$ 至点D，若 $∠ A = 60^{\circ} ， ∠ B = 40^{\circ}$ ，则 $∠ A C D =$ °．

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7、等腰三角形的周长为 $10 cm$ ，腰长为 $4 cm$ ，则底边的长为 $cm$ ．

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8、如图，在等边 $△ A B C$ 中， $A B = 4$ ，点P是边 $B C$ 上的动点，点D，E分别在边 $A B, A C$ 上，且 $A D = C E = 1$ ．当 $P D + P E$ 的值最小时， $B P$ 的长为（）

A、2 B、2.5 C、3 D、3.5

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9、如图，已知 $∠ A B C = ∠ D C B$ ，且点A，D在直线 $B C$ 的两侧，要根据“ $SAS$ ”证明 $△ A B C ≌ △ D C B$ ，则还需要添加的条件是（）

A、 $A B = D C$ B、 $∠ B A C = ∠ C D B$ C、 $A C = D B$ D、 $∠ A C B = ∠ D B C$

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10、长沙杜甫江阁的屋顶设计采用了等腰三角形结构，如图，工程师在检修时发现，阁楼顶部中线 $A D$ 恰好也是高线，若 $∠ B A C = 120 °$ ，则下列结论：① $B D = D C$ ；② $△ A B D$ 是直角三角形；③ $∠ B A D = ∠ C A D$ ；④ $2 A D = A C$ ．其中正确的个数是（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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11、如图，有两根长度相等的木棍 $B C$ 和 $E F$ 分别靠在垂直于地面的墙的两侧，已知 $∠ A B C = ∠ D E F = 35 °$ ，则下列说法错误的是（）

A、 $A C = D F$ B、 $∠ A C B = 65 °$ C、 $A B = D E$ D、 $△ A B C ≌ △ D E F$

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12、长沙市兴联路大桥是目前湖南省单体投资最大的市政斜拉桥，这座大桥的开通，不仅为市民出行带来了便利，也为长沙的经济发展注入了新的活力．如图，兴联路大桥采用斜拉设计的结构，使得桥梁更加稳固，其蕴含的数学道理是（）

A、三角形具有稳定性 B、直角三角形两锐角互余 C、三角形两边之和大于第三边 D、三角形内角和等于 $180 °$

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13、如图，线段 $A B$ 为某景区缆车的缆绳， $∠ A$ 是缆绳 $A B$ 与水平面 $A C$ 的夹角．已知 $A B = 200$ 米， $∠ A = 30^{\circ}$ ，则缆车从位置 $A$ 到位置 $B$ ，垂直上升的高度 $B C$ 为（）

A、 $150$ 米 B、 $100 \sqrt{3}$ 米 C、 $100$ 米 D、 $100 \sqrt{2}$ 米

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14、如图，一个三角形纸板破损了一个角，如果把它补成完整的三角形纸板，需要补的角的度数是（）

A、 $50 °$ B、 $60 °$ C、 $65 °$ D、 $70 °$

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15、当前，科技与人工智能的迅猛发展，正引领社会生活方式的深度变革，以下科技公司的图标中是轴对称图形的为（）

A、 B、 C、 D、

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16、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ，点 $E$ 为 $A C$ 的中点，在 $△ A F C$ 中， $∠ A F C = 90 °$ ，连接 $B E ， B F ， E F$ ，若 $∠ A C B = 50 °$ ， $∠ E C F = 24 °$ ，则 $∠ E F B$ 的度数为（）

A、 $14 °$ B、 $16 °$ C、 $18 °$ D、 $15 °$

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17、如图1，在等边三角形 $A B C$ 中， $A B = 12$ ．点E，F分别在边 $A C ， B C$ 上，且 $A E = B F = 4$ ，动点 $P$ 从点 $F$ 出发沿射线 $F C$ 运动，以 $E P$ 为边向右侧作等边三角形 $E P M$ ，连接 $C M$ ．

