相关试卷

1、圆能够帮助我们解决很多问题，例如角的转换、点的轨迹等等，我们常常通过定角、定长来构造圆．在同一平面内，直线 $l_{1}$ 与直线 $l_{2}$ 交于点O，点A、B分别在直线 $l_{1}$ 、 $l_{2}$ 上运动，点C是该平面上任意一点，且A、B、C三点为顺时针走向，已知 $S_{△ A B C} = 4$ ．

(1)、如图1，若 $O B = 2$ ， $∠ A O B = ∠ A B C = 90 °$ ， ①写出以 $A C$ 为直径的圆与直线 $l_{2}$ 交点个数；②求 $O C$ 的最大值；

(2)、如图2，若 $O A = 2$ ， $∠ A O B = ∠ B A C = 120 °$ ，求 $O C$ 的最大值．

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2、某中心学校九（1）班为了了解学生对消防知识的掌握情况，为此九（1）班全体同学进行了一次测试，测试满分为5分，将所得的分数（单位：分）进行分类，统计绘制了如下不完整的统计图．请根据图中信息，解答下列问题：

(1)、 $a =$ ，并补全条形统计图；

(2)、请计算九（1）班本次测试成绩的中位数和平均数；

(3)、由于学校开展消防演练的需要，现从成绩前四名（1名男生和3名女生）中随机抽取2人进行对灭火器的实践操作，请用画树状图或列表的方法求出恰好选中1男1女的概率．

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3、先化简，再求值： $(\frac{3}{1 - x} + x + 1) \div \frac{- x^{2} - 4 x - 4}{x - 1}$ ，其中 $x$ 满足 $x^{2} + 3 x + 2 = 0$ ．

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4、计算： ${(2025 + π)}^{0} + |\sqrt{8} - 9| - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{- 1} + 2 \cos 45 °$ ．

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5、已知关于x的一元二次方程 $x^{2} - m x + 2 m = 0$ 的两实数根为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，且满足 $x_{1}^{2} - x_{2}^{2} = 0$ ，则m的值为．

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6、“见贤思齐焉，见不贤而内自省也”这句话中，“贤”字出现的概率是．

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7、函数 $y = \frac{\sqrt{- x + 1}}{x^{2} - 1}$ 的自变量的取值范围是．

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8、在 $△ A B C$ 中， $∠ A 、 ∠ B 、 ∠ C$ 的对边分别为a、b、c，若 $2 a = \sqrt{6} b$ ，且关于A、B的函数 $y = \sqrt{2 \tan A - 2 \sqrt{3} \tan B} - \sqrt{3 \sqrt{3} \tan B - 3 \tan A}$ 有意义，则 $∠ C =$ （）

A、 $105 °$ B、 $90 °$ C、 $75 °$ D、 $60 °$

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9、中国太极图中，黑色和白色均衡对称、稳定和谐地组成了一幅美丽的图画．如图，太极图内切于正六边形 $A B C D E F$ 中，则图中黑色部分的面积与正六边形 $A B C D E F$ 的面积之比是（）

A、 $\frac{\sqrt{3} π}{12}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{12}$ C、 $\frac{\sqrt{3} π}{6}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{6}$

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10、如图，直线 $l_{1}$ 、 $l_{2}$ 与 $⊙ O$ 相切，切点分别为 $C 、 B$ ， $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 相交于点 $A$ ，连接 $O A$ 交 $⊙ O$ 于点 $D$ ， $D E ⊥ l_{2}$ ，若 $D E = 1$ ， $\sin ∠ D B E = \frac{1}{3}$ ，则 $⊙ O$ 的半径为（）

A、 $\frac{9}{2}$ B、 $5$ C、 $\frac{11}{2}$ D、 $4$

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11、综合与实践：
【问题情境】龙实社团叠纸社为了研究折纸过程中蕴涵的数学知识，陈老师发给每位同学完全相同的纸片，纸片形状如图1，在四边形 $A B C D$ 中（ $B C \geq C D$ ），
$A B ∥ C D ， ∠ B = 90 °$ ．
【探究实践】
陈老师引导同学们在边 $B C$ 上任取一点E，连接 $D E$ ，将 $△ D C E$ 沿 $D E$ 翻折，点C的对应点为H，然后将纸片展平，连接 $C H$ 并延长，分别交 $D E ， A B$ 于点M，G．陈老师让同学们探究：当点E在不同位置时，能有哪些发现？经过思考和讨论，小莹、小明向同学们分享了自己的发现．
（1）如图2，小莹发现：“当折痕 $D E$ 与 $A D$ 夹角为 $90 °$ 时，则四边形 $A G C D$ 是平行四边形”．请你判断小莹的结论是否正确，并说明理由．
（2）如图3，小明发现：“当E是 $B C$ 的中点时，延长 $D H$ 交 $A B$ 于点N，连接 $E N$ ，则N是 $B G$ 的中点”．请你判断小明的结论是否正确，并说明理由．
【拓展应用】
（3）如图4，小慧在小明发现的基础上，经过进一步思考发现：“延长 $E H$ 交 $A B$ 于点F．当给出 $B C$ 和 $B F$ 的长时，就可以求出 $E N$ 的长”．老师肯定了小慧同学结论的正确性．若 $B C = 6 ， B F = 4$ ，请你帮小慧求出 $E N$ 的长．

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12、2025年1月1日，汕头市区春节烟火晚会精彩呈现，吸引了近万名市民共同感受“粤东之城，蛇年呈祥”的美好图景．如图，东海岸道路上有A、B两个出口，相距250米，在公路北面不远处的C地是烟火晚会烟花燃放处，已知C与A的距离为150米，与B的距离为200米，在烟花燃放过程中，为了安全起见，燃放点C周围半径130米范围内不得进入．

(1)、烟花燃放点C距离公路的垂直距离为多少米？

(2)、烟花燃放过程中，按照安全要求，A、B之间的公路是否需要暂时封锁？若需要封锁，请说明理由，并求出需要封锁的公路长．

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13、如图所示，在四边形 $A B C D$ 中， $∠ B = 90 °$ ， $A B = 4$ ， $B C = C D = 2$ ， $A D = 2 \sqrt{6}$ ．

(1)、求 $∠ A C D$ 的度数；

(2)、四边形 $A B C D$ 的面积．

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14、已知 $x = 3 - \sqrt{2}$ ， $y = 3 + \sqrt{2}$ ，求代数式

(1)、 ${(x + y)}^{2} - 2 x y$ 的值．

(2)、 $\frac{1}{x} + \frac{1}{y}$

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15、如图1， $Rt △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $B C = 4$ ， $∠ A B C = 60 °$ ，点P、Q是边 $A B$ ， $B C$ 上两个动点，且 $B P = 4 C Q$ ，以 $B P$ ， $B Q$ 为邻边作平行四边形 $B P D Q$ ， $P D$ ， $Q D$ 分别交 $A C$ 于点E，F，设 $C Q = m$ ．

(1)、直接写出 $B Q =$ 　　； $C E =$ 　　．（用含m的代数式表示）

(2)、当平行四边形 $B P D Q$ 的面积为 $6 \sqrt{3}$ 时，求m的值；

(3)、求证： $△ D E F ≌ △ Q C F$ ；

(4)、如图2，连接 $A D$ ， $P F$ ， $P Q$ ，当 $A D$ 与 $△ P Q F$ 的一边平行时，求 $△ P Q F$ 的面积．

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16、已知方程x²+bx+a＝0①，和方程ax²+bx+1＝0②（a≠0）．
（1）若方程①的根为x₁＝2，x₂＝3，求方程②的根；
（2）当方程①有一根为x＝r时，求证x＝ $\frac{1}{r}$ 是方程②的根；
（3）若a²b+b＝0，方程①的根是m与n，方程②的根是s和t，求 $\frac{m s}{n t}$ 的值．

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17、社区利用一块矩形空地建了一个小型的便民停车场，其布局如图所示．已知 $A D = 52 m$ ， $A B = 28 m$ ，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分是等宽的通道．已知铺花砖的面积为 ${640m}^{2}$ ．

(1)、求道路的宽是多少米？

(2)、该停车场共有车位50个，据调查分析，当每个车位的月租金为200元时，可全部租出；若每个车位的月租金每上涨5元，就会少租出1个车位．
①当每个车位的月租金上涨多少元时，停车场的月租金收入为10080元？
②求此停车场的月租金收入最多为多少元？

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18、如图，点 $E$ 、 $F$ 是平行四边形 $A B C D$ 对角线 $A C$ 上两点， $B E ∥ D F$ ．

(1)、求证：四边形 $B E D F$ 是平行四边形；

(2)、若 $A C = 6 \sqrt{3}$ ， $B C = 8$ ， $∠ A C B = 30 °$ ，求平行四边形 $A B C D$ 的周长．

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19、定义：若两个二次根式 $a$ ， $b$ 满足 $a \cdot b = c$ ，且 $c$ 是有理数，则称 $a$ 与 $b$ 是关于 $c$ 的共轭二次根式．

(1)、若 $3 \sqrt{2}$ 与 $\sqrt{2}$ 是关于 $c$ 的共轭二次根式，则 $c =$ _______________；

(2)、若 $a$ 与 $\sqrt{5} - \sqrt{3}$ 是关于4的共轭二次根式，求 $a$ 的值；

(3)、若 $3 + \sqrt{3}$ 与 $6 + \sqrt{3} m$ 是关于12的共轭二次根式，求 $m$ 的值．

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20、解方程：

(1)、 $x^{2} - 2 x - 2 = 0$

(2)、 ${(x - 2)}^{2} = 3 x - 6$

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