(1)、求证： $△ E F C$ 是等边三角形．

(2)、当点 $P$ 在线段 $F C$ 上运动时，求 $E C ， P C ， C M$ 之间的数量关系．

(3)、如图2，当点 $P$ 在线段 $F C$ 的延长线上运动时，
① $∠ A C M =$ _________ $^{°}$ ；
②如图3作 $C P = C F$ ，再以 $E P$ 为边向右侧作等边三角形 $E P M$ ，连接 $C M$ ，证明： $E P ⊥ C M$ ．

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18、【问题背景】
（1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，请说明 $∠ A + ∠ B = ∠ C + ∠ D$ ；
【简单应用】
（2）如图2， $A P 、 C P$ 分别平分 $∠ B A D 、 ∠ B C D$ ，若 $∠ A B C = 44 °, ∠ A D C = 18 °$ ，求 $∠ P$ 的度数；
【问题探究】
（3）如图3，直线 $A P$ 平分 $△ B A D$ 的外角 $∠ F A D, C P$ 平分 $△ B C D$ 的外角 $∠ B C E$ ，若 $∠ A B C = 46 °, ∠ A D C = 26 °$ ，请猜想 $∠ P$ 的度数，并说明理由．
【拓展延伸】
（4）在图4中，若设 $∠ A B C = α, ∠ A D C = β$ ， $A P$ 平分 $∠ B A D, C P$ 平分 $∠ B C D$ 的外角 $∠ B C E$ ，猜想 $∠ P$ 与 $∠ A B C 、 ∠ A D C$ 的关系，直接写出结论（用 $α 、 β$ 表示 $∠ P$ ）．

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19、早在古罗马时代，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题：将军每天从军营 $A$ 出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的军营 $B$ 开会，应该怎样走才能使路程最短？这个问题的答案并不难，据说海伦略加思索就解决了它．从此以后，这个被称为“将军饮马”的问题便流传至今．
几何模型：条件：如图1，A、B是直线 $l$ 同旁的两个定点．
问题：在直线 $l$ 上确定一点 $P$ ，使 $P A + P B$ 的值最小．
解法：作点 $A$ 关于直线 $l$ 的对称点 $A^{'}$ ，连接 $A^{'} B$ ，则 $A^{'} B$ 与直线 $l$ 的交点即为 $P$ ，且 $P A + P B$ 的最小值为线段 $A^{'} B$ 的长．

(1)、根据上面的描述，在备用图中画出解决问题的图形；

(2)、应用：
①如图2，已知 $∠ A O B = 30 °$ ，其内部有一点 $P, O P = 15$ ，在 $∠ A O B$ 的两边分别有C、D两点（不同于点 $O$ ），使 $△ P C D$ 的周长最小，请画出草图，并求出 $△ P C D$ 周长的最小值；
②如图3， $∠ A O B = 20 °$ ，点M、N分别在边 $O A 、 O B$ 上，且 $O M = O N = 3$ ，点P，Q分别在 $O A 、 O B$ 上，则 $M P + P Q + Q N$ 的最小值是________．

(3)、拓展：如图，在四边形 $A B C D$ 中， $∠ B A D = 110 °, ∠ B = ∠ D = 90 °$ ，在 $B C, C D$ 上分别找一个点M，N，使 $△ A M N$ 的周长最小，则 $∠ A M N + ∠ A N M =$ ________ $°$ ．

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20、如图，四边形 $A B C D$ 的对角线 $A C ， B D$ 相交于点 $E, A C = A D, ∠ A C B = ∠ A D B$ ，点 $F$ 在 $E D$ 上， $∠ B A F = ∠ E A D$ ．

(1)、求证： $△ A B C ≌ △ A F D$ ；

(2)、若 $B E = F E$ ，求证：
① $A C ⊥ B D$ ；
②试探究 $A F$ 与 $C D$ 的位置关系．

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